5.4第1课时 角平分线的性质和判定课件2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质定理及其逆定理”，通过剪角对折的动手操作导入，以知识回顾角平分线概念为基础，搭建“观察-猜想-证明”的学习支架，衔接前后知识脉络。 亮点在于“猜想-证明-归纳”探究链培养推理意识，剪角对折等活动发展几何直观，公路选址等练习强化应用意识。小结简洁易记，助力学生构建知识，为教师提供结构化教学与分层练习，提升教与学效率。

5.4　角平分线的性质 第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理 第5章　直角三角形 1 知识回顾 角的平分线的概念是什么？ 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为∠1= ∠2= ∠AOC 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 拿出课前准备好的折线与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 情景导入 3 自学互研 知识模块一　角平分线的性质 A O B P D E C 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 探 究 猜想 PD=PE 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO(角角边). ∴ PD = PE. A O B P D E C 应用所具备的条件： (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A O B P D E C 归 纳 (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. A O B P D E C 注意事项 几何语言 1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论． 解：AD⊥EF. 练 习 A B D C E F G 证明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(斜边、直角边)， ∴∠ADE＝∠ADF. 又∵DE＝DF， ∴AD⊥EF. DE＝DF， AD＝AD， A B D C E F G 2. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P 知识模块二　角平分线性质定理的逆定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 条件：点在这个角的角平分线上 结论：这个点到角的两边的距离相等 逆命题： 如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。 这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？ C A B O D E P 如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 证明：如图，过点O，P 作射线 OC. OP = OP， PD = PE， A B O D E P C ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） 因此OC是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线OC上. ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C 例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证： 点 B 在 ∠ADC 的平分线上; (2) BD 平分∠ABC. 证明 (1) 在 △ABC 中，因为∠1=∠ 2， 例题与练习 所以 BA = BC. 又 BA⊥AD，BC⊥CD, 所以点 B 在∠ADC的平分线上， 所以 Rt△BAD ≌ Rt∠BCD（斜边、直角边) BA = BC， BD = BD. (2)在 Rt∠BAD 和 Rt∠BCD 中， 因此∠ABD＝∠CBD,从而 BD 平分∠ABC. 文字语言： C A B O D E P 角平分线性质定理的逆定理 归 纳 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵P 为∠AOB 内部一点， 几何语言： PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. C A B O D E P 1．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝____． 练 习 60° A O B P ． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， 2．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD平分∠BAC. ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD=DC BE=CF A E C B D F 20 ∴Rt△BED≌Rt△CFD(斜边、直角边). ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. A E C B D F 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 22 一、 选择题 1. OP是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，下列图形中可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是（　D　） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 新情境·日常生活 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　D　） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，BD为∠ABC的平分线，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DE＝6，∠A＝30°，则AD的长为（　A　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是∠CAB的平分线，交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论错误的是（　C　） A. AC＝AE B. CD＝DE C. CD＝DB D. AB＝AC＋CD C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 已知BD是∠ABC的平分线，P是BD上一点，PE⊥BA于点E，PE＝4cm，则点P到边BC的距离为 　4　cm. 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E. 若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 　4　. 4　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝134°，则∠A的度数为 　88°　. 88°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 　4　. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F是OC上另一点，连接DF，EF. 求证：DF＝EF. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：因为OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE. 在Rt△OPD和Rt△OPE中， 所以Rt△OPD≌Rt△OPE（斜边、直角边）.所以OD＝OE. 因为OC是∠AOB的平分线，所以∠DOF＝∠EOF. 在△ODF和△OEF中， 所以△ODF≌△OEF（边角边）.所以DF＝EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD＝CD. 求证：点D在∠BAC的平分线上. 第11题 解：因为CE⊥AB，BF⊥AC，所以∠BED＝∠CFD＝90°.在△BDE和△CDF中， 所以△BDE≌△CDF（角角边）.所以DE＝DF. 又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以点D在∠BAC的平分线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB交AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E. （1） 求证：AF＝BE； 解：（1） 如图，连接AD，BD. 因为DP垂直平分AB，所以AD＝BD. 因为CD平分∠ACE，DE⊥BC，DF⊥AC，所以DE＝DF，∠AFD＝∠BED＝90°.在Rt△ADF和Rt△BDE中， 所以Rt△ADF≌Rt△BDE（斜边、直角边）.所以AF＝BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若BC＝3，AC＝5，求CE的长. 解：（2） 因为CD平分∠ACE，DE⊥BC，DF⊥AC，所以∠DCE＝∠DCF，∠DFC＝∠DEC＝90°.又因为CD＝CD，所以△CDF≌△CDE. 所以CE＝CF. 设CE＝CF＝x，则AF＝AC－CF＝5－x，BE＝BC＋CE＝3＋x.因为AF＝BE，所以5－x＝3＋x，解得x＝1.所以CE＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $