12.3.1 等腰三角形的性质（一） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.3.1 等腰三角形的性质（一） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 训练内容：等腰三角形的性质（定义、等角对等边和三线合一） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知是等腰三角形，它的两条边长分别为和，则的周长是（   ） A． B． C．或 D． 3．如图，在中，点D在边上，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 第5题图 第6题图 第4题图 第3题图 5．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（   ）. A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（   ） A．46° B．48° C．56° D．58° 7．如图，，D是的中点，于点．则是（    ） A． B． C． D． 8．如图，、分别是的中线和角平分线．若，， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 第10题图 第9题图 第11题图 11．今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．在等腰三角形ABC中，∠B=40°，若AB<BC，则∠C= 14．已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是 cm． 15．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化． 当为等腰三角形时，线段的长为 ． 16．如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与QP全等． 三、解答题（共72分） 17．（12分）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 18．（12分）已知：如图，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求． 19．（12分）如图，中，，BD为AC边上的中线． (1)尺规作图：在线段AB上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接DE，求证： 20．（12分）如图，在中，，是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)请判断与相等吗？并说明理由． (2)若，求的度数． 21．（12分）如图，在中，，是的平分线，点在上． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 22．（12分）【探究与证明】在中，，． 【特例求解】（1）如图①，如果，是上的高，求的大小，完成以下填空． 解：，， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． （2）如图②，如果，是上的高，，则________ 【探究规律】（3）通过以上两题，你发现与之间有什么数量关系？用式子表示为：________________． 【拓展延伸】（4）如图③，如果不是上的高，请与是否还存在上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 12.3.1 等腰三角形的性质（一） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D C B B D B 题号 11 12 答案 C D 1．D 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时，则它的两个底角度数都； 当等腰三角形的底角为时，则它的顶角度数； 综上所述：这个等腰三角形的顶角等于或， 故选：D 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，等腰三角形有两种可能情况，但需验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），只有一种情况成立． 【详解】解：等腰三角形两边长为和， 若腰为，底为，则，不符合三角形三边关系（两边之和需大于第三边），故舍去； 若腰为，底为，则，，符合三边关系， 周长为， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，通过三角形内角和为，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：、 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形-三线合一的性质，熟知等腰三角形底边上的高也是底边上的中线是解题的关键． 先求出的长，然后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在的周长为，，长为， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 6．C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转之后图形完全不变是解题的关键．根据旋转的性质，来求解的度数． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质得出，，再根据直角三角形的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ； 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键． 由可求的大小，再结合平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ， ， ， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是本题关键． 根据等腰三角形的性质设，由性质得，，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：设， ， ． ． ， ． ． ． ． 故选：D． 13．40° 【分析】根据题意可知AB=AC，再根据等边对等角即可得出∠C． 【详解】解：∵等腰三角形ABC中，∠B=40°，若AB<BC， ∴AB=AC， ∵∠B=40°， ∴∠C=∠B=40°, 故答案为：40° 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．能根据题意正确构建出模型是解题关键． 14． 6 【分析】本题考查了等腰三角形性质，理解三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，因此它们长度相等． 【详解】∵等腰三角形顶角的角平分线长6cm，且根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线与底边上的中线重合， ∴这个等腰三角形底边上的中线长是6cm． 故答案为6． 15．3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 16．4或6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．首先求出的长，要使△与△全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 【详解】解：设经过秒后，使△与△全等， ，，点为的中点， 厘米， ， ， 要使△与△全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点的速度为：； 时，，故点的速度为：； 即点的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 17．(1)的度数为 (2)的长为6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质.熟练掌握等腰三角形的性质，三角形中线的性质是解题的关键． （1）已知，是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，即可计算出的度数； （2）由中线的性质可得，通过周长差转化为与的长度差来计算即可． 【详解】（1）解：，， 是等腰三角形， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 18．(1)见解析 (2)40° 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键， （1）根据判定，即可得证； （2）由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过作线段的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质求解； （2）先根据三线合一，得出，再根据等边对等角得出，从而可得，再根据平行线的判定求解． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点E，连结， 则， 点E即为所求作的点； （2）∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作已知线段的垂直平分线，等边对等角，三线合一，平行线的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20．(1)与相等，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形等边对等角以及三角形内角和： （1）证明即可； （2）由得到，根据三角形内角和为求解即可． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 21．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）以及三角形内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出垂直平分，再结合垂直平分线的性质证明； （2）先根据等腰三角形“等边对等角”求出底角的度数，结合已知角算出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后结合及的条件，得出的度数． 【详解】（1）证明：，平分， 垂直平分， 又点在上， ； （2）解：，， ， ∵∠EBC=20°， ， 平分， ， ， ，， ． 22．（1）（2）20；（3）；（4）存在，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形的外角等知识， （1）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可求出，结合等边对等角及三角形的内角和定理即可求出，从而求出， （4）根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理可以得到，故只需证明即可证得结论． 【详解】解：（1），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， 故答案为：； （2），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， 故答案为：20； （3），， （等腰三角形三线合一） 在中， ， ， ． ， （4）仍成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $