第3章 命题点10 二次函数图象与性质的应用&命题点11 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2026河南中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点10二次函数图象与性质的应用 教材要点归纳 要点1二次函数y=aa2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2022年版课标新增内容引 本质：求ax2+bx+c=0的根即求对应y=ax2+bx+c=0时x的值[数]→[形]二次函数图象与x轴交 点的横坐标 抛物线①与x轴有两个交，点一方程am2+br+c=0有① 的实数根，根为交，点的横坐标b2-4a心>0 抛物线②与x轴有一个交，点曰方程a2+br+c=0有② 的实数根，根为交点的横坐标→b2-4ac=0 抛物线③与x轴无交，点曰→方程ax+hx+r=0③ 实数根曰→b2-4ac<0 拓展方程aa2+bx+c=t(a>0)的根可看作抛物线y=ax2+bx+c和直线y=t交点的横坐标. t>y预点，如抛物线①，方程ax2+bm+c=t有两个不相等的实数根 t=y预点，如抛物线②，方程a2+bx+c=t有两个相等的实数根 t<y点，如抛物线③，方程ax2+br+c=t没有实数根 要点2二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=mx+n图象的交点(2021.22) 方法一：联立=ar产+hr+e,、 (x2,y2） 消去y,得到关于x的 两个不同交点 (y=mx+n, 只有一个交点 方程ax2+(b-m)x+c-n=0,再根据△与0的大小 没有交点 关系进行判断.△>0→两个交点：A=0一个交 点；△<0→无交点 图1 图2 方法二：如图1，画草图进行判断 要点3二次函数与不等式的关系（以a>0为例） 如图2，抛物线y=a2+bx+c与直线y=mx+n(m≠0)交于A(x1,y,),B(x2,y2)两点，则不等式ax2+ bx+c>m.x+n的解集为④ ;不等式ar2+bx+c<mx+n的解集为⑤ 随堂对点练习 1如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象. (1)方程a2+bx+c=0的解是 (2)方程ax2+bx+c=2的解是 (3)已知t<2,则方程ax2+bx+c=t的解有 个； (4)不等式ax2+bx+c>0的解集是 (5)不等式am2+bx+c<2的解集是 第1题图 第2题图 2.如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=x+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式 a2+c≥kx+m的解集是 温馨提示：请完成《分层作业本》P42习题 知识，点精讲·河南数学 45 命题点11二次函数的实际应用 考情时间轴 22.竖直向上抛球问题 21.喷水问题 21.利润问题 2023 2024 2022 2018 22击球问题，与一次函数结合，方案选择 教材要点归纳 类型1抛物线型、类抛物线型问题重点 例1[北师九下P44第3题改编]如图，由O处向斜坡AE击球，以点O为坐标原点建立平面直角 坐标系，球的高度y/m与水平距离x/m近似满足二次函数关系y=a(x-h)2+k,当球达到最大 高度8米时，球运动的水平距离为20米 (1)求抛物线的表达式 (2)斜坡C处有一球洞（可看作一个点），已知点0到坡脚A的距离OA=15米，CD=6米， AD=15米.该球能否从O点被直接击打入球洞C点，请说明理由. y/m 0 A D x/m 例1题图 提取信息：抛物线过原点(0,0) 转化信息：①“当球达到最大高度8米时…为20米”→顶点坐标为(20,8)： ②“点0到坡脚A的距离OA=15米，…AD=15米”→此时x=30,点C坐标为 (30,6): ③“该球能否从O点被直接击打入球洞C点”数学语言：二次函数图象是否过点C 46 知识，点精讲·河南数学 一战成名新中考 类型2面积问题 例2[华师九下P20试一试改编]某农场拟建一间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够 长)，并在如图所示位置留2宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度 为50m.设饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式是 () 墙 -x m- 例2题图 A.y=-x2+50x C.y=-1 2+25r 基本关系式：矩形面积=长×宽，矩形周长=2（长+宽）， ①如图位置留2m宽的门：矩形饲养室长用的建筑材料为① m; ②建筑材料可建围墙（不包括门）总长度为50m:矩形饲养室的宽为② 【答案】③ 类型3销售利润问题 (1)常考方式： ①单价每增加…销量减少.… ②单价每减少…销量增加… ③已知销量与单价的一次函数关系（多以图象、表格形式呈现），再求利润（利润=单价×销售 量-总成本)： (2)常考设问：如何定价利润最大→二次函数性质求最值 例3[2018河南21题改编]某超市购进一种商品，成本为每盒30元，市场规定商品销售价格不 能高于商品成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(盒)与销售单价x(元)符合一次函数关 系，如图所示.当销售单价为多少元时，该超市日获利最大？最大获利是多少元？ 转化信息 ①成本为每盒30元，销售价格不能高于商品成本价的2倍→x≤2×30=60： ②日销售量y与销售单价x…如图y是x的一次函数，直线经过点(40,80)，(50,60)： ③日获利=（销售单价-成本单价）×日销售量 y/盒 80 60 0 4050元/元 例3题图 温馨提示：请完成《分层作业本》P43-46习题 知识，点精讲·河南数学 47⑦x≥a⑧>b⑨x<a0a≤x<b①x>-32x≥-1Bx≥-1 随堂对点练习1.C2.-2<x<13.(1)1:(2)a≤2 第三章 命题点1平面直角坐标系 教材要点归纳①y②x③x=0且y=0④纵⑤横 ⑥(x,-y）⑦(-x,y)⑧(-x,y）⑨(x+a,y） ⑩(x,yta)①(x,y-a）②lalB√a+b@ly2y,l ⑤1x2-x11 随堂对点练习1.(1)-2：(2)-2<m<2;三；(3)-1；(4)(2-m, 3m-6):(5)(-m,3m+3)2(1)(-1,2),2,1,w5: (2)(-7,1):(3)2,(-3,2)或(1,2)：(4)(1,1)或(1,3)：(5) (2,1)或(2，-1)；√10或32 命题点2函数及函数图象的分析与判断 教材要点归纳①图象法②C③≠④≠⑤≥ ⑥≥⑦≥⑧≠⑨>0>①>2CBB④C5D a02a@a@s@(子a)+o=25 @3(负值已舍去) 命题点3一次函数的图象与性质 教材要点归纳①-6②6③略④略⑤略 k ⑥一、二、三⑦一、三、四⑧一、三⑨一、二、四 ⑩二、三、四①二、四2增大3减小④<5< 随堂对点练习1.画图略①k>0,y随x的增大而增大；②b> 0,图象与y轴交于正半轴；③图象与x轴的交点坐标为(-2， 0),与y轴的交点坐标为(0,1)；④图象经过第一、二、三象限2. (1)m≠-1,1；(2)-3；m>1;(3)-1<m≤1；(4)D3.p<g变式3 4()=6:(2)>6*<0:(36≥-3 命题点4一次函数表达式的确定 及图象的变换 教材要点归纳①相反数②相反数 随堂对点练习1.(1)3；(2)2；(3)4：(4)该一次函数的表达式 5 为y=2x+2 2.(1)y=-2x+4:y=-2xy=-2x+3;y=-2x+1; (2y=-2-1:3y=7315:(26:3)0号o:25 3 (4)-1或4 命题点5一次函数的实际应用 教材要点归纳例(1)A,B两款玩偶的进价分别为20元/ 个，15元/个：(2)y=5x+450:(3)购买A款玩偶15个，B款玩偶 30个时利润最大，最大利润为270元 练(1)256,270；(2)活动一：y1=0.8x;活动二：y3=x-100.当 500<x<600时，选择活动一更省钱：当x=500时，活动一和活动二实 付金额相同，任选其一即可：当400Kx<500时，选择活动二更省钱 2 参考答案与重难 4.(1)x>2(7-x):(2)10x≥15(7-x):(3)10x+15(7-x)≤90 5.不等式的解集为x>2,解集在数轴上表示略 函数 ①s。②t,时刻到达乙地③，时刻开始从乙地返回甲地 ④在乙地停留的时间为与，⑤⑥，。⑦< t3-t2 命题点6反比例函数的图象与性质 教材要点归纳①<②略③一、三④减小⑤二、四 ⑥增大⑦y=±x⑧原点⑨0<x,<x,⑩y2<0<y1①1k 22B11k157Ik1G1k1 随堂对点练习1.(1)m≠1；(2)-1；(3)在；(4)y>1或y<0;< -22.>3.<4.(1)6:(2)-4;(3)-3:(4)A5.4 命题点7反比例函数图象与性质的应用 6 教材要点归纳①D②y=。y=3x+3;画图略；③x>1或-2 、9 <x<0④0<x≤1或x≤-2⑤2 命题点8二次函数的图象与性质 教材要点归的①名3弘@的空④（女）⑤ 2a 2 (h,k)⑥4ac-b ⑦k⑧小⑨4ac-b Aa ⑩k①大2减小3增大增大⑤减小0y轴⑦左 B右0两个四-1①2233324(24-6.0) 2 5(2a-m）>2}8-(2-hy产=-1 29h=100①-(5-h)2=-12h=681或6 随堂对点练习1.(1)y=2(x-1)2-1;(2)y=-x2+4x-1;(3)y= x2-2x-32.(1)经过点E(2,3),描点画图略：(2)①下，x=1, (1,4):②1，大，4：③<：>：=3.B4.①③④⑦⑨ 命题点9二次函数表达式 的确定及图象的变换 随堂对点练习1(1)y=4;(2)y=-+2x+3;(3)y=-2x+ 8x-4;(4)该二次函数的表达式为y=-x2-2x+3;(5)抛物线的表 达式为y=2x2-8x+62.y=x2-4x+3;y=x2-1;y=x2-2x+1;y=x2- 2x-13.y=2x2-4x+1y=-2x2-4x-1 命题点10二次函数图象与性质的应用 教材要点归纳①两个不相等②两个相等③无 ④x<x1或x>x2⑤x1<x<x2 随堂对点练习1.(1)x1=-1,x2=3:(2)x=0,x=2;(3)2;(4) -1<x<3;(5)x<0或x>22.-3≤x≤1 命题点11二次函数的实际应用 1 教材要点归纳例1(1)抛物线的表达式为y=0+了： 4 (2)能，理由略 例2①(x-2)）②2[50-(x-2)]8D 例3当销售单价为55元时，该超市日获利最大，最大获利为1250 元 题解析·河南数学