河北省保定市第三中学2025-2026学年高二上学期创新班12月月考数学试题

保定三中2025—2026学年度第一学期12月月考 2024级创新项目数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，两类不同的元件并联成一个系统.当，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知，正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ） A. 0.98 B. 0.26 C. 0.72 D. 0.02 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 10. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则 11. 为坐标原点，点，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则_______． 13. 已知，，则的值为 ． 14. 在集合中任取两个数，构成以原点为起点的向量从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. （1）分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； （2）若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）当时，求的最值． 18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 保定三中2025—2026学年度第一学期12月月考 2024级创新项目数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【18题答案】 【答案】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如下： （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $