江苏省海门中学2025-2026学年高一上学期周测四数学试题 （10.28）

江苏省海门中学高一数学周末练习4(20251028) 一、单选题：本题共8小题、每小题5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抽象函数定义域的求解，需要遵循两个原则，第一是定义域是指的取值范围；第二是同一对应法则下，整体范围相同. 【详解】因为的定义域为，所以，解得或．又因为，解得，所以的定义域为． 故选：A 2．已知，当取最大值时，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据已知使用基本不等式，整理求出取最大值时的和值，再得出结果. 【详解】由已知可得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号，即，， 此时. 故选：B． 3．下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】, ， ， ， 故③④正确，①②错误， 故选：B 4．已知，，，则的最小值是（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】先运用对数的运算性质化简已知式为，结合所求式的结构，将其化成，利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得. 【详解】由可得: , 即,则 则 , 当且仅当时,等号成立. 由解得：， 即当时，的最小值是. 故选：B. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算. 【详解】由换底公式得：，，其中，，故 故选：C 6．已知若x1，x2是的两个解，则=（      ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用根与系数关系，求得表达式的值. 【详解】由可得，， 令，则， 所以， 因为， 所以=2. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，； 当时，； 令，则由，得， 由上述分析可得且，解得，即， 所以且，解得. 故选：D. 8．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值. 【详解】令，解得或， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最小值，此时， 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤： （1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标； （2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象； （3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A． B．函数与不是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】对于A：根据元素与集合之间的关系分析判断即可；对于B：根据函数相等分析判断；对于C：根据抽象函数的定义域分析判断；对于D：利用配凑法结合对勾函数值域分析求解. 【详解】对于选项A：因为为自然数集，所以，故A错误； 对于选项B：因为，可知函数与的对应关系不同， 所以函数与不是同一函数，故B正确； 对于选项C：若的定义域为， 对于函数，可得，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于选项D：因为， 由对勾函数可知的值域为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10．下列函数求值域正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】CD 【解析】去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A； 讨论和，利用基本不等式求值域可判断选项B；利用单调性即可判断选项C；定义域为，将两边平方可得， 由于，可得，求出的范围即可求值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A：原函数化为， 其图象如图，原函数值域为，故选项A不正确， 对于选项B：，定义域为， 当时，，此时， 所以，当且仅当即时等号成立， 当时，，此时，当且仅当即时等号成立， 所以函数值域为，故选项B不正确； 对于选项C：的定义域为， ， 因为与均在上是增函数，所以在上是增函数，又在上恒不等于， 则在上是减函数，则的最大值为， 又因为，所以的值域为，故选项C正确； 对于选项D：的定义域为， ， 设，则，，， 则，的值域为，故选项D正确， 故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法 （1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到； （2）利用常见函数的值域：一次函数值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数值域为； （3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域； （5）换元法：对于一些无理函数如，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域； （6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如，，以及绝对值三角不等式等； （7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如 的函数求值域，均可使用配方法； （10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法； （11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域. 11．历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（    ） A．的图像关于轴对称 B．的值域是 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可. 【详解】易知同为有理数或同为无理数， 所以，故A正确； 由题意可知，故B错误； 易知同为有理数或同为无理数， 所以，故C正确； 由题意可知均为有理数，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数则的值域是 【答案】 【分析】将定义域内的代入函数解析式，由此求得函数值域. 【详解】依题意，函数定义域为，而，所以函数的值域为. 故填：. 【点睛】本小题主要考查函数的定义域与值域，考查观察与思考的能力，属于基础题. 13．若，且，则t的值为 ； 【答案】或 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 14．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据一元二次不等式的解法将不等式转化为，讨论的大小得关于的不等式，从而可得实数a的取值范围. 【详解】作出函数的图像，如图所示，      有，， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不可能只有一个整数解． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 计算：（1）. （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用公式化简，求值；（2）根据分数指数幂的运算公式化简. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 16．(本小题12分) 已知函数. （1）并画出函数在区间上的图象； （2）写出函数在区间上的单调区间､最值. 【答案】（1）详见解析；（2）单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3． 【分析】（1）可将函数解析式转化为，由解析式即可画出图象； （2）利用函数的图象，由图象的变化趋势以及图象的最高点和最低点，即可得到答案． 【详解】（1）因为， 所以， 函数在区间上的图象如图所示： （2）由的图象可得，单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3． 17．(本小题15分) 已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求的取值范围. (3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设二次函数，利用题目条件可以得到关于的方程组，解方程组得到，即可得到解析式； （2）根据的图象、值域可得答案； （3）分讨论，结合的图象求解可得答案. 【详解】（1）设二次函数，，由题意知： ，整理得：， 即：，解得：， ∴； （2）因为， 所以其图象的对称轴为直线，当时，， 因为当时，，由二次函数图象可知 ，解得， 所以的取值范围是； （3）由（1）知，的图象开口向上， 时，，解得：或， ∴当，，图象在轴下方， 当，，图象在轴上方， 对于，当时，，当时， 图象在图象的上方，不合题意，舍去； 当时，，开口向上，当时， 图象在图象的上方，不合题意，舍去； 当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立，， 即有：，即：. 综上，的取值范围是. 18．(本小题12分) 已知二次函数的最小值为，． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，试求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）由题意结合二次函数的图象与性质，利用待定系数法即可得解； （2）由二次函数的图象与性质转化条件为，即可得解； （3）讨论区间与函数图象对称轴的关系，结合单调性即可得解. 【详解】解：（1）由已知函数是二次函数，且， ∴函数图象的对称轴为， 又最小值为-1，设，又，∴． ∴； （2）由（1）知函数图象的对称轴为，要使在区间上不单调， 则，所以； （3）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝上， 若，则在上是增函数，； 若，即，则在上是减函数，； 若，即，则； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，． 19．(本小题17分) 对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就． (1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； (2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：） (3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为，二阶魔方复杂度上限约为，甲、乙两个同学福佑崇文阁赵老师都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，，） 【答案】(1)答案见解析； (2)515； (3)乙同学的近似值更接近，理由见解析. 【分析】（1）由对数的概念与指数的运算性质证明， （2）由对数的运算性质求解， （3）由对数的运算性质求解的近似值后判断， 【详解】（1）法一：设，， ， 法二：，设， 则， . （2）， ，的位数为515. （3） ， ， ， 乙同学的近似值更接近. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学高一数学周末练习4(20251028) 一、单选题：本题共8小题、每小题5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知，当取最大值时，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，，，则的最小值是（   ） A．3 B． C． D．9 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知若x1，x2是的两个解，则=（      ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 8．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．给出以下四个判断，其中正确的是（   ） A． B．函数与不是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则 10．下列函数求值域正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 11．历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（    ） A．的图像关于轴对称 B．的值域是 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数则的值域是 13．若，且，则t的值为 ； 14．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 计算：（1）. （2）. 16．(本小题12分) 已知函数. （1）并画出函数在区间上的图象； （2）写出函数在区间上的单调区间､最值. 17．(本小题15分) 已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求的取值范围. (3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 18．(本小题12分) 已知二次函数的最小值为，． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，试求的最小值． 19．(本小题17分) 对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就． (1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； (2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：） (3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为，二阶魔方复杂度上限约为，甲、乙两个同学福佑崇文阁赵老师都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $