第23章旋转 期末综合复习训练题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ） A．， B． C． D． 3．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 4．如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D落在线段的延长线上，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．点与点关于原点对称，则的值为 ． 10．把如图所示的图形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则这个旋转角至少是 ． 11．如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为 ． 12．如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则 （用含有的式子表示．） 13．如图，中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接、，则 14．如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边上，若，则的周长为 ． 15．如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为 ．    三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)将绕原点逆时针旋转得，画出． 18．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 19．如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使． (1)求证：． (2)求的度数． 20．综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 21．在等边三角形中，为边所在直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作交直线于点． (1)当点在边上时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 22．提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）当时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论； 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）当时，如图②；当时，如图③，请猜想并直接写出线段，，有怎样的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，则___________． 参考答案 1．解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与是成中心对称的两个图形， ∴，，，，， 无法得到， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到， 故旋转方式是绕点逆时针旋转． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质得到，，推出是等边三角形，得到，于是得到结论． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键． 根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据勾股定理得出，再根据旋转的性质得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 则， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的性质是解题关键．分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就是旋转中心，根据其在平面直角坐标系中的位置即可得旋转中心的坐标． 【详解】解：如图，与的垂直平分线相交于点，则点即为旋转中心． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键． 先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过作轴的垂线交x轴于点D，证明可得，再运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第2025秒旋转结束时，绕点逆时针旋转了，过作轴的垂线交x轴于点D，如下图， 由旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 9． 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴，且， 解得，， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了旋转的概念，通过计算除以图案的对称部分数量来确定最小旋转度数是解题的关键． 通过图案可知对称部分的数量为3，利用除以即可得解； 【详解】， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是； 故答案是：． 11． 【分析】根据旋转的性质得到，，结合等边对等角得出，根据平行线的性质和平角的定义求出，根据等边三角形的判定和性质得出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在线段上， 故，， ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，正确进行计算是解题关键． 12． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质表达出和度数，利用三角形外角的性质得到即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 13．＝ 【分析】本题考查旋转的性质三角形全等的判定与性质，根据旋转得到，，，结合得到，从而得到，即可得到答案； 【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，，， 又∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的性质．先根据正方形的性质得，，根据旋转的定义，把绕点A顺时针旋转可得到，根据旋转的性质得，，，，于是可判断点G在的延长线上，然后利用全等三角形的判定证明出，得到，然后利用三角形周长的定义得到的周长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴把绕点A顺时针旋转可得到，如图， ∴，，，， ∴点G在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴， ∴的周长． 故答案为：8． 15． 【分析】本题考查了旋转的性质，写出点的坐标，根据题意画出，结合坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 故答案为：． 16．12152 【分析】本题考查坐标与图形的变换．然后通过旋转发现，每两个偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，再求得点的横坐标． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴ ， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为12152． 故答案为：12152． 17．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图——旋转变换，中心对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点，，，然后描点连接即可； （）利用网格特点和旋转的性质分别画出点，，的对应点，然后描点连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 18． 【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用．根据中心对称的性质及，由勾股定理可求得的长． 【详解】∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，， ∴ 由勾股定理得：． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，然后根据旋转，，， ，，接着求出和，然后即可得证； （2）由（1）得到，，，那么为等边三角形，然后证明，以及求出，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：矩形中， ， ∵在中，， ∴，， ， 由旋转可得：，， ，， ， ， ； （2）解：由（1）得到，，， 为等边三角形， ，， ， ∴∠FBB′=15°； ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．(1) (2) (3) 且． 理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）利用证明即可解答； （2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形的外角的性质推出即可； （3）利用证明即可得到，再根据角的和差以及等量代换即可证明． 【详解】（1）解：在和中： ， ∴， 故答案为． （2）解：， ∴， ∵， ∴． （3）解： 且． 理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， ． 21．(1)见解析 (2)图②结论：；图③结论： 【分析】（1）延长到点，使，连接，根据旋转的性质和等边三角形性质可证得，可得，进而可得四边形为平行四边形，得出，最后根据线段的等量变换可得结论； （2）如图②，延长，交于点，连接，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，再根据线段的等量变换可得结论；如图③，连接，，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，，再由平行线的性质可得，即得，，最后根据线段的等量变换可得结论． 【详解】（1）证明∶如图①，延长到点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， ， ． （2）解：如图②，延长，交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图③，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等，根据题意合理做出辅助线是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）图②，；图③，；（3）或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（等）是解题的关键． （1）通过证明三角形全等，将线段、转化到上，从而证明． （2）类比（1）的思路，通过分析图形中线段的位置关系和三角形全等情况，得出线段之间的数量关系． （3）结合（1）（2）的结论，代入已知数据计算的长度． 【详解】证明：（1）由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2）图②，由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 图③，由旋转的性质得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）当是图①的情况时，由（1）知，又由全等知， ∵， ∴． 当是图③的情况时，由（2）知，， ∴． 综上，或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $