12.3.1 等腰三角形的性质-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

12.3等腰三角形 1等腰三角形的性质 A知识分点练 夯基础 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE分别是 △ABC的中线和角平分线，AD,CE交于点 知识点1等边对等角 H若∠CAB=40°，则∠CHD的度数是() 1.(教材P91例1变式)如图，AB∥CD,AB=CB, A.55° B.45° C.35° D.25° ∠B=80°，则∠ACD= ) 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AB=AC, A.50° B.55° C.60 D.85° ∠BAD=20°，AD=AE,求∠EDC的度数. B D 第1题图 第2题图 B D 2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB= AD=CD,∠BAD=20°，则∠C的度数是 3.如图，在△ABC中，AB=AC,BD是AC边上 的高.当△ABC是锐角三角形，∠A=40°时，求 ∠DBC的度数. 知识点3等边三角形的性质 7.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点 D,则∠BAD的度数为 () A.60° B.50° C.40° D.30° 知识点2三线合一 4.(教材P92例2变式)如图，在△ABC中，AB= D B 第7题图 第8题图 AC,D为BC的中点.若∠B=40°，则∠CAD 8.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点 的度数为 D,点E在线段BD上.若DE=AD,则∠BAE A.30° B.40° C.50° D.60° 的度数为 () A.15° B.22.5° C.30° D.45° ?易错点考虑不全面导致错误 9.(教材P94练习T1变式)(2025·绍兴期中)在等腰三 第4题图 第5题图 角形ABC中，∠A=30°，则∠B= 66一本·HDSD版初中数学八年级上册 B能力综合练 练思维、 C拓展探究练 提素养、 10.如图，已知△ABC是等边三角形，点B,C,D, 14.如图，P为等边三角形ABC的边AB上一点， E在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE, Q为BC延长线上一点，AP=CQ,PQ交AC 则∠E的度数为 ( 于点D A.25° B.20° C.15° D.7.5 (1)求证：DP=DQ; (2)过点P作PE⊥AC于点E,若BC=4,求 DE的长 D D 第10题图 第11题图 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 50°，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交 AB于点D,连结CD,则∠BCD的度数是 12.如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上 一点，E是BC延长线上一点，连结BD,DE, 若∠ABD=20°，BD=DE,求∠CDE的度数， 13.(教材P94练习T3变式)如图，在△ABC中， AB=AC,M为BC的中点，点D,E分别在 边AB,AC上，且AD=AE.求证：MD=ME. 第12章全等三角形67.△ADC≌△CEB(AAS). ②由(1)，知△ADC≌△CEB, ∴.AD=CE,CD=BE. .DE=CE+DC,..DE=AD+BE. (2)3 9.解：如图，过点C作CQ⊥AB于点Q: :DE⊥AB,FG⊥AB,CQ⊥AB, ∴.∠AQC=∠DEA,∠BQC=∠FGB=90°. :∠CAD=∠CBF=90°，∴.∠QAC=∠EDA 90°-∠DAE,∠QBC=∠GFB=90°-∠GBF. ∠QAC=∠EDA, 在△QAC和△EDA中，∠AQC=∠DEA, AC=DA, ∴.△QAC≌△EDA(AAS), .'.AQ=DE. ∠QBC=∠GFB, 在△QBC和△GFB中，∠BQC=∠FGB, BC=FB, .△QBC≌△GFB(AAS), ..BQ=FG, ∴.AB=AQ+BQ=DE+FG. 10.解：(1)证明：∠BAD=90°， ∴.将△ADN绕，点A顺时针旋转90°得到△ABE, 图1所示， .AN=AE,∠DAN=∠BAE. ∠MAN=45°，∴.∠BAM+∠DAN=45°， 即∠BAM+∠BAE=45°， ∴.∠EAM=∠NAM, '.△AEM≌△ANM(SAS), .'.MN=ME=BM+BE=BM+DN. B M 图1 图2 (2)猜想：MN=DN-BM. 证明：如图2，在DC上取一点G,使DG=BM. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠ADG=∠ABM=90°. 又，DG=BM,∴.△ABM≌△ADG(SAS), ,AM=AG,∠MAB=∠GAD. '∠MAN=∠BAM+∠BAN=45°， ∴.∠GAD+∠BAN=45°，∴.∠GAN=45°， 即∠MAN=∠GAN, 又.AN=AN,.△MAN≌△GAN(SAS), ..MN=GN=DN-DG=DN-BM. 11.解：(1)EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE十FD仍然成立. 证明：如图，延长EB到点G,使BG=DF,连结AG, 记∠GAB为∠1，∠BAD为∠2，∠BAE为∠3. B E :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， ∠ABG=∠D. (AB=AD, 在△ABG与△ADF中，∠ABG=∠D, BG=DF, ∴.△ABG≌△ADF(SAS),∴.AG=AF,∠1=∠2， ∴∠1+∠3=∠2+∠3=名∠BAD=∠BAP, ∠GAE=∠EAF. 又AE=AE,∴.△AEG≌△AEF(SAS), ..EG=EF. .EG=BE+BG,..EF=BE+FD. 12.3等腰三角形 1.等腰三角形的性质 1.A2.40°3.20°4.C5.A6.10°7.D8.A 9.75°或30°或120°10.C11.20°12.20° 13.证明：如图，连结AM. ,AB=AC,M为BC的中点， .AM平分∠BAC,∴.∠BAM=∠CAM. AD=AE, 在△ADM和△AEM中，∠DAM=∠EAM, AM=AM, ∴.△ADM≌△AEM(SAS), ∴.MD=ME 14.解：(1)证明：如图，过点P作PM∥BC,则 ∠DPM=∠Q. ,△ABC为等边三角形， △APM是等边三角形， ∴.AP=PM. 答案9· .AP=CQ,.'PM=CQ. '∠PDM=∠QDC, 在△DPM和△DQC中，{∠DPM=∠Q, PM=QC, .△DPM≌△DQC(AAS),∴.DP=DQ. (2)2 2.等腰三角形的判定 1.D2.A3.34.4 5.证明：，∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°. BF平分∠ABC,∴∠CBF=∠DBE, ∴∠CFB=∠DEB. 又，∠FEC=∠DEB,∴∠FEC=∠CFB, ∴.CE=CF 6.D7.508.1.6 9证明：，D为AB的中点，AD=BD. ,DE⊥AC,DF⊥BC, ∴.∠AED=∠BFD=90°. 在R△ADE和Rt△BDF中，DE=DF, (AD=BD, .∴.Rt△ADE≌Rt△BDF(HL), .∠A=∠B,∴.AC=BC. AB=AC,∴AB=BC=AC, △ABC是等边三角形. 10.D11.1912.2 13.解：(1)证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. BE=CF, 在△DBE和△ECF中，∠ABC=∠ACB, BD=CE. ∴.△DBE≌△ECF(SAS),'.DE=EF, ∴△DEF是等腰三角形 (2)709 14.解：(1)证明：BD⊥AC,D是边AC的中点， ..AB=CB. EF⊥AB,∴∠ABC+∠E=90°. :∠E=30°，∴.∠ABC=60°， △ABC是等边三角形. (2)AD=CE.理由略 经典模型专题10利用“角平分线十平行线” 证等腰三角形 1.解：(1)等腰 (2)证明：：OC平分∠AOB,∴∠DOP=∠BOP. 由题意可知，DN∥EM, .∠DPO=∠BOP,.∠DOP=∠DPO, ∴OD=PD,△DOP是等腰三角形. 2.证明：，CM平分∠ACB,CN平分∠ACG, .∠ACM=∠BCM,∠ACN=∠GCN. ,EF∥BC, ·答 ∴.∠DMC=∠BCM,∠DNC=∠GCN, ∴.∠ACM=∠DMC,∠ACN=∠DNC, ∴.DC=DM,DC=DN,∴DM=DN. 3.解：(1)DE=BD+CE. (2)猜想：DE=BD一CE. 证明：，∠ABC和∠ACF的平分线交于点O, ∴.∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠FCO. ,DE∥BC,.∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠FCO, ∴.∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, ∴DO=BD,OE=CE .DE=DO-OE,..DE=BD-CE. (3)DE=BD+CE. 重点题型专题11分类讨论思想在等腰三角形 中的应用 1.21或24【变式】8或5.52.123.10或7 4.80°，20°或50°，50°【变式】40°，40°5.19°或71° 6.AB=AC=16 cm,BC=8 cm 7.65°或25°8.49.60°或30° 方法归纳专题12构造等腰三角形的常用方法 1.证明：如图，过点D作DG∥AE交BC于点G,则 ∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. G AB=AC,∠B=∠ACB, ∠B=∠DGB,BD=DG. ,CE=BD,∴DG=CE. (∠DFG=∠EFC, 在△DFG和△EFC中，〈∠GDF=∠E, DG=EC, ∴.△DFG≌△EFC(AAS),'.DF=EF」 2.证明：如图，过点D作DM∥BC交CA的延长线于 点M,∴∠M=∠ACB. M AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, ∴∠M=∠ABC. ∠1=∠2，DC=DE, ∴.△DBE≌△CMD(AAS), .MD=BE. ∠M=∠FCE,∠MFD=∠CFE,DF=EF, ∴.△MFD≌△CFE(AAS), ∴.MD=CE,.BE=CE 3.B 案10·