1.3 反比例函数的应用 同步练习 2025-2026学年鲁教版数学九年级上册

反比例函数的应用 一、单选题 1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1000N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 4．已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．菱形的对角线长分别为，菱形的面积为4，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是（   ）． A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图像可能是（   ） A． B． C． D． 8．小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字 9．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 10．如图，在平面直角坐标系中，由3个边长均为1的小正方形拼成矩形，其中矩形的顶点在坐标原点，顶点在轴正半轴上，顶点在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 11．小艳家购买了一张面值为元的天然气使用卡，这些天然气能使用的天数与小艳家平均每天使用天然气的钱数之间的函数关系式为 ． 12．收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为 kHz． 13．一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系下的大致图象如图所示，则，的取值范围分别是 ． 14．阅读下列文字，并回答问题． 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图像如图①，观察两个图像可得，关于的方程的解是，关于的不等式的解集是．同样，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图②，则关于的方程的解是，关于的不等式的解集是或． 如图③，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ． 15．将等腰直角三角形按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点，点，点在双曲线的图像上． （1） ； （2）将沿着轴正方向平移个单位得到． ①当双曲线过线段的中点时，点的坐标是 ； ②当线段和双曲线有公共点时，的取值范围是 ． 三、解答题 16．人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 17．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 18．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，的面积为10，求点的坐标； (3)结合图象，关于的不等式的解集为______． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，，求当最小时点的坐标； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C B D A D A B 1．C 【分析】根据题意可得动力F关于动力臂l的函数解析式为：，即可求得． 【详解】∵阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1000N和0.5m， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了实际问题与反比例函数，根据题意得出解析式是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 3．C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知， ∴， ∵轴且， ∴， ∴， 故选：C． 4．C 【分析】根据一次函数的图象所在象限，可得的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴． ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限． 综上所述，符合条件的图象是C选项． 故选：C． 【点睛】本题考查了通过一次函数的图象求解系数的范围、反比例函数的图象等．掌握相关结论是解题关键． 5．B 【分析】根据菱形的面积公式可得关系式，再化简即可得解． 【详解】解：菱形的面积等于对角线乘积的一半， 所以， 化简得：， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的面积计算，实际问题与反比例函数．掌握菱形的面积计算方式是解题关键． 6．D 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，根据点求出反比例函数的解析式，再令，即可得出答案. 【详解】解：设函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴函数解析式为， 令，则， 故选：D 7．A 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，分别根据的符号判断反比例函数和一次函数的图象所在象限即可． 【详解】解：对于反比例函数，当时，反比例函数过第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限， 故选项B，C错误； 对于反比例函数，当时，反比例函数过第二、四象限，一次函数过第一、二、四象限， 故选项A正确，选项D错误； 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断C选项； 求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断D选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：， 解得：， 即反比例函数解析式为， A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意； B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意； C、当时，， 当时，， （分钟）， 即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意； D、当录入时间时，， ，在第一象限内，随的增大而减小， 即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意； 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作，垂足为F， 设，， ∵轴，， ∴轴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，坐标与图形，勾股定理，过点C作轴，交y轴于点H，利用勾股定理求出，再根据求出，再利用勾股定理求出，即可得到点C的坐标，代入中求解即可． 【详解】解：过点C作轴，交y轴于点H， 根据题意得：， 在中，， ，即， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 11． 【分析】本题考查反比例函数的定义、性质与运用，根据平均每天的用天然气数使用的天数总天然气量列式，整理即可求出与的函数关系式． 【详解】 是钱数． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，将图像上的点代入求得解析式即可． 【详解】解：∵频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数， ∴设 由图像可得： ∴ ∴ 当时， 故答案为： 13．； 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，先根据一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，判断出、、b的范围，再判断出，的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，， 又∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：；． 14．或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合的思想，把转化成，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：即， ∵一次函数与反比例函数的图像相交于两点，它们的横坐标分别为1和5， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 15． 3 【分析】（1）作轴于点E，证明，从而求得，即可求解； （2）①根据平移的性质得到平移后的中点为，再解方程即可求解； ②考虑当在双曲线上时，当在双曲线上时，两种情况，即可求解． 【详解】解：（1）作轴于点E， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在双曲线的图像上， ∴； 故答案为：3； （2）①设的中点为D， 则，， ∴， ∵将沿着轴正方向平移个单位得到， ∴y值不变，则平移后的中点为， 依题意得， 解得， ∴点的坐标是； ②设平移后， 当在双曲线上时，有， 解得， 当在双曲线上时，有， 解得， ∴线段与双曲线有公共点时，的取值范围是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，涉及全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标特征，有一定难度． 16．(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 17．(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 18．(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 19．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的综合，三角形的面积的应用，主要考查学生的数形结合能力． （1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）设直线与x轴的交点为C，根据三角形面积求出的长，根据C的坐标即可得出P的坐标； （3）直接观察图象可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵在上， 所以， ∴A的坐标是， 把代入，得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴的交点为C， 把代入得：， 解得， ∴C的坐标是， ∵P为x轴上一点，且的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当P在负半轴上时，P的坐标是， 当P在正半轴上时，P的坐标是， 即P的坐标是或； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 故答案为：或． 20．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）设直线与x轴，y轴分别交于N，M，作点C关于y轴的对称点H，连接交y轴于G，连接，推出当三点共线且时，最小，即最小；求出，进而证明，即可退出，得到；由对称性可知 ，则，由此求出，则． 【详解】（1）解：把代入到反比例函数中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入到中得：， ∴； 把，代入到一次函数中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：设直线与x轴，y轴分别交于N，M，作点C关于y轴的对称点H，连接交y轴于G，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即最小； 在中，令，则，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由对称性可知 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定当三点共线且时，最小，即最小是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数的应用 一、单选题 1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1000N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 4．已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．菱形的对角线长分别为，菱形的面积为4，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是（   ）． A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图像可能是（   ） A． B． C． D． 8．小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字 9．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 10．如图，在平面直角坐标系中，由3个边长均为1的小正方形拼成矩形，其中矩形的顶点在坐标原点，顶点在轴正半轴上，顶点在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 11．小艳家购买了一张面值为元的天然气使用卡，这些天然气能使用的天数与小艳家平均每天使用天然气的钱数之间的函数关系式为 ． 12．收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为 kHz． 13．一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系下的大致图象如图所示，则，的取值范围分别是 ． 14．阅读下列文字，并回答问题． 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图像如图①，观察两个图像可得，关于的方程的解是，关于的不等式的解集是．同样，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图②，则关于的方程的解是，关于的不等式的解集是或． 如图③，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ． 15．将等腰直角三角形按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点，点，点在双曲线的图像上． （1） ； （2）将沿着轴正方向平移个单位得到． ①当双曲线过线段的中点时，点的坐标是 ； ②当线段和双曲线有公共点时，的取值范围是 ． 三、解答题 16．人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 17．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 18．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，的面积为10，求点的坐标； (3)结合图象，关于的不等式的解集为______． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，，求当最小时点的坐标； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $