精品解析：安徽省铜陵市枞阳县五校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

枞阳部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当函数是二次函数时，的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数不为零，最高次数是2，列出等式，不等式计算即可． 【详解】∵函数是二次函数， ∴函数， 解得(舍去), 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次数是2是解题的关键． 2. 如图，二次函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，分和两种情况根据二次函数和一次函数的性质判断正误即可． 【详解】解：当时，二次函数对称轴，在y轴右侧，一次函数经过第一、三、四象限；当时，二次函数对称轴，在y轴左侧，一次函数经过第一、二、四象限； 故选项A、C、D不合题意，选项B符合题意． 故选：B． 3. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 4. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 【详解】∵且，，且关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为， 故选：B． 5. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 6. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得： ， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去），， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键． 7. 黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义直接作答即可． 【详解】解：设线段为，黄金分割点为，较长的边为，根据定义可知， ∴， 故选：D ． 8. 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可． 【详解】解：∵两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时， 则另两边的和为27cm，27<45，不能构成三角形， ∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边， 设另外两边长分别为x、y，则 (1)若27cm与24cm相对应时， ， 解得：x=33.75cm，y=40.5cm， x+y=33.75+40.5=74.25cm>45cm，故不成立； (2)若27cm与36cm相对应时， ， 解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm<45cm，成立； (3)若27cm与30cm相对应时， ， 解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm>45cm，故不成立； 故只有一种截法. 故选B. 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出，，求出，证明垂直平分，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明垂直平分，得出． 10. 如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 当m＝_____时，y＝（m+2）是二次函数． 【答案】2 【解析】 【分析】由y＝（m+2）是二次函数知m+2,=2,即可解出m的值. 【详解】依题意得，解得m=2. 【点睛】此题主要考查二次函数的定义，a是不可忽略的关键. 12. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可 【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点， 此时满足，解得； 当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时， 此时满足，解得或， 当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意； 综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点． 故答案为：1或 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质． 13. 如图，已知反比例函数、在第一象限的图象，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于D，交x轴于点E，连接，则＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设点A的坐标为，则，，，，由此即可得出，结合即可证出，再根据相似三角形的性质即可得出的值． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵作x轴的平行线交于B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于D，交x轴于点E， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据和证出是解题的关键． 14. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，点为的中点．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、两点间距离公式、位似图形的性质，解本题的关键是熟练掌握位似图形的性质．根据中点坐标公式求出点，根据位似图形的性质得出点的坐标为或，根据两点间距离公式分别求出的长即可． 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴点M的坐标为，即， ∵以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点， ∴点的坐标为或， 即点的坐标为或， ∴的长为：； 或； 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， ， 解得， 则，，， 则． 16. 如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得解． 【小问1详解】 证明：是边上的高， ， 又，即， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定定理，相似三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）如图： （3）①当时，y随x的增大而增大；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）①观察图象即可求解； ②根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：如图所示， 0 6 8 6 0 【小问3详解】解：①由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 18. 如图，在一面靠墙的空地上用长为18米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式； （2）若墙的最大可用长度为6米，求篱笆围成的长方形的最大面积． 【答案】（1） （2）24平方米 【解析】 【分析】（1）先用表示出的长度，再利用矩形的面积公式列出函数表达式即可； （2）根据二次函数的性质，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，， ∴抛物线在上，y随x的增大而减小， ∴时，取得最大值，最大值为24． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用．正确求出二次函数的解析式并运用二次函数的性质求最值是解题的关键． 19. 如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求点 P坐标； （2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标． 【答案】（1）P（2，4）；（2）M坐标（3，0）或（9，0）. 【解析】 【分析】（1）先将点Q坐标代入y＝x，求出a的值，再代入y＝求出k的值，再将点P坐标代入反比例函数解析式即可． （2）延长PQ交x轴于A，连接QM，根据待定系数法求出直线PQ解析式，从而求得点A的坐标，设M（n，0）根据S△PQM=S△PAM-S△QAM 列出方程即可得M坐标． 【详解】解：（1）∵直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a）， ∴a＝×4＝2， a＝ ∴k＝8 ∴反比例函数y＝（x＞0） ∵点P（m，n）是反比例函数图象上一点， ∴mn＝8，且n＝2m，m＞0 ∴m＝2，n＝4 ∴P（2，4） （2）延长PQ交x轴于A，连接OM， 设直线PQ解析式y＝kx+b， ∴ 解得： ∴解析式y＝﹣x+6， ∵直线PQ交x轴于A， ∴A（6，0）， 设M（n，0）且△PMQ的面积为3 ∵S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM ∴3＝|6﹣n|×4﹣|6﹣n|×2， ∴n＝3或n＝9， ∴M坐标（3，0）或（9，0） 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，涉及到用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，本题的关键是根据S△PQM=S△PAM-S△QAM 可得方程，求得M坐标． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 证明：∵， ， ， 21. 如图，已知是边长为等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连接，，与交于点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，即可解答： （2）由（1）可设，则，可得，，再由，可求出，从而得到，，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形，边长为， ，， ， ，， 点与点关于对称， ，，， 又， ， ； 【小问2详解】 解：解：由（1）可设，则， ，， ， ， ， ，， ． 22. 在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m． （1）请求出抛物线的顶点坐标； （2）请求出球洞离击球点的距离； （3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式， 【答案】（1）（4，）（2）10m；（3）y＝-（x−5）2＋. 【解析】 【分析】（1）用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标； （2）令y＝0，解出x1，x2的值，则球飞行的最大水平距离|x1−x2|＋2即可得到结论； （3）用待定系数法求出二次函数的解析式． 【详解】（1）= ∴抛物线的顶点为（4，）； （2）令y＝0，得：＝0 解得：x1＝0，x2＝8， ∴球飞行的最大水平距离是8m， ∴球洞离击球点的距离为8＋2＝10m； （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m ∴抛物线的对称轴为直线x＝5，顶点为（5，） 设此时对应的抛物线解析式为y＝a（x−5）2＋ 又∵点（0，0）在此抛物线上， ∴25a＋＝0，a＝− ∴y＝-（x−5）2＋， 即其解析式为y＝-（x−5）2＋. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了一元二次方程的解法和求二次函数的顶点坐标等知识，难度不大． 23. 如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． （1）若，求的长； （2）设，，试求y关于x的函数解析式； （3）当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】（1） （2） （3）当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 连接 ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， 【小问3详解】 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枞阳部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当函数是二次函数时，的取值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，二次函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 6. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ） A. B. C. D. 8. 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ） A. B. C. D. 6 10. 如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 当m＝_____时，y＝（m+2）是二次函数． 12. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________． 13. 如图，已知反比例函数、在第一象限的图象，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于D，交x轴于点E，连接，则＝_____． 14. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，点为的中点．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 16. 如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 17. 已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 18. 如图，在一面靠墙的空地上用长为18米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式； （2）若墙的最大可用长度为6米，求篱笆围成的长方形的最大面积． 19. 如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求点 P坐标； （2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 21. 如图，已知是边长为等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连接，，与交于点． （1）求的值； （2）求的值． 22. 在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m． （1）请求出抛物线的顶点坐标； （2）请求出球洞离击球点的距离； （3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式， 23. 如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． （1）若，求的长； （2）设，，试求y关于x的函数解析式； （3）当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $