精品解析：广西壮族自治区百色市永乐乡永乐中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学上册学情检测卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（ ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 把常数项移到方程的右边，得：， 两边都加，得：，即． 故选：B． 2. 已知关于x的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入方程求解即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 3. 对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的顶点式确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可． 详解】解：， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故错误，正确， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， 故正确， 故选：C． 4. 一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】由题意可知△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0， 所以方程x2﹣2x+1=0有两个相等的实数根． 故选A． 5. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 6. 抛物线可以看作由抛物线如何变换得到的（　　） A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的平移规律，掌握“上加下减、左加右减”的平移法则是解题关键．根据抛物线平移时“常数项变化对应上下平移”的规律，分析与的常数项差异，进而判断平移方向和距离． 【详解】解：， 将抛物线向下平移个单位长度得到． 故选：． 7. 已知是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先把x=代入方程，解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得c=1． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ） A. 或1 B. 或0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据，得出或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个实数根和， ∴， ∵， ∴或， 当时，，解得； 当，即时，，解得， 综上，， 故选：D． 9. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x，七张桌子总面积为S，则S与x的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，解题的关键是理解题意． 若设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为，再根据面积公式列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：若设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为，由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为， ， 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ）     A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 11. 顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式，关键是掌握顶点式参数的意义．由顶点设顶点式，由开口、形状与相同，得，从而确定解析式． 【详解】抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 开口方向、形状与函数的图象相同， ， 抛物线解析式为． 故选：． 12. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵有两个实数根， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可得、，然后计算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴、，解得：． 故答案为：1． 14. 已知抛物线的开口向下，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即，解得： ∴k的最小整数值为． 故答案为：． 16. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是__________．（不必写定义域） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式．根据图中的几何关系先把表示出来，再利用矩形面积公式得到与的表达式． 【详解】解：是等腰直角三角形，四边形是矩形， 、是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】按照画函数图象的步骤：列表、描点、连线进行即可． 【详解】1、列表如下： x … -2 -1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … … -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 … x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 … 2、描点、连线，得到所画函数的图象如下： 【点睛】本题考查了画二次函数的图象，画函数图象的步骤一般是：列表、描点、连线，画二次函数图象时，一般在对称轴的两边对称地取值并描点． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 整理后根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 20. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？ 【答案】9秒或12秒 【解析】 【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出BP，BQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有 x2+（21-x）2=152， 解得x1=9，x2=12． 故运动9秒或12秒时，它们相距15cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于x的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键． 21. 一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． （1）直接写出图2中抛物线的解析式______； （2）倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； （3）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先确定，，，的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，可得旋转前与水平方向的夹角为，即，求出点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，并与抛物线解析式联立，求出点的坐标，进而求出的长；把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度，联立和抛物线得到一元二次方程，根据有位于交点，利用根的判别式等于0，求出的值，确定的解析式，进而求出点的坐标，的长，利用三角函数求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意知：，，，，，， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 把点，代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：液面下降了cm， 此时液面距碗底距离为，即， 当时，， 解得（舍去），， 液面的宽度为cm； 【小问3详解】 解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，如图： 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤， 当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即， 设直线的解析式为，与轴交于点，如图： 由题意知：点，， ，， ， 即点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 由，解得或， ，， ． 把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度， 联立， 整理为：， 只要一个交点， ， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 点， ， 与水平面的夹角为， 直线与水平面的夹角为，即， 在中， ， 即碗内面汤最大深度为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数以及解直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 某企业投入200万元（只计入第一年成本）购买一套技术设备生产一种产品，产品每年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．第一年除200万元外，其他成本为30元件． （1）求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式； （2）该产品第一年的利润是25万元，第二年由于管理的加强，原材料的下降，其他成本下降了2元件． ①求该产品第一年的售价； ②若该产品第二年的售价不高于第一年，销售量不超过25万件，求该企业第二年的利润最少是多少万元． 【答案】（1） （2）①该产品第一年的售价为45元件；②该企业第二年的利润最少是175万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的最值、已知函数值求自变量等知识，理解题意、正确列出二次函数关系式是解题的关键． （1）根据“利润收入成本”，列出，整理得出函数关系式即可； （2）①根据“第一年的利润是25万元”，得出，求解得出答案即可；②根据“该产品第二年的售价不高于第一年，销售量不超过25万件”，得出的范围，设第二年利润是（万元），根据“其他成本下降了2元件”，得出函数关系式，根据二次函数的图象与性质，得出当时，取得最小值，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 整理得：， ， ， 解得：， 答：该产品第一年的售价为45元件； ②∵该产品第二年的售价不高于第一年， ∴， ∵销售量不超过25万件， ∴， 解得：， ∴， ∵第二年由于管理的加强，原材料的下降，其他成本下降了2元件， ∴设第二年利润是（万元），则， ∴关于的函数图象抛物线开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，取得最小值， 答：该企业第二年的利润最少是175万元． 23. 足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门米时，足球达到最大高度米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是米，在球门前方距离球门线米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，见解析． 【解析】 【分析】（）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式； （）求出当时的函数值，即可得出结论； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题意，灵活运用所学知识求解是解题的关键． 【小问1详解】 由题意可得，足球距离点为米时，足球达到最大高度米， 设抛物线解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：； 【小问2详解】 由（）知抛物线的解析式为， ∵守门员在球门前方距离球门线1米处， ∴（米， 当时，， ∵， ∴葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上册学情检测卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（ ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线可以看作由抛物线如何变换得到的（　　） A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知是方程一个根，则c的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ） A. 或1 B. 或0 C. D. 1 9. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x，七张桌子总面积为S，则S与x的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ）     A. B. C. D. 或 11. 顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A. B. C. D. 12. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为________． 14. 已知抛物线的开口向下，且，则______． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是______． 16. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是__________．（不必写定义域） 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． ． 18. 解方程：． 19. 已知关于一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 20. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？ 21. 一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． （1）直接写出图2中抛物线的解析式______； （2）倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面宽度； （3）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤最大深度是______cm． 22. 某企业投入200万元（只计入第一年成本）购买一套技术设备生产一种产品，产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．第一年除200万元外，其他成本为30元件． （1）求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式； （2）该产品第一年的利润是25万元，第二年由于管理的加强，原材料的下降，其他成本下降了2元件． ①求该产品第一年的售价； ②若该产品第二年的售价不高于第一年，销售量不超过25万件，求该企业第二年的利润最少是多少万元． 23. 足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门米时，足球达到最大高度米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是米，在球门前方距离球门线米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $