天津市新华中学2025-2026学年高三上学期第二次质量测验数学试题

第二次月考答案 一、单选题 1.已知集合U={xx<8xeN},A={1,2,3,B=3,4,5列，那么 C(4UB)=() A.L.29 B.{349 c.{5.6 D.671 【答案】D 【分析】先得到并集，再求出补集 【i详解】U={x<8x∈N}=1234,5,6,7},AUB=1,23,4,5, 故C(AUB)={6,7} 故选：D 2,“a=1”是“直线ax+(a-2)y-1=0和直线x-ay+2=0平行“的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要条 件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可」 【详解】当a=1时，两直线方程为x-y-1=0和x-y+2=0, 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“a=1"是“直线ax+(a-2)y-1=0和直线x-四+2=0平行“的充 分条件： 若直线+(a-2)y-1=0和直线x-ay+2=0平行， 若*0，则号号，解利a=2a= 当a--2时，两直线方程为2x+4y+1=0和x+2y+2=0,斜率相等， 平行： 当a=1时，两直线方程为x-y一1=0和x-y+2=0,斜率相等，平行： 若a=0,两直线方程为y=一2和x=-2,两直线垂直，不平行： 所以若直线ax+(a-2)y-1=0和直线x-y+2=0平行，则a=-2或 a-1 综上，“a=1”是“直线ar+(a-2)y-1=0和直线x-+2=0平行的充 分不必要条件 故选：A 3.已知函数∫(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为() 1 0 A.f()-e B./(x)-e'te 试卷第1 x C.f(x)=ee D.f(r)=c'-e x 【答案】B 【分析】根据函数图象知f(x)定义域为(-，0)U(0,+如)且为偶函数， 确定各选项函数定义域，判斯奇偶性，应用排除法确定答案 【详解】根据函数图象可知，f(x)定义域为(-o,0)U(0,+o)且为偶函 数， 02 对于Λ0=。牛。=0，即代闭在x=0处有定义，故A错误： 对于C.因为。。·所以因的定义域为-，0U0+). 又f-x)- x 二e一。二一f(x)·故（三e一eg是奇函数， 故C错误： 对于D.因为f=e 一，所以f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o), 又f(-x)= ex-e )二一。三三了《x)·数)三是奇数·故 (-xj2 D错误 对于B,因为=+ 一，所以f(x)定义域为(-0,0)U(0,+), x 又g阳，成用：g是保数 由于选项ACD已然排除，而选项B中的解析式又满足图像的性质，故 B正确. 故选：B 4.已知直线1，m,n是三条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则下 列说法正确的是() A.若m∥a,m∥n,则nffa B.若11/m,11fm,mca,n心a,则11a C.若1⊥a,l11m,a⊥B,则m⊥B D.若a⊥B,a∩B=m,1ca1⊥m,则1⊥f 【答案】D 【分析】利用线面平行性质判断AB:利用线面垂直、面面垂直的判定 性质判断CD 【详解】对于A,由m∥a,m∥n,得n/la或nCca,A错误 对于B,由I11m,111n,mca,nC,得111或1ca,B错误： 对于C,由I⊥a,l∥m,得m⊥a,而a⊥B,则m/1B或mcB,C错 误； 对于D,由a⊥B,a∩B=m,lca,1⊥m,得1⊥p,D正确 故选：D 5.设函数f(x)=41nx-x(x>0),则y=f(x)满足() A.在区间(，1)，(L,©)内均有零点 B.在区间（二，）内有零点，在区间(1，©)内无零点 C.在区间三)内无零点，在区间自，©)内有零点 D.在区间(，1)，(1，©)内均无零点 【答案】C 页，共6页 【分析】利用求导判断函数的单调性，求得函数的极大值 f(4)=4n4-1)>0,计算得到f()=41n1-1=-1<0,f(c)=4-e>0, 小-4-。<0，利用函数的单调性和零点存在定理即可判断函数的 零点情况 【详解】f(x)=4nx-x的定义域为(0，+o),求导得 fx)-4-14-x 当0<x<4时，f"(x)>0:当x>4时，f'(x)<0, 故函数∫(x)在(0,4)上单调递增，在(4，+o)上单调逆减， 故x=4时，函数f(x)取得极大值为f(4)=4(ln4-1)>0, 又fe)=4lne-e=4-e>0,f1)=41nl-1=-1<0, =4n4-<0. ee e 即在区间(，1)上恒有f(x)<0, e 又由零点存在定理3x∈(1，e),使得fx)=0, 即函数在区间（仁）内无零点，在区间(L,c)内有零点 故选：C 2 6.已知a=log,2b=log,4.c=号则a,6c的大小关系是() A.bzc>a B.c>a>b C.c>b>u D.a>b>c 【答案】A 【分析】根据对数、指数幂的运算性质比较大小即可 【详解】log2=1og,4<log4,故a<b, =9>2',所以1og35>log2,故c>a 223 =36<4,所以1og.6<1og,4,故c<h.那么b>c>a 故选：A 7.对于函数(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x), 则称f(x)为“局部奇函数”，已知函数f(x)=e-a在R上为局部奇函 数"，则实数a的最小值为() A.1 B.2 C. 【答案】A 【分析】题意说明∫（仁x)=-∫(）在R上有解，再转化为求函数的最小 值可得。 【详解】f(x)为局部奇函数，则f(-x)=-f(x)在R上有解， 即e-a=-(e-a）,.e*+e*=2a, e'+e≥2，.2a22,即a21,.amm=1, 故选：A. 试卷第2 8.已知函数f)=in(or+pjA>0,>0<的部分图象如图 所示，给出下列结论： -2 ①f(0)=3: @当刘]时6同 ③适数心的单满莲增区问为红吾红+司，（化eZ: ④将f八)的图象向右平移个单位，得到y=2sm2x的图象：其中正 确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性 质，逐项分析，即可得到答案， 【详解1由图象可：42，号-号音异1各=a2, 由/}2=22x5+9小-2，又州经所以p-骨 所以国=2n2x+》】 因为f0)=2s加}5，放@正确： 当登0时.音2号所以15mx}5所 -2s∫(x)sV5,故②错误： 由2-2x+2k* ,大eZ白k知 2 3 xk+ 12 所以函数∫(x)的单调递增区间为kπ 5k+ 2」e2.故@正确： 将的图象平移个单位，得到=22-引-2x-到 的图象，故④错误 故选：B 9已知园C:+广心和双线r等茶=6>0b>g:过r的 左焦点F与右支上一点Q,作直线1交圆C于A,B,若 F44:Bg=1:1:1,则Γ的离心率为() A.3V2 B.3 C.3 5 D.97 5 【答案】D 【分析】在焦点三角形中构造中位线，利用已知条件中的线段的比例关 系设出FA=m,再利用勾股定理即可得到a,c的关系式，就可求得离 ，共6页 心率 【详解】设双曲线的右焦点为￡，连接所， 故选：D. 二、填空题 0.已知复数：=2+21+1-i,则= 1+i 【答案】2 【分析】由复数的乘除运算结合模长公式即可求解 【保111 (1+i)1-i) 所以=V2 故答案为：√反 11.已知圆C:(x-3)+(y-1)=1,直线1过点P(2,3),若直线1与 圆C相切，则直线1的方程为」 【答案】3x+4y-18=0或x-2=0 【分析】根据题意，分过点P的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论 求解即可 【详解】当过点P的直线的斜率存在时，设切线方程为y-3=k(x-2) 即k-y-2k+3=0, 因为圆心C6)到切线的距离等于半径1.所以-上2+3=1，解 k2+ 6=子 所以切线方程为y-3=:-2,即3r+4y-18=0。 当过点P的直线的斜率不存在时，其方程为x=2, 圆心C(3,)到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意， 综上所述，所求的直线的方程是3x+4y-18=0或x-2=0 故答案为：3x+4y-18=0或x-2=0 12.在斜三棱柱ABC-ABC中，连接AB、4C与B,C,记三棱细 B-ACB的体积大小为3，三校柱ABC-AB,C的体积大小为 【答案】9 试卷第3) 【分析】设斜三棱柱ABC-ABC的体积V=Sh,易知 片应=化6号S,制补法求得口汤，甲可得出功=9。 从而得解 【详解】设斜三棱柱ABC-ABC的高为h,Sc=S,斜三棱柱的体 积为V, 所以y=,易知=北=场， 所以=r-度-北4=助号h号品 又三棱锥&-4CB的体积大小为3，所以，Sh=3, 所以Sh=9,即三棱柱ABC-ABC的体积大小为9， 故答案为：9 13.己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足5n=2an-2,若 S,+n-1s和。对于任意的正整数n恒成立，则实数入的取值范围 为 【皆[层 【分析】降次作差即可证明{a,}为等比数列，再利用等比数列求和公 式以及分离参数得无之2+”，，设么，=，3，求出其最值，即可得到无 2 的范围。 【详解】根据Sn=2a.-2,当n=1时，a=2, 当n≥2时，S-1-2a--2,两式相减可得a,=2a。-2a-1, 4=2,数列{a,}是首项为2，公比为2的等比数列， 20-2 a,=2,S.-1-2 =2#-2 则Sn+n-1S和，可变为21-3+n≤元2， 即42+”，令6=”号，则 -6景-学会海-40， 且4<办<<九=4>4>4>，2+”3到 133 =2+1616 2” ,即实数2的取值范围是6+© :216 「33 故答案为： [ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明{}为等比数列，再利用等 比数列求和公式求出S.,最后分离参数，求出右边的最值即可 14.己知平面四边形ABCD,4C1BD,AB=4,AD=2,DC=AB, 则∠BAD=:动点E,F分别在线段DC,CB上，且DE=DC, 示--丽，则4E·AF的取值范围为 4a+1 15.设aeR,函数f(o)=8x48x+4-z+2-a,若f( 恰有两个零点，则的取值范围为 页，共6页 三、解答题 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3且. gC-28 sinB (I)c的值： (2)求sinB的值： 6球4写引的t 【答案】(1)c=7 R56 14 6)80 49 【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理求解：(2)先由余弦定理求得c0sB, 即可求解siB:(3)根据三角恒等变换利用正弦的两角差公式求解 【详解】D由sm4+snC-2边化角可行a+c=2, sinB b 又因为a=3所以c=2b-3, 又因为=谷+e-2次o4得54-号c=9。 将c=2办-3代入8+e-号c=9,整理得6-5水=0， b=5或b=0(舍)，所以c=7. (2)由(1)得得b=5,c=7,且b2=a2+c2-2 accos B, 则c0sB=g+c-B_9+49-25.11 2ac 2×3x714 所以snB=-cs'B-55 14 (3)由余弦定理c2-d+b2-2 bcosC, 得sC.。+-c.9425-49.- 2ab 30 因为Ce0,),所以c=2, 义因为cos4= 14 所以sn4=cos看.3 4 所以sin2A=2 2sin cos=2x3y513-395 141498 0s24=2cos3241=2x1061gg 196 90 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是 边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC /AD, AD⊥D,AB=BC=1 (I)取线段PA中点M,连接BM,证明：BM∥平面PCD: (2)求平面CD与平面ACD夹角的余弦值： (3)线段PC上是否存在点E,使得平面4DE⊥平面PCD?若存在，求 凭的值：若不华在，请说明理由 试卷第4 【答案】(1)证明见解析： 7 在，恩 【分析】(1)取PD中点N,连接AN,证出四边形BCWM为平行四 边形，即可得证 (2)建立空间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量万以及平面 ACD的一个法向量，利用向量公式即可求解 (3)令PE=PC=(元.0，-√5).1∈0，，求出平面ADE的法向量m, 再由两平面垂直得mn=0进行求解。 【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N,连接MN,CN 由M为PA的中点，且AD=2,BC-1,得MN1IAD/IBC AN-T4D-1-BC, 则四边形BCNM为平行四边形，所以BM1/CN, 因为CNc平面PCD,BM文平面PCD, 所以BM/I平面PCD (2)取AD的中点O,连接PO,OC,由△PAD为等边三角形，得 PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POc平面 PAD, 则PO⊥平而ABCD,由AO=BC=1,AO1IBC,得四边形ABCO是平 行四边形， 于是OC//AB,而AB上AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直， 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,:轴建立空何直角坐标 系，如图， 2 则A(0,-1,0).D0,1,0).C1,0.0).BL,-1,0.P0.03) C=(-1,0,5),CD=(-1,1,0) CP=-x+=0 设平面PCD的法向量为i=(x,y,),则 CD=-x+y=0 取：=1，得-(3,31)， 平面4CD的一个法向量为n=(0,0,), ,共6页 阔方-号 设平面PCD与平面ACD夹角为0，由于O为锐角， 则cw-外号 故平面PCD与平面4CD夹角的余弦值为V7 (3)令PE=PC=(2,0,-5),1e0,川： AE=AP+PE=(0,l,5)+(,0,-√3)=(a,l,V3-√5)，AD=(0,20), 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c,则 m·AD-2b-0 m-AE=1a+b+(√3-3)c=0 取c=元，得m=(√(a-1),0.),平面PCD的法向量为=(3.3.)， 由平面ADE1平面PCD,得m万=0， 得5(2-1)×√3+0+2=0， 得4= 故存在点E,使料面上平面0D,此时周 18.已知424利和P60)为转圆C三若=16>6>0)上两 (1)求C的标准方程： (2)若过点A的直线I交C于另一点B,AABP的面积为24，且AABP的 外接圆圆心恰好在y轴上，求直线/的方程： 19.己知数列{a。}是等差数列，{bn}是等比数列，且{a,}与{伍}是各项 均为正整数的递增数列，a十b=3,a十b2=9,b2=b (1)求{an},{b}的通项公式： (2)若{4}和{}都是递增数列，且{4，}中任意有限多个不同的项的和 都不是{，}中的项，则称{4}被书}拉黑 (i)求Sn=a1b十a2b2十…十ab.,并判断{S,}是否被{an}拉黑， 说明理由 m设就=公际-深，可青不=点 3b2 试卷第5到 列系数{入，满足入∈{1,2,3}(n∈N).构造新数列五n=入cn, 求证：无论入如何取值，{x}都被{c}拉黑 20.已知函数fy=（x+l)nx,g()=a(x-) (1)求f(x)在x=c处的切线方程： (2)若当x>1时，不等式2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围： (3)已知函数h(x)=f(x)-g(x)有3个零点p,9,r(p<g<r),求证： 29-L<2a-1 p 【答案】 2(-,2: (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义，结合切线的求法求解即可： (2)当xe+o)时，2f>g()等价于nx-a(-l0.令 x+1 m)=nx-a-,求出m,根据导函数分类讨论，确定函数 x+1 m(x)的单调性，然后求出m(x)的最值，即可求解 （3)由题可知()=x+)nx-a(x-),注意到0=0，即当x 时，+hx=a(-,还有另外2个零点，令p)lax 2a(x-1) x+1 求导后，然后证明即可 【详解】 （2)当xe0,+o)时，2fy)>gx)等价于nx-ax-,0 x+1 令m)=n-a-,则m=!2a x2+2(1-a)x+1 x+1 x(x+) x(x+) m(1)=0 ①当as2,xe(1,+o)时，x2+2(1-a)x+12x2-2x+1>0, 放m'(x)>0,m(x)在(1，+∞)上单调递增，因此m(x)>0 ②当a>2时，令m()=0,得x=a-1-a-1-1, 为=a-1+V(a-1}-1, 由x>1及x=1得x<1,故当x∈(1，x)时，m(x)<0,m(x)在(1，x2) 上单调递减， 因此m(x)<0,不满足题意 综上，a的取值范圈是（一o,2 （3)由遇可知A()-+nx-a-小，注意到0=0， 即当x学1时，+nx=a6-小，还有另外2个零点。 页，共6页 令p()=nx-2ar- ,注意到p(1)=0, x+1 p)=4a-.c+1-4am x (x+1 x(x+1) i记μ()=(x+12-4a=x2+(2-4a)x+1, 令(2-4a-4>0且2-4a<0,所以a>1. 当a>1时，记4(x)=0的两根为x,2,则x:=1, 不妨设0<x<1<, 又(x)在(x,x)上单调递减，所以(，)<0<p() 当x→0时，(x)→-o；当x→+时，(x)→+o, 所以(x)存在三个不同零点，故a>1: 又h(x)=0的三个零点分别P,q,,因此一定有：0<p<1<r,且 q-1 同时若h(x)=0,则 得沿小 -Bm-ae-小-0. ∴pr=1, 要证29=<2a-1=2-r(pa-1=pPa-1yr2且r= 由。p2a-少》22-可>2，放结论成立 试卷第6页，共6页2025一2026学年第1学期高三（数学）第二次质量测验 2025-12 第I卷 一、单选题（每题5分） 1.已知集合U={x<8,xeN},A={L,2,3},B={3,4,5},那么(AUB)=() A.L,2} B.{3,4} C.{5,6) D.{6,79 2.“a=1”是“直线ar+(a-2)y-1=0和直线x-ay+2=0平行”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为() f网-=e+6 x2 A B./(x)=c'+e x2 C. D./(x)=-e 2 4.已知直线l,m,n是三条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则下列说法正确的是( A.若ml∥a,ml∥n,则nlla b.若l11m,l/lm,mca,nca,则l11a C.若l⊥a,l11m,a⊥B,则m⊥B D.若a⊥B,a∩B=m,lca,l⊥m,则1⊥B 5.设函数f(x)=4山x-x(x>0),则y=f(x)满足() A.在区间(，).(1，e内均有零点 B.在区间，)内有零点，在区间(，)内无零点 C在区间（三）内无零点，在区间(L©)内有零点 D.在区间日，，e)内均无零点 6.已知a=1g,2.b=log,4c=子，则a,be的大小关系是（) A.b>c>a B.c>a>b ('.c>b>a D.a>b>c 7.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(x)=-∫(x),则称f(x)为“局部奇 函数”，已知函数f(x)=e-a在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为() A.1 b.2 C. D. 8.己知函数f()=Asim(@x+)A>0,®>0，网<习的部分图象如图所示，给出下列结论： A 3 12 -2 ①f(0)=3: g当x0时，f)e[5可： ®函数纠的单调递增区间为[音如+引，(e2): ④将f()的图象向右平移个单位，得到y=2si2x的图象：其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知圆c:+=a和双曲线r号卡=a>0b>,过r的左焦点F与右支上一点0， 作直线1交圆C于A,B,若FABB@=1:1:1,则r的离心率为() A.3W5 B.3万 C.73 D.7 5 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分） 10.已如复数：=2+24+1-1，则=一 1+i 11.己知圆C:(x-3)+y-1=1,直线1过点P(2,3),若直线1与圆 C相切，则直线/的方程为 12.在斜三棱柱ABC-ABC中，连接AB、AC与B,C,记三棱锥 B-ACB的体积大小为3，三棱柱ABC-AB,C,的体积大小为 13.已知数列{a}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-2,若S,+n-1≤a对于任意的正整 数n恒成立，则实数2的取值范围为 14.已知平面四边形ABCD,ACLBD,AB=4,AD=2,DC=2AB,则∠BAD= 动点E,F分别在线段DC,CB上，且DE=DC,云=(-丽，则AE,正的取值范围为 15.设a∈R,函数f(x)= 4a+1 8z2+8a十4一lz2+x一al,若f(y)恰有两个零点，则a的取值 范围为 三、解答题 16.在1BC中，角4B,C所对的边分别为ab,c.已知a=3且4+siC=2coA= sinB 14 (I)求c的值： (2)求sinB的值； 包求m(24-)的值 ]7.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角 形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=I. (I)取线段PA中点M,连接BM,证明：BM∥平面PCD; (2)求平面PCD与平面ACD夹角的余弦值； (3)线段PC上是否存在点E,使得平面ADE⊥平面PCD？若存在， 求是的值：若不存在，请说明理由 18.已知42到和P(6,0为描圆c:三+长=(o>60上两点， ()求C的标准方程； (2)若过点A的直线I交C于另一点B,△ABP的面积为24，且△ABP的外接圆圆心在v轴上， 求直线1的方程： 19.已知数列{a,}是等差数列，{b}是等比数列，且{a}与{也.}是各项均头正整数的递增 数列，a1+b1=3,a+b2=9,b2=b (1)求{a},{b}的通项公式： (2)若{4}和{y,}都是无穷递增数列，且从{4}中任取不少于两项（互不相同）之和，都 不是{}中的项，则称{4n}被{”}拉黑 (i)求Sn=ab+a2b2+…+anbn,并判断{Sn}是否被{a,}拉黑，说明理由 3b2 1 )设红=心远3-工=2-任取一列系数，满足 入n∈{1,2,3}(n∈N*).令xn=入ncn,求证：无论入.如何取值，{xn}都被{cn}拉黑， 20.已知函数f)=+hx,8()=a(-). (I)求f(x在x=e处的切线方程： (2)若当x>1时，不等式2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围： (3)已知函数h(x)=f(x)-g(x)有3个零点P,9,r(p<g<r),求证： 2g-r<2a-1.