专题23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型（七大模型）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型 目录 【考点一 旋转中“手拉手”模型之线段】 1 【考点二 旋转中“手拉手”模型之直角三角形】 6 【考点三 旋转中“手拉手”模型之等腰三角形】 13 【考点四 旋转中“手拉手”模型之菱形】 24 【考点五 旋转中“手拉手”模型之矩形】 32 【考点六 旋转中“手拉手”模型之正方形】 38 【考点七 旋转中的“半角”模型】 43 【典型例题】 【考点一 旋转中“手拉手”模型之线段】 例题：（24-25九年级上·河南·期中）如图1，在等腰中，，点P是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且PC，将线段绕点P顺时针旋转得到PD，连接． (1)如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，若，其他条件不变，探究线段和之间的等量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)猜想与的数量关系，并加以证明； (2)如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； (3)如图3，若是边长为1的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值_________（直接写答案）． 【考点二 旋转中“手拉手”模型之直角三角形】 例题：（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连结，的延长线与的延长线相交于点，证明：； (3)在（2）的条件下，连结，当______时是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．连接． (1)求证：． (2)求证：平分 (3)求证：； 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【考点三 旋转中“手拉手”模型之等腰三角形】 例题：（23-24九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问． (1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有 (2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）（1）问题发现 如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空： ①线段与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________． （2）拓展探究 当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明． （3）问题解决 已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)如图①，当点在上，点在上时，线段与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)把绕点旋转到如图②的位置，连接与交于点与交于点，此时①中的结论还成立吗？请说明理由； (3)绕点在平面内旋转的过程中，若，当点在线段上，直接写出的长． 3．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，中，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接．设交于D，分别交于E、F． ①在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（与全等除外）； ②当是等腰三角形时（等腰三角形的两个底角相等），则 ． 【考点四 旋转中“手拉手”模型之菱形】 例题：（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·一模）如图，菱形中，对角线交于点O，将绕点C逆时针旋转得到，其中点A，D的对应点分别为点M，N，设旋转角为． (1)当时： ①当点M落在上时，的度数为______； ②如图2，当时， 交于点G，判断四边形的形状并说明理由． (2)当时，连接．若，，当与菱形的边平行时，请直接写出的长度． 【考点五 旋转中“手拉手”模型之矩形】 例题：（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点，点是的中点，连接、，若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【考点六 旋转中“手拉手”模型之正方形】 例题：（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，点分别在边上，连接．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)如图，请写出线段和之间的数量关系，并说明理由． (2)如图，若，，求正方形的面积． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西·期中）感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 2．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线． (1)正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________； (2)若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于． ①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积． 【考点七 旋转中的“半角”模型】 例题：（24-25九年级上·贵州黔东南·期中） 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点、、共线，易证________，故、、之间的数量关系为_________． 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、满足的等量关系，并证明． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程； （2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有； （3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长． 2．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型 目录 【考点一 旋转中“手拉手”模型之线段】 1 【考点二 旋转中“手拉手”模型之直角三角形】 6 【考点三 旋转中“手拉手”模型之等腰三角形】 13 【考点四 旋转中“手拉手”模型之菱形】 24 【考点五 旋转中“手拉手”模型之矩形】 32 【考点六 旋转中“手拉手”模型之正方形】 38 【考点七 旋转中的“半角”模型】 43 【典型例题】 【考点一 旋转中“手拉手”模型之线段】 例题：（24-25九年级上·河南·期中）如图1，在等腰中，，点P是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且PC，将线段绕点P顺时针旋转得到PD，连接． (1)如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，若，其他条件不变，探究线段和之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)画图见解析，，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先根据题意补全图形，连接，先证明是等边三角形，得到，，再证明得到等边三角形，则，证明，得到，则由含30度角的直角三角形的性质即可证明； （2）如图3，取中点F，连接，先证明是的中位线，得到，则 ，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：补全图形如下，，理由如下： 如图2，连接， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴等边三角形， ∵P是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图3，取中点F，连接， ∵， ∴， ∵P是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)猜想与的数量关系，并加以证明； (2)如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； (3)如图3，若是边长为1的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值_________（直接写答案）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识． （1）证明，即可得； （2）证明，可得，故，从而得到平分； （3）连接，由旋转可得是等边三角形，结合是边长为1的等边三角形，可证明，得，可得的周长，知的最小时，的周长最小，此时，即可求得答案． 【详解】（1）解：解：，理由如下： 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ∵是等边三角形， ，， ， ∴， ； （2）证明：将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ∵B、D、E三点共线， ， ∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， ， ， 平分； （3）解：连接， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是边长为1的等边三角形， ，， ， ∴， ； ∴的周长， 当时，长最小，此时的周长最小， 此时，， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【考点二 旋转中“手拉手”模型之直角三角形】 例题：（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连结，的延长线与的延长线相交于点，证明：； (3)在（2）的条件下，连结，当______时是等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）可证得，，从而，进而证得； （2）可证得，从而，进而证得，从而得出； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，（此种情况不成立），然后分类进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ； （2）证明：是的平分线， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意可分：①当是以的等腰三角形时，则有：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当是以的等腰三角形时，如图所示： ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时，则， ∴， ∵，且点P在的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当或时，是等腰三角形； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．连接． (1)求证：． (2)求证：平分 (3)求证：； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可； （2）过点A作，根据全等三角形对应高相等证明，即可证明； （3）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论； 【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形， ， ， 即， 在和中 ， ， ，     ， ， ． （2）证明：过点A作， ∵， ∴， ∴平分； （3）证明：在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为2或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】由旋转的性质可知，利用直角三角形的性质得，则有，即可判断； 在中，利用勾股定理求得，结合三角形面积公式可得，由旋转可知，即可解得和，则有； 分、和对应求解即可． 【详解】解：（1）证明：，理由如下， 由旋转的性质可知． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 在中，根据勾股定理可得． 根据三角形面积公式可得， 由旋转可知． ∴， 在中，根据勾股定理可得， 在中根据勾股定理可得 ∴点A与点之间的距离为 （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当时， 过点C作交于点E，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 则； ③当时， ∵D是的中点， ∴， 故的长为2或或． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质和分类讨论思想的应用． 【考点三 旋转中“手拉手”模型之等腰三角形】 例题：（23-24九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问． (1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有 (2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3)150 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，进而利用等式的性质解答即可； （2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； （3）由旋转构造出，进而得出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，， ， ， 即； （2）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ， ； （3）解：将绕点旋转得，连接， ， ，，， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ， ， 又， ； 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）（1）问题发现 如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空： ①线段与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________． （2）拓展探究 当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明． （3）问题解决 已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①，②；（2）成立，见解析；（3）的面积为或． 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）分两种情况讨论，画出图形，利用线段垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 且， ； （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ，， ， 且， ； （3）分两种情况讨论， ①如图，由（2）知， ∴， ∵点E位于线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴在同直线上， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为； ②如图，由（2）知， ∵点E位于线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点D也在线段的垂直平分线上， ∴， ∴的面积为； 综上，的面积为或． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)如图①，当点在上，点在上时，线段与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)把绕点旋转到如图②的位置，连接与交于点与交于点，此时①中的结论还成立吗？请说明理由； (3)绕点在平面内旋转的过程中，若，当点在线段上，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）过点C作于M，根据勾股定理得出，根据等腰直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ； （3）解：如图，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，中，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接．设交于D，分别交于E、F． ①在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（与全等除外）； ②当是等腰三角形时（等腰三角形的两个底角相等），则 ． 【答案】(1) (2)且，理由见解析 (3)①或或，见解析；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】（1）由证明全等即可； （2）由证明全等，再根据全等三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （3）①由旋转的不变性即可证明三组全等；②分类讨论， 由得到，而，则若，则，则，那么可得，解得（舍去）；由，则，即；若，则，即，． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：且， 如图2， ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴，          ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）①证明：如图3， ∵， ∴, 由旋转得，，， ， ； ， ， ， ，， ， ，，， ． ②解，如图4，连接， 在中 又是等腰直角三角形 若，则 ， ， （舍去）； ， ，即； 若，则，即， 综上所述，当为等腰三角形时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，外角定理，等腰三角形的分类讨论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 【考点四 旋转中“手拉手”模型之菱形】 例题：（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)（1）的结论仍然成立，理由见解析 (3)， 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）先根据菱形和等边三角形的性质得出，结合，证明则，因为以及，所以，即可作答． （2）先根据菱形的性质，得出和都是等边三角形，运用角的运算，得证明则，即则即； （3）因为正方形，所以平分，证明即为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出故，，通过角的换算，即，证明，所以，最后在中，，即可作答． 【详解】（1）解：如图：连接，延长交于点F， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴， ∵， ∴， 则， 即； 故答案为：， （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图：连接，设与相交于点H ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴和都是等边三角形， ∴， 则 ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 即； （3）解：如图所示：过点P分别作，垂足分别是， ∵四边形为正方形， ∴平分 ∴，且 又∵， ∴ ∴ ∴，即为等腰直角三角形， ∴ 把绕点A逆时针转，与重合，点P的对应点是 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∴ 【点睛】本题考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·一模）如图，菱形中，对角线交于点O，将绕点C逆时针旋转得到，其中点A，D的对应点分别为点M，N，设旋转角为． (1)当时： ①当点M落在上时，的度数为______； ②如图2，当时， 交于点G，判断四边形的形状并说明理由． (2)当时，连接．若，，当与菱形的边平行时，请直接写出的长度． 【答案】(1)①；②四边形为菱形，理由见解析 (2)或10或 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）①连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解； ②根据菱形的性质可得，由旋转可得，， ，则，进而证明，由此可得即可得四边形是平行四边形，进而证明四边形是是菱形． （2）分三种情况：①当时，连接．根据菱形的性质和旋转的性质可得，进而可得四边形是菱形．则可得，，根据勾股定理求出的长，即可得的长；②当时，先证N、C、D三点共线，则可得；③当，点M落在上时，先根据证明，则可得． 【详解】（1）①如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分，且M点在上，, ∴， 又∵旋转至， ， ， 是等边三角形， ， 即旋转角， 故答案为：． ②四边形为菱形．理由如下： ∵四边形为菱形， ∴． 由旋转的性质得：，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． （2）①如图1，当时，连接． ∵四边形是菱形， ∴． 由旋转的性质得：，， ∴， ∴四边形是菱形． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图2，当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴N、C、D三点共线， ∴； ③如图3，当，点M落在上时， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ， 又， ， 又， ∴， ∴． 综上所述，的长度为或10或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点五 旋转中“手拉手”模型之矩形】 例题：（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点，点是的中点，连接、，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和矩形的性质． （1）先由矩形的性质和平行线的性质得到，根据旋转的性质得到，有，即可证得． （2）过点作，连接，由平分，，，得，根据旋转的性质，有，证得，有点是的中点，结合点是的中点，则是的中位线，由于矩形得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点作于点，连接， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析：②；（2）见解析；（3）的长为或 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，从而得出，推出四边形是矩形，由旋转的性质可得，即可得证；②连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由勾股定理求出即可得解； （2）连接，由矩形的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而得到，由等角对等边对出，结合，即可得证； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上，由，得出点在的垂直平分线上，再两种情况：当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则；当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则；分别利用矩形的判定与性质、勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①证明：∵四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质可得， ∴四边形是正方形； ②解：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，，，， 由旋转的性质可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 如图，当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、正方形的判定、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【考点六 旋转中“手拉手”模型之正方形】 例题：（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，点分别在边上，连接．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)如图，请写出线段和之间的数量关系，并说明理由． (2)如图，若，，求正方形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（）利用正方形和旋转的性质证明，得到，即可求证； （）由（）的结论可得，设正方形的边长为，则，，在中利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可得，，， ∴，，， ∴，即点共线， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设正方形的边长为，则，， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西·期中）感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 【答案】探究：见解析；应用： 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明 【分析】感知：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，即可得出结论； 探究：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； 应用：先求出，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】感知： 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 探究： 证明：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 应用： 解：由（2）知，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线． (1)正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________； (2)若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于． ①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积． 【答案】(1)15 (2)①，理由见解析②，理由见解析 (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、通过对完全平方公式变形求值、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）将四边形的面积转化为求梯形和的面积，计算时将算式变形为与的形式即可求解； （2）①证明即可求证； ②利用倍长中线法构造，再证明即可求解； （3）利用全等三角形进行等面积转化即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形的面积，且，， ∴四边形的面积． （2）①，理由如下： ∵正方形和正方形中，，，， ∴即， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，延长至M，使，则， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 由（2）知， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、倍长中线法、求不规则图形面积、完全平方公式的变形等知识，解题的关键是发现全等三角形并运用转化的思想方法． 【考点七 旋转中的“半角”模型】 例题：（24-25九年级上·贵州黔东南·期中） 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点、、共线，易证________，故、、之间的数量关系为_________． 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、满足的等量关系，并证明． 【答案】（1），；（2）；（3），证明见解析. 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，然后利用证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转至，然后利用证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：   （2），理由如下：如图， ∵，， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴，即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，． ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，正方形的性质．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程； （2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有； （3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即； （3）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即的长． 【详解】解：（1）如图， ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由是： 如图，把绕A点旋转到，使与重合， 则， ∵， ∴， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵中，，， ∴，由勾股定理得：，     如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接． 则， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得： ， 即． 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形． 2．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程．    【答案】（1）；；（2）（1）中的结论还成立，见解析；（3），见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． （1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，    ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：    则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$