第21章一元二次方程 期末综合复习训练题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．将一元二次方程转化为的形式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 5．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（   ） A．19 B．29 C．17 D． 6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 7．太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若实数满足，则的值为 ． 10．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围 ． 11．已知是方程的一个根，则 ． 12．已知关于的方程的两个实数根，满足，则实数的值为 ． 13．已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 14．若一元二次方程的两根恰好是一个直角三角形的两边长，则这个直角三角形的第三边长为 ． 15．某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，设这次有x个队参加比赛，则列方程为 ． 16．如图，在中， ，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为 秒． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 18．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 19．已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 20．某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． (1)_______米；（用含x的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 21．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 22．综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达发现，习惯上称为“韦达定理”，韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数、、有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值． 解：、q是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则______，______； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； (3)提升：已知实数、满足，且，求的值． 参考答案 1．解：A、是分式方程，不符合题意； B、方程化简得，是一元一次方程，不符合题意； C、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2．解：将代入方程，得 ， 解得． 故选A． 3．解：∵ 原方程：， 配方法：加上并减去一次项系数一半的平方，即 ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得，，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B 6．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形定义，先解方程得到或，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三边长，最后计算周长，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴或， 若腰长为，底边为，则，不满足三角形三边关系，故不成立； 若腰长为，底边为，则 和 均成立，满足三角形三边关系； ∴三边长为，，， ∴周长为， 故选：． 7．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用—月平均增长率的计算；设月平均增长率为，根据增长模型，初始人数乘以等于最终人数，列方程求解即可． 【详解】解：设月平均增长率为， ∵初始人数为120人，最终人数为270人，经过两个月， ∴， 即（取正值）， ∴， ∴月平均增长率为； 故选项D正确． 8．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形草地的长、宽及修建道路的宽度，可得出种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形，再结合草坪的面积为1800平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形草地的长为54米，宽为38米，且道路的宽为x米， ∴种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形． 根据题意得：． 故选：D． 9．4或6 【分析】本题考查解一元二次方程，通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 即， 因式分解得 ， 解得或； 故的值为4或6； 故答案为：4或6 10．且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键． 根据，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 11．2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 首先将方程化为标准形式，利用判别式求的取值范围，再根据条件 分两种情况讨论，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：原方程可化为 ， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即：， 解得 ， ∵， ∴或， 若，则 ，即 ，解得 ， 若，则，由根与系数的关系，，解得 ， 但 时，，无实数根，故舍去， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键．由根与系数的关系可得，，利用方程根的性质，将和用和表示，代入代数式化简，最后利用的值求解． 【详解】解： 与是方程的两个不同的根， ，， ， ． 由根与系数的关系可得，， ， 原式． 故答案为：． 14．3或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，即为直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边：当两根均为直角边时，第三边为斜边；当其中一根为斜边时，第三边为直角边． 【详解】解方程 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 即直角三角形的两边长为4和5． 当4和5均为直角边时，第三边（斜边）长为 ； 当5为斜边时，第三边长为 ． 故第三边长为3或． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，设共有x个队参加比赛，每个队与其他个队各赛一场，由于每场比赛涉及两个队，总比赛场数需除以2以避免重复计算，因此总比赛场数为，根据总场数为45，即可列出方程． 【详解】解：设有x个队参加比赛，则总比赛场数为，根据题意得， 故答案为：． 16．1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 则， ∵的面积等于， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意， ∴， 即的面积等于，则运动时间为1秒； 故答案为：1． 17．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用公式法进行解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，； （2）解： 或， ∴，． 18．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，， ∴， 解得或． 19．(1)证明过程见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当，为腰，则；当，或，为腰，则是方程的解，代入求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， 不论为何值，该方程总有实数根； （2）等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根， 当，为腰时，，，且， ， 解得：， ， 周长； 当，或，为腰，则是方程的解， ， ， ， ， 的周长； 的周长为或． 20．(1) (2)40米 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为40米． 21．(1)从假期第一天到第三天的平均日增长率为 (2)①；②每把扇子应降价6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 22．(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）依据题意，直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）依据题意，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，可得m，n是一元二次方程的两个根，从而，，进而可以计算得解． 【详解】（1）一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：， （2）一元二次方程的两个实数根为p、q， ， （3）由题意，， ， ，且， ，n是一元二次方程的两个根． ， 学科网（北京）股份有限公司 $