第3章 命题点8 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026河南中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点8二次函数的图象与性质 考情时间轴 22.涉及函数最值 21.涉及 21.涉及 21,23.涉及 2025 2023 2021 2019 2024 2022 2020 2018 22.利用对称轴求自变 量取值范围内最值 9.与a,b,c的关系 22.涉及 8.与对称轴有关的计算 23.涉及 教材要点归纳 要点1二次函数的图象与性质（二次函数图象一抛物线） 概念 般地，形如y=aax+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数叫作二次函数 一般式 顶点式 交点式 三种表达式 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+h(a≠0) y=a(x-x,)(x-x2)(a≠0) a>0 y Tx=h 大 0 致 开口向上 图 +Y a<0 象 个 开口向下 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 顶点坐标 ④ ⑤ x= b时， 2 x=h时， +2时， a>0 2 y有最小值⑥ y有最小值⑦ y有最⑧ 值 最 值 x= b时 x=h时， 产时， a<0 2 y有最大值⑨ y有最大值⑩ y有最① 值 在对称轴左侧时，y随x增大而② 增 a>0 在对称轴右侧时，y随x增大而③ 减 性 在对称轴左侧时，y随x增大而④ a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑤ 注：特别地，若已知二次函数的表达式为y=a+bx,则该二次函数图象必过原点；反之，若已知二 次函数y=ax2+bx+c的图象过原点，则必有c=0. 知识，点精讲·河南数学 39 要点2二次函数的图象与a、b、c的关系 决定抛物线的开口方向，|a|决定开 a>0,抛物线开口向上； 口大小 a<0,抛物线开口向下 b=0,对称轴为①⑥ 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为 b >0，对称轴在y轴⑦ 侧 a、b 直线x=-20 左同右异 b <0,对称轴在y轴⑧ 侧 c=0,抛物线过原点； 与y轴必 决定抛物线与y轴交点的位置 c>0,抛物线与y轴交于正半轴： 有交点 c<0,抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0时，与x轴有唯一的交点（顶，点)； b2-Aac 决定抛物线与x轴的交，点个数 b2-4c>0时，与x轴有⑨ 交点； b2-4ac<0时，与x轴没有交点 和1的大小； 看到2a-,比较-与-1的大小： 特殊 看到2a+h,比较- 2a 2a 关系 看到a+b+c,令x=1,看y的值； 看到a-b+c,令x=-1,看y的值； 看到4a+2b+c,令x=2,看y的值； 看到4a-2b+c,令x=-2,看y的值 要点3二次函数对称轴的理解与应用难点 求对称轴：二次项系数和一次项系数比是常数（即D三m)→对称轴为直线=一 例1抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)的对称轴为直线x=②0 (2)求对称轴：看到抛物线上纵坐标相等的两点(x,),(化，)→对称轴为直线x= 2 例2写出下列抛物线的对称轴： (1)与直线y=n交于点(1，n),(3,n)的抛物线：对称轴是直线x=四 (2)x,y的几组对应值如表所示的抛物线：对称轴是直线x=②② -2 0 1 3 6 -4 -6-4 (3)巧用对称轴：求纵坐标相等两点的横坐标 例3已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B,对称轴是直线x=2,则点B的横坐标为3 方法指导 ①若已知抛物线对称轴为直线x=,与x轴的一个交点坐标为(b,0),则与x轴的另一个交点坐 标为④ ;②若已知抛物线上任意一点M的坐标为(m,n),对称轴为直线x=a,则点M 关于对称轴对称的点的坐标为⑤ 40 知识，点精讲·河南数学 一战成名新中考 (4)巧用对称轴比较函数值大小 例4多解法若二次函数y=a(x-3)2+c(a>0)的图象过点A(-1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则y1, y2,y?的大小关系是0 (用“>”连接) 方法指导 方法一：增减性比较法.基本步骤：由α定开口方向→确定对称轴→把所有点转化到对称轴 的同一侧→由增减性得大小，如图1，图2. x=t x=h 减小 B 增大 D O减小 A B/0 A YR>Yc>Y YE>YD>YF YB>Yc>Y YA>YC>YE 图1 图2 图3 图4 方法二：距离法.先定开口方向，再算“距离”，牙口向上距离对称轴越远，函数值越大如图 3:开口向下，距离对称轴越远函数值越小如图4 (5)巧用对称轴求自变量取值范围内函数最值（涉及分类讨论）(2025.22考法) 例5已知二次函数y-2(+1)+3,当1≤≤4时，该二次函数的最大值为@ 方法指导 对称轴为直线x=-1,开口向上，1≤x≤4在对称轴右侧，根据增减性，x=4时有最大值；x=1 时有最小值， 总结：先确定二次函数图象的开口方向及对称轴，再根据取值范围在对称轴左侧、右侧和两 端三种情况判断. 最大值 最大值 最大值 最小值 最小值 最小值 左侧 右侧 两端 变式已知二次函数y=-(x-h)(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数 值y的最大值为-1，求h的值 解：如解图，通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论，求出符合条件的五 的值， ①当h<2时，有四 解得四 ②当2≤h≤5时，y=-(x-h)2的最大值为0 不符合题意； ③当h>5时，有① ,解得 变式解图 综上，h的值为3 知识，点精讲·河南数学 41 随堂对点练习 要点11.按要求将二次函数的表达式转化为其他形式： (1)二次函数y=2x2-4x+1化为顶点式为 (2)二次函数y=-(x-2)2+3化为一般式为 (3)二次函数y=(x+1)(x-3)化为一般式为 要点12.在如图所示的网格中建立平面直角坐标系xOy,已知每个小正方形的边长均为1，点A, B,C,D均在网格线的交点上，二次函数y=a+bx+c的图象恰好经过点A,B,C,D. (1)该二次函数的图象还经过网格中的哪个格点？在图中描出该点，并用描点法画出该 二次函数的图象； 10 第2题图 (2)观察该二次函数图象，回答下列问题， ①图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 ②当x= 时，y有最（填“大”或“小”）值为 (填数字)： ③比较大小：若点(-2，m),（-1.5,n)在该函数图象上，则mn; 若点(2，d),(4,t)在该函数图象上，则dt: 若点(-2，m),(4,t)在该函数图象上，则mt. 要点13.若抛物线y=ax2-4x+c的开口向下，交y轴于正半轴，则抛物线的顶点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 要点24.已知二次函数y=ac2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点A的坐 标为(1,0)，其部分图象如图所示，则下列结论中正确的是 (填序号). ①b2-4ac>0: ②abc>0: ③a-b+c<0; x=-1 ④a+b=-c; ⑤2a+b=0: ⑥4a-2b+c>0; ⑦一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x,=-3,x2=1; ⑧当y>0时，-3<x<1: ⑨当x>0时，y随x的增大而增大； 第4题图 ①喏点D(-,B(弓)是函数图象上的两点，则5 9 温馨提示：请完成《分层作业本》P38-40习题 42 知识，点精讲·河南数学⑦x≥a⑧>b⑨x<a0a≤x<b①x>-32x≥-1Bx≥-1 随堂对点练习1.C2.-2<x<13.(1)1:(2)a≤2 第三章 命题点1平面直角坐标系 教材要点归纳①y②x③x=0且y=0④纵⑤横 ⑥(x,-y）⑦(-x,y)⑧(-x,y）⑨(x+a,y） ⑩(x,yta)①(x,y-a）②lalB√a+b@ly2y,l ⑤1x2-x11 随堂对点练习1.(1)-2：(2)-2<m<2;三；(3)-1；(4)(2-m, 3m-6):(5)(-m,3m+3)2(1)(-1,2),2,1,w5: (2)(-7,1):(3)2,(-3,2)或(1,2)：(4)(1,1)或(1,3)：(5) (2,1)或(2，-1)；√10或32 命题点2函数及函数图象的分析与判断 教材要点归纳①图象法②C③≠④≠⑤≥ ⑥≥⑦≥⑧≠⑨>0>①>2CBB④C5D a02a@a@s@(子a)+o=25 @3(负值已舍去) 命题点3一次函数的图象与性质 教材要点归纳①-6②6③略④略⑤略 k ⑥一、二、三⑦一、三、四⑧一、三⑨一、二、四 ⑩二、三、四①二、四2增大3减小④<5< 随堂对点练习1.画图略①k>0,y随x的增大而增大；②b> 0,图象与y轴交于正半轴；③图象与x轴的交点坐标为(-2， 0),与y轴的交点坐标为(0,1)；④图象经过第一、二、三象限2. (1)m≠-1,1；(2)-3；m>1;(3)-1<m≤1；(4)D3.p<g变式3 4()=6:(2)>6*<0:(36≥-3 命题点4一次函数表达式的确定 及图象的变换 教材要点归纳①相反数②相反数 随堂对点练习1.(1)3；(2)2；(3)4：(4)该一次函数的表达式 5 为y=2x+2 2.(1)y=-2x+4:y=-2xy=-2x+3;y=-2x+1; (2y=-2-1:3y=7315:(26:3)0号o:25 3 (4)-1或4 命题点5一次函数的实际应用 教材要点归纳例(1)A,B两款玩偶的进价分别为20元/ 个，15元/个：(2)y=5x+450:(3)购买A款玩偶15个，B款玩偶 30个时利润最大，最大利润为270元 练(1)256,270；(2)活动一：y1=0.8x;活动二：y3=x-100.当 500<x<600时，选择活动一更省钱：当x=500时，活动一和活动二实 付金额相同，任选其一即可：当400Kx<500时，选择活动二更省钱 2 参考答案与重难 4.(1)x>2(7-x):(2)10x≥15(7-x):(3)10x+15(7-x)≤90 5.不等式的解集为x>2,解集在数轴上表示略 函数 ①s。②t,时刻到达乙地③，时刻开始从乙地返回甲地 ④在乙地停留的时间为与，⑤⑥，。⑦< t3-t2 命题点6反比例函数的图象与性质 教材要点归纳①<②略③一、三④减小⑤二、四 ⑥增大⑦y=±x⑧原点⑨0<x,<x,⑩y2<0<y1①1k 22B11k157Ik1G1k1 随堂对点练习1.(1)m≠1；(2)-1；(3)在；(4)y>1或y<0;< -22.>3.<4.(1)6:(2)-4;(3)-3:(4)A5.4 命题点7反比例函数图象与性质的应用 6 教材要点归纳①D②y=。y=3x+3;画图略；③x>1或-2 、9 <x<0④0<x≤1或x≤-2⑤2 命题点8二次函数的图象与性质 教材要点归的①名3弘@的空④（女）⑤ 2a 2 (h,k)⑥4ac-b ⑦k⑧小⑨4ac-b Aa ⑩k①大2减小3增大增大⑤减小0y轴⑦左 B右0两个四-1①2233324(24-6.0) 2 5(2a-m）>2}8-(2-hy产=-1 29h=100①-(5-h)2=-12h=681或6 随堂对点练习1.(1)y=2(x-1)2-1;(2)y=-x2+4x-1;(3)y= x2-2x-32.(1)经过点E(2,3),描点画图略：(2)①下，x=1, (1,4):②1，大，4：③<：>：=3.B4.①③④⑦⑨ 命题点9二次函数表达式 的确定及图象的变换 随堂对点练习1(1)y=4;(2)y=-+2x+3;(3)y=-2x+ 8x-4;(4)该二次函数的表达式为y=-x2-2x+3;(5)抛物线的表 达式为y=2x2-8x+62.y=x2-4x+3;y=x2-1;y=x2-2x+1;y=x2- 2x-13.y=2x2-4x+1y=-2x2-4x-1 命题点10二次函数图象与性质的应用 教材要点归纳①两个不相等②两个相等③无 ④x<x1或x>x2⑤x1<x<x2 随堂对点练习1.(1)x1=-1,x2=3:(2)x=0,x=2;(3)2;(4) -1<x<3;(5)x<0或x>22.-3≤x≤1 命题点11二次函数的实际应用 1 教材要点归纳例1(1)抛物线的表达式为y=0+了： 4 (2)能，理由略 例2①(x-2)）②2[50-(x-2)]8D 例3当销售单价为55元时，该超市日获利最大，最大获利为1250 元 题解析·河南数学