12.3.1 等腰三角形的性质-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

12.3 等腰三角形 ©12.3.1 等腰三角形的性质 基础在线》知识要点分奏练 交于点D,作直线AD交BC于点E.若 ∠CAE=55°，则∠BAE的度数是 知识点1等腰三角形的性质一等边对等角 知识点3等边三角形的性质 1.(周口期中)已知等腰三角形顶角的度数为 6.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边 40°，则底角的度数为 () 上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为() A.40 B.50° C.70 D.140 A.25 B.60° C.85 D.95 2.如图，在△ABC中，已知AB=AC,点D在CA E 的延长线上，∠DAB=50°，则∠B的度数为 ) A.25 B.30° C.40° D.45 第6题图 第7题图 7.(中考·泰安)如图，直线1∥m,等边三角形 ABC的两个顶点B、C分别落在直线L、m上 若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是() 第2题图 第3题图 A.45 B.39° C.29 D.21 知识点2等腰三角形的性质一三线合一 8.(中考·宜宾)如图，D、E分别是等边三角形 3.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=8,AD是 ABC边BC、AC上的点，且BD=CE,BE与 △ABC的角平分线，则CD的长是 ( AD交于点F.求证：AD=BE. A.6 B.5 C.4 D.无法确定 4.(信阳期中)如图是等腰三角形钢架屋顶外框 示意图，其中AB=AC,BC是横梁，AD是竖 梁，在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中 点D,就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直， 这样操作的数学依据是 易错点考虑不周全导致错误 9.如图，已知P为射线OA上一动点，∠O=30°， 若△BOP为等腰三角形，则∠B的度数为 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点B和 点C为圆心，大于2BC的长为半径作弧，两孤 59探究在线八年级数学（上）·HD ②能力在线 ,方法规律综合妹 14.如图，在△ABD中，BA-BD.在BD的延长 线上取点E、C,作△AEC,使EA=EC.已知 10.在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直 ∠BAE=90°，∠B=45°. 线I外一点C作直线L的垂线”，图①是老师 (1)∠DAC的度数是 画出的第一步，图②、图③分别是甲、乙两位 (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45” 同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正 去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会 确的是 改变吗？说明理由； (3)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45”去 掉，再将“∠BAE=90”改为“∠BAE=n”,其 图① 图② 图③ 余条件不变，求∠DAC的度数. A.甲对乙不对 B.乙对甲不对 C.甲和乙都对 D.都不正确 11.(洛阳期中)如图，△ABC是等边三角形，点 D D、E、F分别在AB、BC、AC上，若∠1=∠2， ∠DFE=80°，则∠EDF= () A.60° B.55 C.509 D.40° 第11题图 第12题图 12.(中考·福建)小明用两个全等的等腰三角形 设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中 △OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们 关于直线I对称，E、F分别是底边AB、CD 的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是() A.OB⊥OD 3拓展在线 >培优拔尖提升练 B.∠BOC=∠AOB C.OE=OF 15.如图，△ABC是等边三角形，点D、D2、D、 D.∠BOC+∠AOD=180° 在射线BC上，且CD1=D1D2=D2D3…,分 13.(中考·雅安)如图，在△ABC和△ADE中， 别以CD1、DD2、D2Da、…为腰在射线BC上 AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE 方作等腰三角形CDE:,等腰三角形DD2E2, 绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC 等腰三角形D2D3E3,…,则∠D224D2o25E2s 时，∠BAE的度数是 的度数为 E E D. D.D, 第12章60AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE=AE, 11.1212,130°13614，① 《2)∠DAC的度数不会改变，理由如下： '∠EDF=∠C, △AET2△AED(SAS). 15.CDAB,∠C=∠B. EA-C,∠CAE-∠G ∠EDF=∠AED 4,BE⊥AC,DF⊥AC, 又CE=BF,CE-EF=BF-EF .∠AED-2∠C DF∥AC,∠BDF=∠A ,∠AEB=∠CFD=90 CF-BE. :∠BAE-g, (2》△ABC是等要直角三角形 YAP-CEAP-AE+EF.CE-CP+EF. 在△CFD和△EA中， ∠DF=∠A,.∠BDP=∠A=45 AE-CF. ∠C-∠B,CF=BE,∠CFD=∠BEA. ∠MD-10-(0-220]=4g+∠c DF平分∠BDE,∠BDE=2∠BDF=0 在R△ABE和I△CDF中， ,△CFDa△BEA(ASA). ∴∠DAE-90°-∠BAD-90°-(45+∠C)- DE∥BC,∠B-I80°-∠BDE-O AB-CD.AE-CF, 16.若选a.b为条件，正c,为真命题 45-∠C. ∴，∠C-180-∠A-∠B=45=∠L. ,R△ABERL△CDF(HL) E明，￥∠1-∠2，∠ACB=∠ACD. .∠DAC=∠DAE+∠CAE=45 AB-EC. 6.AE⊥BD.理由如下， 在△ABC和△ADC中， :∠ACB-∠DCE-o, :∠B-∠D,∠ACB-∠ACD,AC-AC 设∠B-m,周∠BHAD-是1--0 :△ABC是等腰直角三角形。 拓喝在蜗 ,∠ACB+∠ACD-∠DCE+∠AD. ,AABC≌△ADCCAAS). -m,∠AE8=180-- 15.(1》,△ABC与△DCE都是等边三角形， ∠CD=∠ACE CB-CD. AC-BC,CD-CE.∠ACB-∠DCE-6o 在△HD与△CAE中， 若选4c为条件，正6，为真命题，正明略。 ∠DAE=-∠BAD=w-0+7m '∠ACB+∠ACD+∠DCE-180', BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC-EC, 若选6.c为第件，正a,为程命题 EA-EC ∴.∠ACD=0',∠ACB十∠ACD-∠ACD+ .△CBD2△CAE(SAS). 17.(I)正明：在R△ABH和R△DEG中， ∠DCE,p∠BCD-∠ACE ÷,∠ADO-∠CEO AB-DE.AH-DG. ∠CE=交∠AEB=90'-x-n 在△BCD和△ACE中， '∠AD-∠COE. .Rt△ABH☑Rt△DEG(HL).∴BH=G i∠DAC-∠DAE+∠CAE- ,'BC=AC,∠BCD=∠ACE,CD=CE. ∠0AD=∠OE=90 在Rt△ACH和Rt△DFG中 △BCD2△ACE(SAS) ∴AELBD AC-DF.AH-DG. 拓展在线 .BD-AE即AE-BD 6.1)8 Rt△ACH≌Rt△DFG(Hl).CH=FG 6(点 (2)挂结MN, {2证明，∠ACM+∠ACB+∠BCN-15, BH+HC=G+GF,即C=EF. 2.3.2等腰三角形的判定 '△HCD☑△ACE, ∠ACH=90. 在△AC和△DEF中， 基硅在线 ∠CBAM-∠CAN ∠ACw+∠BCN=90 YABDE.AC-DF.BCEF. 1.日2A3.D 在△CM和△ACN中， :AMLm于点M,BN⊥两于点N, ,△A2△DEF(555). 4,在△ABC和△DFE中， t∠CBM=∠CAN.BC=C∠AB=∠AD ÷∠AC-∠CNH-90. 〔2)这句话不对，如图，在△AB △B2△ACN(ASA).CM=CX, AB-DF.ACDE.BC-EF. ∠CAM+∠AM=0,i∠CAM=∠CN, 和△A'H'D中，A'C=AD, ”∠NCN=60”,△CMN是等边三角形 '△ABC△DFES3S).,∴∠ACB-∠DEF. 在△AMC和△CNB中， AB=AB,AE=A'E,两个 ,DG=CC,△GEC是等腰兰角形 ∠CMNm60 ∠CAM-∠BCX,∠A减C-∠CNB.AC-CGB. 三角悬同样具备两边及第三边上的真对成相等 ∠ACH=6,∠NN=∠ACB. 5.C6.D.B △ACa△CNB(AAS). 但这两个三角形不全等：其中一个是锐角三角 ,MN∥BE 形。一个是蛇角三角形 8,(1)证明：在△ABC粒△ADE中， ÷,AM=CN,CM-BN. 12.4远命题与范定理 AB=AD.∠B=∠D,BC=DE .MN-CN+CM-AM+BN. 2.3等體三角形 12.4.1互逆命题与互道定理 .△ABC2△ADE(SAS) (3)NN=AM一HN或MN=BN-AM 12.3.1等腰三角形的性废 基留在城 《2)△ABC☑△ADE,∠B4C=, (1)如图①，号证得△AMCO△CNB 基翻在线 L.A 2.A 3.A AC-AE,∠CAE-∠BAC-60 .CN-AM.CM-BN.MN-AM-BN. 1.C2.A3.C 4同位角相等，然直线平行五.C (■)如图②，易证得△AMC9△CNB 4.等复三角形的三线合一正.55°6.D7.B △ACE是等边三角形 能力在线 ∠ACE=0, R,”△AC是等边三角思： 6.B AMECNCM BN.MNEBN-AM. 9.期图，三角悲ABC即为所求 AB=BC,∠ABD=∠BCE=6O 7递命愿：一个三角形再边上的高相等，渊这个三角 又BD=CE, 形是等腰三角形。 △ABDX≌△BCE(SAS) 已知：如图，在△AC中，BD⊥AC于点D,CE⊥ .AD-BE. AB干点E,且BD-CE 阶段深312.112.21 身.12切或5校 能力在线 求证：△ABC是等暖三角形， 1.B8.B3.D4.D5C6A7.A8.C 儒力在城 10.1011.212.D13.A 正附：，HD⊥AC,CE⊥AB, 9.u一-10（容案不唯一） 10.C11.D12.日11.30或160 14.(1)证明，DEBC, ·∠BDA-∠CEA- 10.∠1■∠2成AH=GD 14.145 ∠AED-∠C 又F∠A-∠A,HD=CE. 一探究在线·/八年数学（上）·HD一 23