第22章 二次函数 期末综合复习训练题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．最小值为1 D．当时，随的增大而增大 3．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．  B． C．   D．   7．用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 8．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．请写出一个开口向上，与轴交点纵坐标为，且经过点的抛物线的解析式： ． 10．将二次函数化成的形式是 ． 11．已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ． 12．抛物线顶点坐标是 ． 13．约定：如果是的函数，我们把时的函数值记为．已知二次函数，当取两个不同的值和时，，则 ． 14．用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？ 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    16．在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 三、解答题 17．根据条件求二次函数的解析式． (1)抛物线的顶点坐标是，且经过点 (2)抛物线经过点、， 18．如图，已知二次函数（）图象的顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求y的取值范围． (3)当时，请结合图象直接写出x的取值范围． 19．已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 21．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表： 销售单价（元） 60 65 70 日销售量（件） 200 150 100 (1)根据以上信息，求关于的函数关系式； (2)已知销售单价为60元时，日销售利润为2000元.［注：日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）] ①求该商品的成本单价是多少元； ②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润； ③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润有最大值，日销售利润的最大值为多少元． 22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据题意得到新抛物线的解析式为：． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 6．A 【分析】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数的图象得到，的正负，然后相比较解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相吻合； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾. D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是利用二次函数图象的对称性质确定对称轴，进而求解的值． 先根据表格中值相同的点确定二次函数的对称轴，再根据对称轴的对称性找到与对称的点，从而求出的值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴对称轴为直线， ∵点与点关于对称轴对称，且时， ∴时，即． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可得，，求出，即可判断①；根据抛物线图象与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④；由图象可得，当时，二次函数有最小值为，即可判断⑤；由图象可得，当时，随的增大而减小，即可判断⑥；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线图象与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，时，，故，故③错误； 由图象可得，当时，，故，故④正确； 由图象可得，当时，二次函数有最小值为， ∴为任意实数，，即，故⑤正确； 由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥正确； 综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共个， 故选：C． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征． 设，由图象与轴交点纵坐标为，可得，而图象经过点，故，又图象开口向上，可令，则，即可得到答案． 【详解】解：设， ∵图象与轴交点纵坐标为， ∴， ∴， ∵图象经过点， ∴， ∴， 由图象开口向上，可令，则， 此时抛物线的解析式为； 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 分两种情况分析：当时，根据二次函数的图象和x轴有交点，可得，当时，为一次函数即可求解． 【详解】解：当时， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，且， 当时，为一次函数，与x轴有交点，符合题意； 综上可得： 故答案为： ． 12． 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 13．25 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性得出，求出，然后把代入求解即可． 【详解】解：对于二次函数，当取两个不同的值和时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 14． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据长方形面积公式列出函数解析式，将其配方成顶点式是解题的关键． 根据题意表示出矩形的另一边长，再根据长方形面积公式列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出其最值情况． 【详解】解：根据题意，矩形的一边长为米，则另一边长为米， ， 即当时，， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 16．8 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，求出抛物线解析式，令，求出x的值即可． 【详解】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长度为8米， 即小颖这次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的关键是熟练掌握各个形式求二次函数的方法； （1）根据题意设出二次函数的顶点式，再代入剩下的一个点即可得到答案； （2）根据题意设出二次函数的交点式，再代入剩下的一个点即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意设抛物线的解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 18．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用函数解析式得当时，，当时，，再结合函数图象可得答案； （3）先根据二次函数图象得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：∵该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为， 将代入得：， 解得， 将代入得：； （2）解：当时，， 当时，， 结合函数图象可知，当时，求y的取值范围为； （3）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与x轴其中一个交点坐标为， ∴与x轴另一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，x的取值范围为． 19．(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 20．(1)点P运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由题意可得，，从而得出，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由（1）可得，，，由三角形面积公式列出关于的二次函数，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由题意可得：，， ∴， 则， 解得：，， ∴点P运动开始后第或秒时，的面积等于； （2）解：设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为． 21．(1) (2)①50元；②2160元；③当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，抛物线的图象和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）①设该产品的成本单价是元，根据题意可列方程求解即可； ②根据题意得．代入计算即可； ③将②中函数关系式根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数表达式为， 把代入得， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：①设该产品的成本单价是元，根据题意， 得， 解得， 该商品的成本单价是50元； ②根据题意，得． 当时，（元）； ③， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为2250， 答：当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元. 22．(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据当和时所对应的函数值相等，可得，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可； （3）首先得到，然后得到当四边形是平行四边形时，四边形是菱形，求出，设点N的横坐标为n，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）∵当和时所对应的函数值相等 ∴对称轴为直线 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图所示，连接，， 联立抛物线与直线，得， 解得或， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）如图所示， 由（2）得， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是菱形 ∵，， ∴，即， 设点N的横坐标为n， ∵ ∴ ∴ ∴将代入 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $