精品解析：人教版九年级数学上册 第二十二章二次函数单元检测题

2020-2021学年度第一学期 九年级数学单元检测题（二） （检测内容：第二十二章 二次函数） 考试时间：90分钟；满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列关系式中，属于二次函数（为自变量）的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数、正比例函数、反比例函数、一次函数的一般形式进行判断即可． 【详解】解：A、二次函数； B、正比例函数； C、反比例函数； D、一次函数． 故选：A． 【点睛】本题主要考查是二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 2. 与抛物线的开口方向相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次项系数，开口向上，，开口向下，逐项判断，即可解题． 【详解】解：抛物线中， 抛物线开口向下， ， ，，开口向上，开口向下． 故选：B． 3. 抛物线y＝的顶点是（ ） A. (2,-3) B. (1,4) C. (3,4) D. (2,3) 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可. 【详解】抛物线y＝的顶点是(2,3). 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 4. 二次函数的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k. 所以二次函数的最小值为2， 故选：B 5. 在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当时，该物体经过的路程为（ ） A. 88米 B. 68米 C. 48米 D. 28米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，直接把代入对应的函数解析式中求出对应的路程即可． 【详解】解：当时，路程米． 故选：A． 6. 二次函数的图像可以由二次函数图像平移得到．下列平移正确的是（ ）． A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位． B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位． C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位． D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位． 【答案】B 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 故选：B． 【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力，解题关键是把二次函数化为顶点坐标式和理解二次函数图象平移的规律． 7. 根据下列表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（　　） x 1.43 1.44 1.45 1.46 y＝ax2+bx+c ﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.052 A. 1.40＜x＜1.43 B. 1.43＜x＜1.44 C. 1.44＜x＜1.45 D. 1.45＜x＜1.46 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格中判断y=0的位置在-0.046与0.003之间，即可确定x的值在1.44与1.45之间. 【详解】解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45． 故选C． 【点睛】此题考查利用表格求二次函数的对应值，首先找到y=0的位置是解题关键. 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5 【答案】D 【解析】 【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集： 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）． 由图象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5．故选D． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 10. 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，以及根据二次函数的图像判断式子符号，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据二次函数的图像与性质，逐个判断，即可解题． 【详解】解：①由图像可知，二次函数开口向下， 则， 故①错误； ②由图像可知，二次函数与轴有个交点， 则， 故②正确； ③当时，随的增大而增大， 故③错误； ④由图知，当时，， 故④正确； 综上所述，正确的结论有2个， 故选：B． 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象开口向下可知，解之，即可求得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 解得：， 故答案为：． 12. 抛物线的图象过原点，则m的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将原点代入抛物线中求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的图象过原点， ， 解得， 故答案为：1． 13. 把配方成的形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方公式，然后整理即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的三种形式的相互转化，本题加上一次项系数的一半的平方式配成完全平方式是关键，属于基础题，细心运算即可． 14. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 【答案】-4 【解析】 【详解】解：由对称轴公式得=2， 求得b=-4． 故答案为：-4． 15. 若抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律进行求解即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是， 故答案为： 【点睛】此题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 16. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可． 【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N， ∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0）， ∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3． ∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h， 将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣． ∴点P的坐标是（－3，﹣）． 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积， ∴S=， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键． 17. 老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当时，y随x的增大而减小． 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点． 根据甲，乙，丙三位同学的叙述，得到函数应该满足的条件，进而给出满足条件的函数解析式即可． 【详解】解：二次函数的图象经过第一、二、四象限； 又当时，y随x的增大而减小． ，二次函数对称轴在直线处或在该直线右侧（可借助顶点式分析）， 函数的图象与坐标轴只有两个交点． 二次函数过原点，且顶点坐标的横坐标大于等于，顶点坐标的纵坐标为负， 则满足上述所有性质的一个函数为 （答案不唯一）， 故答案为：． 三、解答题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 18. 求函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大或最小值． 【答案】抛物线开口向下；对称轴：直线；顶点；函数y有最大值，最大值为-4. 【解析】 【分析】利用a与开口方向的关系，对称轴公式和顶点坐标公式计算即可. 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向下 对称轴为：直线 ∴顶点坐标的横坐标为：2，将，代入解析式得： ∴顶点坐标为 ∵函数的开口向下， ∴函数有最大值，当时y取最大值，此时，即最大值为. 【点睛】此题考查的是二次函数的性质，掌握二次项系数与开口方向的关系，对称轴公式，顶点坐标公式是解决此题的关键. 19. 已知抛物线顶点是且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）该抛物线与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（1）由抛物线顶点是可设抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式求出的值即可； （2）令即可求出该抛物线与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线顶点是， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为，即； 【小问2详解】 解：令，则， 该抛物线与轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点是设抛物线的解析式为是解题的关键． 20. 已知二次函数，在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图像，根据二次函数作图步骤：列表，描点，连线，画出二次函数的图像即可． 【详解】解：根据解析式列表如下： 1 2 3 0 0 根据表格中数据，描点，连线，可得二次函数的图像如下图： 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 21. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程两个根； （2）当为何值时，？ （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． 【答案】（1）方程的两个根为， （2）当时， （3）当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】（1）找到二次函数与轴的交点坐标即可得到答案； （2）找到二次函数在轴上方时的取值范围即可； （3）结合图象即可写出随的增大而减小的自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：由图象可得： 二次函数与轴的交点坐标为和， 方程的两个根为，； 【小问2详解】 解：由图象可得： 当时，； 【小问3详解】 解：由图象可得： 二次函数对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象确定相应的方程的根的情况，采用数形结合的思想是解此题的关键． 22. 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴有两个交点； （2）若该抛物线与轴的两个交点分别为，且它的顶点为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）面积为27 【解析】 【分析】（1）根据与零的关系即可判断出二次函数的图象与轴交点的个数； （2）先求出点的坐标，从而得到的长，然后配方得到抛物线的顶点坐标，根据三角形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， 抛物线与轴有两个交点； 【小问2详解】 解：令，得， 解得：， ， ， 由， 点坐标为， 过作轴于，则， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与轴的交点问题以及抛物线的顶点式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质． 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0， （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？ （2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明； （2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k值． 【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4， ∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的两个根，得 ∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3， 又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得 b2+c2＝a2， ∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝3， 当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b+c＝2×3+1＝7，符合题意，故k＝3． 【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键 五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）元 （3）每件玩具的售价定为元或元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用； （1）根据利润数量每件的利润，求出关系式即可； （2）当时代入（1）的解析式可以求出结论； （3）根据（1）中解析式，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：依题意得：， 每件首饰售价不能高于40元，即， ． 答：与的函数关系式为：，的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ，， ， ， 当时，； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ，． 当时，最大，根据题意，取正整数， ∴当时，（元）； 当时，（元）； ∴当或时，有最大值，最大值为，此时或， 答：每件玩具的售价定为元或元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元． 25. 如图．已知抛物线经过点和点，点为抛物线与轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式得，解方程求出值即可； （2）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，设，则，，利用三角形的面积公式得到，再利用二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， 将点和点代入抛物线解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在抛物线中，令，则， ， 设直线的解析式为：， 将和代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 设，则， ， ， 当时，最大，为， 面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年度第一学期 九年级数学单元检测题（二） （检测内容：第二十二章 二次函数） 考试时间：90分钟；满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列关系式中，属于二次函数（为自变量）的是（ ） A. B. C. D. 2. 与抛物线的开口方向相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝的顶点是（ ） A. (2,-3) B. (1,4) C. (3,4) D. (2,3) 4. 二次函数的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 5. 在一定条件下，若物体运动路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当时，该物体经过的路程为（ ） A. 88米 B. 68米 C. 48米 D. 28米 6. 二次函数图像可以由二次函数图像平移得到．下列平移正确的是（ ）． A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位． B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位． C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位． D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位． 7. 根据下列表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（　　） x 1.43 1.44 1.45 1.46 y＝ax2+bx+c ﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.052 A. 1.40＜x＜1.43 B. 1.43＜x＜1.44 C. 1.44＜x＜1.45 D. 1.45＜x＜1.46 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 12. 抛物线的图象过原点，则m的值为__________． 13. 把配方成的形式是______． 14. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 15. 若抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是_________． 16. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______． 17. 老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数一个性质： 甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当时，y随x的增大而减小． 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数______． 三、解答题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 18. 求函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大或最小值． 19. 已知抛物线顶点是且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 20. 已知二次函数，在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 21. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）当为何值时，？ （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． 22 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴有两个交点； （2）若该抛物线与轴两个交点分别为，且它的顶点为，求的面积． 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0， （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？ （2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 25. 如图．已知抛物线经过点和点，点为抛物线与轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $