5.4角平分线的性质（第1课时角平分线的性质及其逆定理）（教学课件）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦湘教版八年级上册“角平分线的性质及其逆定理”，通过复习角平分线定义、点到直线距离导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生逐步探究核心定理。 其亮点在于以探究为核心，通过“观察-猜想-证明”培养数学思维，规范符号语言表达，典例与分层应用助力理解。既提升学生逻辑推理与应用能力，又为教师提供高效备课资源，落实新课标核心素养。

湘教版2024·八年级上册 5.4角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质及其逆定理 第5章 直角三角形 导入新课 1.角平分线的定义： 从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如图，射线OC是∠AOB的平分线。 o B C A 1 2 导入新课 2.点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 P A B O PO的长度 如图，线段PO的长度叫点P到直线AB的距离。 学 习 目 标 1 2 3 探究并掌握角平分线的性质定理.（重点） 探究并掌握角平分线性质定理的逆定理.（重点） 能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的推理与证明（难点） 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D， E.比较线段PD，PE的长度，它们相等吗? 新知探究 探 究 C P ∟ E A O B ∟ D 相等 你能证明它吗? PD=PE △PDO≌△PEO 分析： ∠PDO=∠PEO=90°,∠DOP=∠EOP,OP=OP, 新知探究 证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中, ∠PDO=∠PEO, ∠DOP=∠EOP, OP=OP, 所以△PDO≌△PEO(角角边). 因此PD=PE. C P ∟ E A O B ∟ D 新知探究 总结归纳 角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 P A O B C E D 1 2 符号语言 ∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 你知道它的逆命题吗? 新知探究 思 考 角平分线的性质定理的逆命题是什么?它是真命题吗? O E B A D P 分析： 只要画射线OP， 证明OP平分∠ AOB即可。 C ∟ ∟ 逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 真命题 你能证明它吗? 已知：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。 新知探究 证明：过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP=OP, PD=PE, 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜边、直角边)， 从而∠AOC=∠BOC. O E B A D P C ∟ ∟ 新知探究 总结归纳 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言 P A O B C E D 1 2 ∵PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上。 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 典例分析 例1 如图5.4-3，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证: (1)点B在∠ADC的平分线上; (2)BD平分∠ABC. 分析： 点B在∠ADC的平分线上 根据条件只需证明AB=BC 已知∠1=∠2 BD平分∠ABC. ∠ABD=∠CBD Rt△BAD≌Rt△BCD 证明： (1)在△ABC中， 因为∠1=∠2，所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上 (2) 在Rt△BAD和Rt△BCD中， BA=BC, BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BCD(斜边、直角边). 因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC. 典例分析 新知应用 基础巩固题 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　) A．PC＝PD          B．∠CPO＝∠DOP  C．∠CPO＝∠DPO   D．OC＝OD B 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　) A．4  B．3  C．2  D．1 C 新知应用 基础巩固题 3.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(　　)    A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上    C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 4.如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB， BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若 ∠BAC＝70°，则∠BOC＝________． C 125° 新知应用 基础巩固题 5.如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是(　　) A．PM>PN  B．PM＝PN C．PM<PN  D．无法确定 B 新知应用 基础巩固题 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D 解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. B C E A D F 新知应用 基础巩固题 7.如图，在线段MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等(保留作图痕迹，不要求写出作法). 点P到∠AOB两边的距离相等 分析： 求作：∠AOB的平分线 新知应用 基础巩固题 8.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点0，且AO平分∠BAC.求证:OB=OC. 证明:∵AO平分∠BAC,CE⊥AB ， BD⊥AC ∴OE=OD. 在△OBE和△OCD中 ∠EOB=∠DOC, OE=OD， ∠BEO=∠CDO， :∴△OBE ≌△OCD ( ASA ). ∴OB=OC. 新知应用 能力提升题 9.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG相交于O.求证：点O到AB，BC，AC的距离相等． 新知应用 能力提升题 10.感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC． 探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证： DB＝DC． 新知应用 能力提升题 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 逆定理 过角平分线上一点向两边作垂线段 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 感谢聆听! 【点拨】本题根据∠ACD与∠FCD是邻补角及 ∠ABD＋∠ACD＝180°得出∠B＝∠FCD，再根据全等三角形的判定与性质得出结论． 证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC. $