初中数学强基计划数论专题3：同余的探索方法与解题导引

初中强基计划数论专题3：同余的探索方法与解题导引 【基础知识】 1．设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余，记作，显然，； 每一个整数a恰与1，2，……，m，这m个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 【典型例题】 例1、证明：一个数被9整除其各位数码之和是9得倍数。 证明：设此数为 A 即 因，故。 例2、试证：，其中n为任意正整数。 例3、在黑格上有这些数，做这样得变换：将黑板上得数擦去一些，并添加上被擦去得数得和被7除得的余数，经过若干次后，黑板上只有两个数，一个是987，求另一个。 解：因； 设最后留下的两个数为987和， 因0≤＜7，有 。 例4、试证对于任何整数，数不是三个整数的平方和。 证明： 即 ， 同理，对任意整数也只能有 ； 然而， 因而。 [素养提升] 1、证明：完全平方数模4同余于0或1。 证明： 2、证明对于任何整数,能被7整除。 都能被7整除； 注： 3、试判断能被3整除吗？ 4、能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为， 且满足 4、若，试证：． 证明：注意到，于是，，但，由性质即得． 5.对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为 ． 解： 因为为的倍数，所以的最小值满足 ， 其中表示的最小公倍数． 由于 ， 因此满足的正整数的最小值为． 6.设正整数使和是完全平方数．求证：． 证明：是完全平方数，被8除余1，为偶数， 为奇数．又是完全平方数，被8除余1，， ，． 由及，得及被5除均为1．于是，即．，． 7.从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数， （1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017． （2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由． 解：（1）设，…，是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数． 首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009， 每对数记作(m，2009-m) ，其中m=1，2，3，…，1004． 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对， 因此至少有3对数，不妨记为 (互不相等)均为，…，中的6个数． 其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为 2008，每对数记作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，…，1003． 2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是，…，中的4个数，不妨记其中的一对为． 又在三对数，(互不 相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同，不妨设该对数为， 于是． （2）不成立． 当时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数： 1003 ，1004，…，2008， 则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017； 当时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017． 所以时都不成立． 2 $