1.3反比例函数的应用 同步习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

1.3反比例函数的应用 同步习题 一、单选题 1．如图，在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的大致位置不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即： 阻力阻力臂=动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力 （单位： ）关于动力臂（单位： ）的函数解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图像大致是（　　） A． B． C． D． 4．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 5．如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，连接AD，若，则k的值为（　　） A．5 B．6 C．12 D．24 6．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图象交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为（    ） A．2.5 B．5 C．6 D．10 7．如图，点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．下列结论：①连接OC，则；②点C在函数上运动．则（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 10．如图，在平面直角坐标系中，△ABO边AB平行于y轴，反比例函数 的图像经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为9，则k= 11．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.16米，则王老师镜片的度数为 度． 12．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝ ． 13．物理学告诉我们这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数关系，可以表示成，如图，一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的，如果正放在桌面上，对桌面的压强是200Pa，则反过来放时，对桌面的压强是 ． 14．已知，两点是一次函数和反比例函数图像的两个交点，则一次函数的表达式为 ，的面积为 ． 三、解答题 15．一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速． （1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式； （2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间； （3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？ 16．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 17．如图，点，是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点，已知，连接，，． （1）求直线的表达式；（2）和的面积分别为，，求． 18．如图，在矩形中，，F是上的一个动点，F不与重合，过点F的反比例函数的图像与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该函数的解析式及    的面积； (2)当的面积为时，求F点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A A B B C A 1．C 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象综合，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：假设正比例函数经过一、三象限， 则，即：； ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， 故A不符合题意，C符合题意； 假设正比例函数经过二、四象限， 则，即：； ∴可能为正，也可能为负， ∴反比例函数的图象既可能经过一、三象限，也可能经过二、四象限， 故B、D不符合题意 故选：C． 2．C 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式． 【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂． 小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m， ∴动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4=FL， 则F=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 3．A 【分析】根据三角形的面积为定值，可得y与x的函数关系式，进而根据反比例函数图像以及根据分析判断即可 【详解】.的面积为3， 则 即 函数图像是双曲线 该反比例函数图像位于第一象限， 故选A 【点睛】本题考查了反比例函数图像，反比例函数的应用，掌握反比例函数图像是解题的关键． 4．A 【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为， 将代入函数得， 故选：A． 【点睛】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键． 5．B 【分析】设正方形的边长为a，点A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由可得，最后根据反比例函数图像的性质即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，点A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a， ∴C（t，t-a），D（t+a，t-a） ∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE ∴，， ∵， ∴，即， ∵点D在反比例函数的图像上， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键． 6．B 【分析】由可得A，B的坐标，再求解C的坐标，再直接利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解： 解得： 或经检验符合题意； ， =5 故选B． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，坐标与图形的面积，二次根式的运算，一元二次方程的解法，求解A，B的坐标，再表示C的坐标是解本题的关键． 7．C 【分析】设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，进而得出结论． 【详解】解：如图， 设A（a，），点C始终在双曲线上运动， ∵点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB⊥OC，OC=AO， ∵， ∴， 过点C作CD⊥x轴于点D， 则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角）， 设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD， 即，解得． 在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即， 将代入，可得：， 故， 则xy=-9，即k=-9， 所以，点C在函数上运动． 所以，①②都对， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，矩形的性质，设点坐标，根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 在中，当时，， ， 点横坐标为， 点横坐标为， 在中，当时，， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 故选：A． 9．2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解系数，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案． 【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系， 设，代入， ∴， ∴解析式为； 当时，， ∴原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全； 故答案为：2 10．6 【分析】延长AB交x轴于D，根据反比例函数（x＞0）的图象经过点B，设B，则OD＝m，根据△OAB的面积为9，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论． 【详解】解：延长AB交x轴于D，如图所示： ∵轴， ∴AD⊥x轴， ∵反比例函数（x＞0）的图像经过OA中点C和点B， ∴设B，则OD＝m， ∵△OAB的面积为9， ∴，即AB•m＝9， ∴AB＝， ∴A（m，）， ∵C是OA的中点， ∴C， ∴， ∴k＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题． 11．625 【分析】本题考查了求反比例函数值，反比例函数的应用， 首先求出反比例函数解析式，然后把代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴反比例函数解析式为 把代入，得度． 故答案为：625． 12． 【详解】 过点D作， 则， 由相似三角形性质得， ， 而， 则， 由于， 所以 故答案为：12． 13．300Pa 【分析】设圆台的下底面面积为，则上底面面积为，根据可用a表示出F，根据正放与反放的压力相等，利用即可得答案． 【详解】设圆台的下底面面积为，则上底面面积为， ∵圆台正放在桌面上时，对桌面的压强是200Pa， ∴， ∴反过来放时，对桌面的压强． 故答案为：300Pa 【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确表示出F是解题关键． 14． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，熟练的求出函数的解析式是解题的关键．将点坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，得出反比例函数的解析式，再将的坐标代入反比例函数解析式中求出的值，确定出的坐标，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；利用三角形面积公式，根据求解即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将，代入，得， 故点的坐标为； 把，代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 如图：一次函数与轴交于点， 令， 解得， ∴， ∴． 故答案为：，． 15．（1）；（2）提速后全程运营时间为48小时；（3）提速后，平均速度至少应为94.25km． 【分析】（1）直接利用路程＝时间×速度得出总路程，提速前后路程不变，时间=路程÷速度，代值即可得出函数关系式； （2）利用（1）中的函数关系式，代入v＝78km/h时即可得出时间； （3）利用总路程除以时间即可得出平均速度． 【详解】解：（1）由题意可得，总路程为58×65＝3770（km）， 则提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时， 故t与v之间的函数表达式为：t＝； （2）当v＝78km/h时，t＝＝48（小时）， 答：提速后全程运营时间为48小时； （3）∵全程运营的时间控制在40h内， ∴平均速度应为：t≥＝94.25， 答：提速后，平均速度至少应为94.25km． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的简单行程问题应用，正确得出函数关系式是解题关键． 16．(1)， (2)有效的消毒作用时长为小时； (3)至少需要经过8小时后，学生才能进入教室 【分析】（1）根据函数图象信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可； （3）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， ∴，； （2）解：当时，，， 解得，， ∴（小时）． ∴有效的消毒作用时长为小时； （3）解：当时，， 解得， ∴至少需要经过8小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图象上获取信息，反比例函数图象的实际意义，理解图象信息是解题的关键． 17．（1）；（2）. 【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式； （2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出S2-S1． 【详解】（1）由点、在反比例函数图像上， ∴， ∴. ∴反比例函数的表达式为. 将点代入得， ∴. 设直线的表达式为. ∴，解得. ∴直线的表达式为. （2）由点的坐标得，点到的距离为. ∴. 设与轴的交点为，可得. ∴， 由点，知点到的距离分别为，3. ∴. ∴ 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积 18．(1)， (2)， ） 【分析】（1）当F为的中点时，点F的坐标为，由此代入求得函数解析式即可；将代入求出点E的坐标，从而求出的面积； （2）先求点F的坐标，再求点E，表示出的面积，最后求出点F的坐标． 【详解】（1）∵点F是的中点， ∴ ∴， ∴， 当y为2时，x为 ∴， ∴， ∴； （2）设点，则， ∵点E的纵坐标为2， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴， 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $