第2章 命题点2 一元二次方程及其应用-【一战成名新中考】2026河南中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点2一元二次方程及其应用 考情时间轴 13.两个相等实数根 6.判断根的情况 7.判断根的情况 8.一元二次方程的实际应用 7.两个不相等实数根 2025 2023 2021 2019 2024 2022 2020 2018 5.判断根的情况 7判断根的情况 7.没有实数根 6判断根的情况 教材要点归纳 要点1一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必须同时满足以下三个条件： (1)是整式方程； 二次项系数(a≠0) (2)只含有1个未知数： 一次项系数 ax2+bx+c=0 (3)未知数的最高次数是2. 二次项一次项常数项 拿易错警示对于方程ax2+bx+c=0,只有当① 时才是一 元二次方程；若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则必然隐含着② 要点2一元二次方程的解法（基本思路：降次） 解法 适用形式 方程的根 x2=p(p≥0) x=±p 直接开平方法 (x+n)2=p(p≥0) x=±p-n 因式分解法 ax2+bx+c=a(x-m)(x-n)=0(a0) x=m,x2=n 公式法 a2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) -b±√02-4ac X= 2a 配方法 ax2+b.x+c=0(a≠0)→(x+n)2=p(p≥0） x=tp-n 拿易错警示使用求根公式时：(1)要先将一元二次方程化为一般形式； (2)确定a,b,c的值时要带符号. 要点3一元二次方程根的判别式重点 △=b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式. (1)b2-4ac>0→方程有③ 的实数根； (2)b2-4ac=0<→方程有④ 的实数根(x,=x2=⑤ (3)b2-4ac<0台方程⑥ 实数根 由(1)、(2)知2-4ac≥0方程有两个实数根. 拿易错警示由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的三 次项系数含有字母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件： 知识，点精讲·河南数学 17 要点4一元二次方程根与系数的关系(2022年版课标去*]】 若方程a2++c=0(a≠0)有两个实数根x1,3,则有x,=- ,出 a 要点5一元二次方程的实际应用 类型1变化率问题 (1)若原来的量为a,连续两次增长后变为b,设平均增长率为x,则b=⑦ (2)若原来的量为a,连续两次下降后变为b,设平均下降率为x,则b=⑧ 例1[2025沁阳一模]“杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一 阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.如果 第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，则亩产量的平均增长率是多少？设亩产量的 平均增长率为x,则可列方程⑨ 类型2 面积问题 (1)如图1，设空白部分的宽为x,则S影=四 图1 图2 图3 图4 (2)如图2、图3、图4，设阴影道路的宽为x,则S=① (3)如图5，用，总长为m米的篱笆，围成一个矩形，一边靠墙，若平行于墙的一边长为x米（墙面长 度大于x米)，则所围成矩形的面积S=② 如图6，当在边上留1米的门时，S=3 LLLLLLLLLLLLLLLLLLL L1111111111411 1米 图5 图6 图7 (4)如图7，长为a,宽为b的矩形ABCD的四个角都剪去一个边长为x的正方形后做成一个无盖 的盒子，则该盒子的底面积S=④ 例2[北师九上P57第15题改编]如图，某小区计划在一个“长为40m,宽为26m”的矩形场 地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条 与AD平行，其余部分种草（阴影部分），若使每一块草坪的面积都是 144m2,设道路的宽为xm,则可列方程为⑤ x的值为⑥ 例2题图 18 知识，点精讲·河南数学 一战成名新中考 类型3其他问题 (1)细胞分裂问题：现有a个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x个细胞，则第一轮分裂后 的细胞总数为ax,第二轮分裂后的细胞总数为⑦ ； (2)病毒传染问题：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有 (1+x)个人患流感，第二轮后共有⑧ 个人患流感； (3)握手问题：有n个人相互之间只握一次手，则每个人需要握手(-1)次，总握手次数为 (n-l)次： (4)互赠礼物问题：一个班级有名同学，每两名同学之间都要互相赠送一个礼物，则每名同学需 赠送礼物(n-1)个，总的礼物个数为n(n-1)个. 随堂对点练习 要点21.[北师九上P36做一做改编]填上适当的数，使等式成立： x2+8x+=(x+4)2;x2-12x+=(x-)2. 要点32.[华师九上P33试一试改编]已知关于x的方程ax2-4x+1=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则α的取值范围是 (2)若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 (3)若该方程没有实数根，则a的取值范围是 (4)若该方程有实数根，则a的取值范围是 要点53.[人教九上P22第6题改编某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个 球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（ A.6 B.7 C.8 D.9 要点24.请用你认为的最佳方法解下列方程： （1)x2-3x=0: (2)x2-5x+6=0: (3)x2-4x=4; (4)x2+x-1=0. 温馨提示：请完成《分层作业本》P13-14习题 知识，点精讲·河南数学 19一战成名司 参考答案与重难题解析 知识点精讲 第一章数与式 命题点1实数的相关概念与大小比较 4(1)原式=号：(2)原式4 教材要点归纳①不循环②盈利50元③亏损80元 ④小⑤-a⑥0⑦0⑧-a⑨大0a=-b①12±1 命题点3整式与因式分解 B万@大⑤>0=⑦>810 教材要点归纳①。②。③a公④u⑤ 随堂对点练习1.①⑤⑧：①④⑥：⑧：①④⑤68：②③⑦⑨0 ⑥1⑦am+an+bm+bn⑧a2-b2⑨a2±2ab+b2 2D3.(1)-1,E;(2)B,F;(3)22-1;(4)-2或44.C5.(1) 随堂对点练习1.(1)1.4a:(2)a+10b2.(1)a";(2)n2-n=n 7.05×10:(2)5.07×10;(3)5.4×10;(4)7.44×10:(5)1× (n-1)3.-5,5:34.(1)y(x-2y):(2)(4a-1)2;(3)(3+x)(3 105;(6)0.000072 -x)5.(1)2a3:(2)a6:(3)6x3:(4)2a:(5)a2+a:(6)2a2-ab-b 命题点2实数的运算（含二次根式） 6.方法一：原式=x2+2+1-2-2=x2-1;方法二：原式=(x+1)(x+1-2) 教材要点归纳①相反数②0③0和1④a =x2-1,当x=√2时，原式=1. ⑤-1、0、1⑥≥⑦a⑧ab⑨√a÷b⑩4①9 命题点4分式及其运算 22B3④2.5536a1⑧1正1@b-a 教材要点归纳①B≠0②A=0且B≠0③B≠0，C≠0，D≠0 65⑦b8M6c 四5 ac 'ad bd 随堂对点练习1.B2.x≠5x=1 随堂对点练习1.(1)任意实数：(2)x>1;(3)x≥1且x≠2 2.(1)3:(2)3:(3)3:(4)-3:(5)22:(6)6:(7)√2：(8)1：(9)±8 58(4)1 3(1)1:(2)-x2:(3)-4知： *7(5)1 2:(6)-x 3.(1)-1;(2)2:(3)3;(4)-9:(5)1-2;(6)1 4原式品2当0=1时，原式：- 第二章 方程（组）与不等式（组） 命题点1一次方程（组）及其应用 x)=144×6⑥2⑦ax2B(1+x)2 x=-2. 随堂对点练习1.16；36；62.(1)a<4且a≠0：(2)4； 教材要点归纳例2原方程组的解为 y=8. (3)a>4:(4)a≤43.D4.(1)x1=0,x2=3;(2)x1=2,x2=3: 例3①x+y②10x+15y (1)购进A种水果1000kg,购进B种水果500kg: 2202-26:（0525 2 (2)打折销售的B种水果有200kg 命题点3分式方程及其应用 随堂对点练习1.①④2.43.B4.B 16,15 教材要点归纳①600 2+00309-2x9 x+10 /100*+1003=34 x=-1. 6.(1)x=5(2)原方程组的解为 ⑤x=60⑥经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意⑦x 8.14 (00100248 3y=1. +10=70(元)⑧A种书包每个进价为60元，B种书包每个进价 命题点2一元二次方程及其应用 为0元⑨6+2010 3x604x 教材要点归纳①a≠0②a≠0③两个不相等 随堂对点练习1.(1)4：(2)3或4；(3)0<m<2;(4)0: ④两个相等⑤六⑥股有a1)》国a1-)970 (5)2或02.C3.(1)原分式方程的解为x=9:(2)原分式方程 无解 (1+x)2=10080(a-2x)(b-2x)①(a-x)(b-x) 0x·"Bx.m4(a-2x)(6-2x）6(40-2(26 命题点4一元一次不等式（组）及其应用 2 教材要点归纳①>②>③<④x<a⑤x>a⑥x≤a 参考答案与重难题解析·河南数学