精品解析：福建省莆田市仙游县第二中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学第二次月考试卷 一、单选题（40分 ） 1. 以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，6， C. 4，4，8 D. ，， 4. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 18 5. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ） A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 6. 已知点关于轴的对称点为点，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 7. 如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（ ）个 A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 二、填空题（16分） 11. 如图，工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是________． 12. 如图，为四边形的对称轴，点，是上的两点．已知，．则阴影部分的面积为________． 13. 如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 14. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则________． 15. 已知，则的值_______． 16. 如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为_____． 三、解答题 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点、、的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，点，，的对应点分别是，，； （2）在（1）的条件下，分别写出点，，的坐标． 21. 如图，中，是边的垂直平分线，，，求的长． 22. 如图，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形． 数学思考： （1）图1可以推导出的乘法公式为________，图2可以推导出的乘法公式为________； （2）若，，求及的值； （3）若，求的值． 24. 点是等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）点在所在的直线上方． ①如图1，若，求证：； ②如图2，作于点，求的值． （2）如图3，点在所在的直线下方，为的中点，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 25. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： （1）如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； （2）如图，点为的中点，，，求； （3）如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次月考试卷 一、单选题（40分 ） 1. 以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，解决本题的关键是根据轴对称图形的概念进行判断． 根据轴对称图形的定义准确分析判断即可； 【详解】根据选项分析，选项、、是轴对称图形，选项不是轴对称图形； 故选． 2. 如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；根据题意，找出对应边的夹角，即可求解． 【详解】解：在与中， ， ∴． 故选：C． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，6， C. 4，4，8 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大的数即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A．较小的两数之和为，等于第三边5，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； B．较小的两数之和为，小于第三边，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； C．较小的两数之和为，等于第三边8，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； D．较小的两数之和为，大于第三边，满足三角形三边关系，能构成三角形； 故选：D． 4. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可设为， 比较系数，得：， ∴。 又， ， 得或， 解得． 故选：A． 5. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ） A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可． 【详解】解：（x+1）×（x-3） =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以a=-2，b=-3， 故选B． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键． 6. 已知点关于轴的对称点为点，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律，解题的关键是掌握该规律求解． 利用点关于x轴对称的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 先作于点E，然后根据角平分线的性质，即可得到点D到的距离． 【详解】解：作于点E，如图所示， ， 是的角平分线， ，，， ， 即点D到的距离6， 故选：C． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 9. 如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，恰当运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得三角形三边相等，三个角都是，易证，，，为等边三角形，由三角形内角和定理证得，在中，；在上取一点，使，可证得是等边三角形及，据此可进一步来判断各个结论的正确性． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故（1）正确； 、都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 是等边三角形， 故（5）正确； ， ， ， ， ， ， 故（2）错误； ，如图， ， , ，即， 在上取一点，使，则是等边三角形， ， ， ， ， ，故（3）正确； ， ，即， ， ， 平分，故（4）正确． 综上所述，（1）（3）（4）（5）正确， 故选：C． 10. 如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值， 在等边中，于点D， ， ， ， E是边的中点， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（16分） 11. 如图，工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图，为四边形的对称轴，点，是上的两点．已知，．则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形中线的性质，根据轴对称图形的性质可得垂直平分，则可推出，进而可得，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵为四边形的对称轴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据直角三角形的两个锐角互余得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，，且， ， ， 故答案为：． 14. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据正方形的面积公式可得，，进而求得的值． 【详解】∵大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为， ∴，， ． 故答案为：． 15. 已知，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式，结合化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证得等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解： 平分即 同理，， ∴的周长 故答案为：14． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘法，完全平方公式，正确运用法则是解题的关键．第一项根据多项式乘法展开，第二项运用完全平方公式展开，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，利用完全平方公式，平方差公式，去括号法则进行计算，合并同类项后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质，证得． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点、、的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，点，，的对应点分别是，，； （2）在（1）的条件下，分别写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），， 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的轴对称变换，掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”是解题关键． （1）分别作出点，，关于 y 轴的对称点，，，顺次连接，，，得到的即为所求； （2）根据（1）中的图，写出坐标即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 由图可知，，，． 21. 如图，中，是边的垂直平分线，，，求的长． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：7． 22. 如图，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图作垂直平分线的方法，即可求作； （2）根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ∵，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形． 数学思考： （1）图1可以推导出的乘法公式为________，图2可以推导出的乘法公式为________； （2）若，，求及的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）；； （2）的值为；或； （3）44 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：图；图； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，， ， 的值为； ∵, ∴或； 【小问3详解】 解：设，， ， ， ， 24. 点是等边所在平面内一点，连接，，，且． （1）点在所在的直线上方． ①如图1，若，求证：； ②如图2，作于点，求的值． （2）如图3，点在所在的直线下方，为的中点，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①证明：如图，记的交点为， ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. ②； （2） ，理由如下： 如图，作关于的对称点，连接，，，延长至点使得，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，又， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）①如图，记的交点为，证明，，证明，，即可得到结论. ②在上截取，连接，，记，的交点为，证明，进而证明为等边三角形，得出，即可求解； （2），作关于的对称点，连接，，，延长至点使得，连接，则得出，，即可得出，进而证明，得出，，再证明，接着证明，进而可得是等边三角形，得出，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：如图，在上截取，连接，，记，的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 略 25. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： （1）如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； （2）如图，点为的中点，，，求； （3）如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ，证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $