6.1.3 全概率公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，通过两箱到三箱摸球的递进式问题链导入，衔接条件概率、乘法公式旧知，搭建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点是问题驱动与数学史融合，以摸球、色盲概率等生活实例为载体，分层讲解典例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的核心素养。助力学生理解公式本质，教师可直接用于教学提升效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 概率 第1节 随机事件的条件概率 1.3全概率公式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解全概率公式和贝叶斯公式的概念. 2、掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法. 3、能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题. 1、利用全概率公式和贝叶斯公式求概率. 2、能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题. 1、全概率公式和贝叶斯公式的概念. 2 新 知 引 入 2、概率的乘法公式：_____________________________________ 数学王子——高斯 P(AB) = P(B|A)P(A)(其中 P(A)>0) P(B|A)= 1、条件概率公式：________________________ ⇓ 特例：独立事件的概率公式：_____________________ P(AB)=P(A)P(B) 3 新 知 引 入 韦 达 问题1：现有标号分别为1，2的两个箱子。1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率; (2)某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率; 解：设事件A表示“取得红球”，用古典概型的概率公式直接计算，得P(A)= 解：设事件A表示“取得红球”，用古典概型的概率公式直接计算，得P(A)= 4 新 知 引 入 布 丰 解：分两步走，先取一个箱子，再在箱子中摸球. 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2)，其中B1，B2互斥, 事件A 表示“取得红球”，A发生总是伴随着B1，B2之一同时发生，即A=B1AUB2A,且B1A,B2A互斥， 则P(A)= P(B1 A)+P(B2A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) =× +× = 问题1：现有标号分别为1，2的两个箱子。1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率; (2)某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率; (3)某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率. 5 新 知 引 入 伯努利 (3)中的概率与(1)(2)中的概率有何联系? 问题1：现有标号分别为1，2的两个箱子。1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率; (2)某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率; (3)某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率. (3)中的概率与(1)(2)中的概率不同. (1)(2)中的摸球都指定了箱子，而(3)中的摸球需分两步走，先选箱子，再从选中的箱子中摸球，摸中的红球可能来自1号箱，也可能来自2号箱,所得的概率比直接从1号箱摸出红球的概率要大,比直接从2号箱中摸出红球的概率要小，介于二者之间。 6 新 知 引 入 佩雷尔曼 问题2：将箱子再增加到三个，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：与两个箱子的情形类似，设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A 表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A=B1AUB2AUB3A,且B1A，B2A，B3A两两互斥. 则P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =× + × + ×1= 所得的概率比直接从1号箱摸出红球的概率要大，比直接从2号箱中摸出红球的概率要大，比直接从3号箱中摸出红球的概率1要小，介于三者之间。 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 问题1：现有标号分别为1，2的两个箱子。1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. (3)某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率. 问题2：将箱子再增加到三个，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同. 某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 从上述两个实例可以看出，某一事件A的发生有多种可能的原因，如 问题1中摸得的球有2种来源:可能取自1号箱，也可能取自2号箱; 问题2中取到的球有3种来源：可能取自1号箱，也可能取自2号或3号箱; 如果A是由原因Bi(i=1,2,..,n.)所引起，则A发生的概率P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi), 由于每一个原因都可能导致发生，且各原因彼此互斥并涵盖所有可能的情形.故事件A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即 P(A)= 这两个问题中的概率的共性是什么？ 8 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…,Bn为样本空间的一组事件，若 (1)BiBj=Ø，其中i≠j(i,j=1,2,…,n), (2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1,B2,…Bn为样本空间的一个划分. 条件(1)表示每次试验B1,B2,…Bn中只能发生一个； 条件(2)表示每次试验B1,B2,…Bn必有发生一个. 样本空间的划分 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 全概率公式 设B1,B2, … ,Bn为样本空间Ω的一个划分， 若P(Bi)＞0(i=1,2, … ,n),则对任意一个事件A有 P(A)= 称上式为全概率公式。 1、B1,B2, … ,Bn是一组两两___________的事件。 2、B1∪B2∪…∪Bn=______ 3、P(Bi)______0 4、全概率公式本质上是综合运用_____________和______________解决 ____________________的概率问题. 5、全概率公式告诉我们，事件A发生的概率恰好是事件A在各种可 能“原因”下发生的条件概率的______________. 互斥 Ω ＞ 加法公式 乘法公式 “多因一果” 加权平均 10 学 习 新 知 拉格朗日 运用全概率公式的一般步骤: 求出样本空间Ω的一个划分B1,B2, … ,Bn 求P(Bi)(i=1,2,) 求P(A|Bi)(i=1,2,n) 求目标事件的概率P(A) 1、 2、 3、 4、 11 典 例 引 路 柯 西 例1、釆购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是:从一包中随机抽查 3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率. 解:设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包。 事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”， 事件A表示“采购员拒绝购买”. 则B1，B2构成样本空间的一个划分，且P(B1)= ,P(B2)= . 又由古典概型计算概率的公式，可知 P(A|B1)=1- = , P(A|B2)=1- = 从而由全概率公式，可知P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) = × + × = 因此，釆购员随机挑选一包拒绝购买的概率为 12 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练2、已知某地区 的男性和 的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ） A. B. C. D. 解：记A表示“随机选1人为男性”， B表示“随机选1人为女性”， C表示“此人恰是色盲” ， 则Ω=A∪B,且A,B互斥， 故 P(C)= = + =0.03745 D 13 典 例 引 路 集合论之父——康托 例2、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录 有如表的数据： 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 解：设事件Bi表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的” (i=1,2,3),事件A表示“取到的是一件次品”. 其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着B1,B2,B3 之一同时发生. 即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两互斥.则 P(A)=F(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)-P(B3)F(A|B3) =0.15×0.02 + 0.80×0.01 + 0.05×0.03 =0.0125. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125. 14 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品中正品率为90%，丙厂产品中正品率为85%。如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？ 解：设事件A,B,C分别表示“抽得的产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的”，事件D表示“抽得的产品为正品”， 则由已知得， P(A)=50%， P(B)=30%, P(C)=20% P(D|A)=95%，P(D|B)=90%，P(D|C)=85% 从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到， P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) =95%×50%+90%×30%+85%×20%=0.915 15 典 例 引 路 牛 顿 例3、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率. 解 设事件A表示“飞机被击落”， 事件Bi表示“飞机被i人击中”(i=0,1,2,3)， 则B0，B1,B2,B3构成样本空间的一个划分， 且依题意，P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6, P(A|B3) = 1. 再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i=1，2，3). 则P(B1)=P(H123∪1H23∪12H3) =0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36 同理：P(B2)=P(H1H23∪H12H3∪1H2H3)=0.41 P(B3)=P(H1H2H3)=0.14 P(B0)=P(123)=0.09 由全概率公式，可知 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458 因此,飞机被击落的概率为0.458. 16 同 步 练 习 黎 曼 练3、甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中 有4个白球和4个红球.先随机取一只袋子，再从该袋中先后随机取2个球． （1）求第一次取出的球为红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 解：（1）设“第一次取出的球为红球”为事件A,“取到甲袋、乙袋、丙袋”分别为事件B1,B2,B3,则P(B1)=P(B2)=P(B3)= ,由全概率公式可得， P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) = × + × + × = (2)设“第二次取出的球是白球”为事件C,由全概率公式可得, P(AC)=P(AC|B1)P(B1)+P(AC|B2)P(B2)+P(AC|B3)P(B3) = ×× + ×× + ×× = 所以P(C|A)= = 17 新 知 引 入 问题3：有三个箱子，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大。 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A 表示“取得红球”，由全概率公式，可得：P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) = × + × + ×1= 再由条件概率公式知： P(B1|A)= = = ，P(B2|A)= = = P(B3|A)= = = 因此，该球是取自1号箱的概率为,该球取自3号箱的可能性最大。 皮 亚 诺 18 学 习 新 知 拉格朗日 贝叶斯公式 设B1,B2, … ,Bn为样本空间Ω的一个划分， 若P(A)＞0,P(Bi)＞0(i=1,2, … ,n),则 P(Bi|A)= ,称上式为贝叶斯公式。 如果把全概率公式看成是“由原因推结果”，那么贝叶斯公式所要研究的问题就是“已知结果求原因”，即在观察到事件A已发生的条件下，寻求导致A发生的每个原因的概率． 19 典 例 引 路 狄利克雷 例4、一道考题有4个选项，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 ，在乱猜时，4个选项都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )． A. B. C. D. 解：设事件A表示“考生答对”，事件B表示“考生知道正确答案”。 由全概率公式得:P(A) = ×1 + × = 又由贝叶斯公式得:P( = = B 20 同 步 练 习 庞加莱 练4、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 解：设事件A为“发送的信号为0”，事件B“接收的信号为0”，则 为“发送的信号为1”，为“接收的信号为1”. 由题意得， P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.8,P(|A)=0.2,P(B|)=0.1,P(|)=0.9 由贝叶斯公式有P(|B)= = = 21 全 课 总 结 概率的乘法公式：P(AB) = P(B|A)P(A)(其中 P(A)>0) （特例：独立事件的概率公式：P(AB)=P(A)P(B)） 条件概率公式：P(B|A)= ⇓ 全概率公式:P(A)= 贝叶斯公式: P(Bi|A)= ⇓ ⇓ 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $