4.6第2课时　作线段的垂直平分线课件2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“线段的垂直平分线”第2课时，核心内容为尺规作图及应用，包括作线段垂直平分线、中点、过点作垂线、作角平分线等。课堂导入通过复习性质与逆定理及例题，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以动手操作为主线，通过“分别以A、B为圆心画弧”等步骤培养几何直观（数学眼光），结合点在直线上/外的分类作图渗透推理意识（数学思维），以作等腰三角形、角平分线为例体现模型应用（数学语言）。助力学生提升作图技能与逻辑推理，为教师提供结构化探究式教学资源。

4.6　线段的垂直平分线 第2课时　作线段的垂直平分线 第4章　三角形 1 情景导入 1．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离____． 2．到线段两端距离相等的点在线段的________ ______上． 相等 垂直平 分线 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ A ＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE的度数等于( ) A．80°　　　　　B．70°　　　　　 C．60°　　　　　D．50° C A B C D E 3 自学互研 知识模块一　利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线 说一说 已知线段 AB，如果要作线段 AB 的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？ 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段 AB 的垂直平分线. 例1 作一条线段的垂直平分线. 如图，已知线段 AB. 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法： ① 分别以点 A，B 为圆心， 以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧， 两弧相交于点 C 和点 D； ② 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. 例题与练习 · B C D · A E 1．已知线段AB，求作线段AB的中点O. 练 习 · B C D · A 0 作法：作线段AB的垂直平分线CD，交线段AB于点O.点O就是线段AB的中点． 分析：线段的垂直平分线经过线段的中点． 2.如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB (保留作图痕迹，不要求写出作法). 解：如图所示. M N A B l P 知识模块二　过已知点作已知直线的垂线 如何用尺规过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？ 若能找到直线 l 上的一条线段 AB，使 AB 的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线. 由于点 P 与已知直线 l 的位置关系有两种，于是需分情况来作图. ① 以点 P 为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线 l 于点A，B. (1) 点 P 在直线 l 上时. ② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧交于点 C. ③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线. A B C l · P (2) 当点 P 在直线 l 外时. ① 以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线 l 于点 A，B； ② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧相交于点 C； ③ 过点 C，P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？ 如图，已知线段 a，h． 求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h． 思考： ① 所作的图形是什么？满足哪些条件？ ② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？ ③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？ 底边 BC = a 底边的垂直平分线 · · · · h a 例2 已知底边及底边上的高线作等腰三角形. (1) 作线段 BC＝a； (2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D； (3) 在射线 DM (或 DN) 上截取线段 DA，使 DA = h； (4) 连接 AB，AC， 则△ABC 为所求作的三角形. 作 法： A D C B N M · · · · h a 本题应用了哪几种基本作图法？ 分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB 的顶点 O 为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE 的垂直平分线 OC，则射线 OC 就是∠AOB 的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线. A B O 例3 求作一个角的平分线. (2) 分别以 D、E 为圆心，以相同长度(大于 DE 的长)为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C； A B O (1) 以点 O 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与 OA，OB 交于点 D、E，连接 DE； (3) 作射线 OC，则 OC 为所求的∠AOB 的平分线. D E C 作法：　　　 为什么 OC 是∠AOB 的平分线？ 1．如图，已知直线l和l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P. 练 习 作法： (1)以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于A，B； · P A B l (2)分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB)的长为半径画圆弧，两弧相交于点C； (3)过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线． · P A B C l 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上求作一点P，使点P到A，B两点的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)． 解：如图，点P即为所作． · P A B C 课堂小结 方法与步骤 线段垂直平分线的作法 点在直线上 过一点作已知直线的垂线 点在直线外 应用作图 作角平分线 已知底边及底边上的高作等腰三角形 19 一、 选择题 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　C　） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 新考向·尺规作图 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于 EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D. 若∠BAE＝25°，∠C＝∠CAD＋30°，则∠B的度数为（　C　） A. 15° B. 25° C. 35° D. 40° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 新考向·尺规作图 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D. 给出下列结论：① AD是∠BAC的平分线；② ∠ADC＝60°；③ 点D在线段AB的垂直平分线上.其中，正确的有（　D　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 新考向·尺规作图 已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则作图方法正确的是（　D　） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、 填空题 5. 新考向·尺规作图 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠DAE＝25°.通过观察尺规作图的痕迹，可知∠C的度数为 　50°　. 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 新考向·尺规作图 如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD. 若△CDE的面积为9，△ADE的面积为12，则四边形EDBC的面积为 　30　. 第6题 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、 解答题 7. 教材P141练习第1、2题变式）如图，在△ABC中，求作一点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高线上. 解：如图，点P即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （教材P142习题4.6第6题变式）如图，已知线段AB和射线AM有公共端点A. （1） 尺规作图：在射线AM上取一点P，连接PB，使△APB是以AB为底边的等腰三角形，过点P作射线PD，使PD平分∠BPM（不写作法，保留作图痕迹）； 解：（1） 如图，点P，射线PD即为所求作 第8题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若∠A＝55°，求∠BPD的度数. 解：（2） 由（1）知，PA＝PB，所以∠B＝∠A＝55°.因为PD平分∠BPM，所以∠MPD＝∠BPD. 因为∠MPB＝∠A＋∠B，所以∠MPD＋∠BPD＝∠A＋∠B. 所以∠BPD＝∠A＝55° 第8题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.新考向·尺规作图 如图，AM平分∠BAC，交BC于点M，BC边的垂直平分线l分别交AC，BC，AM于点E，F，G. （1） 尺规作图：作BC的垂直平分线l，并标出点E，F，G（不写作法，保留作图痕迹）； 解：（1） 如图，BC的垂直平分线l，点E，F，G即为所求作 第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 连接BE，若∠AGE＝∠C，求证：AG垂直平分BE. 第9题答案 解：（2） 如图，设BE交AM于点D. 因为EF是BC的垂直平分线，所以EB＝EC，∠GFM＝90°.所以∠EBC＝∠C. 因为∠AGE＝∠C，所以∠EBC＝∠AGE. 因为∠GMF＝∠BMD，所以∠BDM＝∠GFM＝90°.所以AG⊥BE. 所以∠BDA＝∠EDA＝90°.因为AM平分∠BAC，所以∠BAD＝∠EAD. 在△ABD和△AED中， 所以△ABD≌△AED（角边角）.所以BD＝ED. 所以AG垂直平分BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $