4.3第2课时　全等三角形的判定定理（边角边）课件2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦全等三角形“边角边”判定定理，通过测量池塘两端距离的现实情景导入，先探究一个、两个条件无法判定全等的铺垫，再经动手画50°角及夹边三角形并重合的操作，引导学生抽象出“边角边”定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合核心素养培养，情景导入体现用数学眼光观察现实世界，探究推理过程发展推理意识，变换证明与动手操作强化几何直观。例题挖掘对顶角等隐含条件，培养应用意识，助力学生形成逻辑思维，教师可直接用于课堂，提升教学效果。

第4章　三角形 4.3　全等三角形 第2课时　全等三角形的判定定理（边角边） 1 情景导入 如图，A，B两点分别位于池塘两端，小伙伴们用下面的方法测量点A，点B间的距离：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC，连接BC并延长到E，使CE＝BC，连接DE，那么量出DE的长，就是点A，点B间的距离，他们的测量方法对不对？为什么？ E A C B D 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 自学互研 知识模块一　探索发现全等三角形的判定定理1“边角边”定理 探究活动1：一个相等的条件可以吗？ （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 结 论： 只有一个相等条件不能保证两个三角形全等. 不一定全等 探究活动2：两个相等的条件可以吗？ 3 cm 4 cm 不一定全等 3 cm 4 cm (1) 有两个角分别相等的两个三角形 (2) 有两条边分别相等的两个三角形 60° 30° 30° 60° 有两个分别相等的条件也不能保证三角形全等. 不一定全等 30° 6 cm 结 论： (3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形 6 cm 30° 当两个三角形只有一条边(或一个角)相等时，两个三角形不一定全等； 总 结 当只有两条边(或一边一角、两个角)分别对应相等时，两个三角形也不一定全等． 做一做 每位同学在纸上的两个不同位置分别画两个三角形，使它们都有一个角等于50°，且夹这个角的两条边分别是2 cm和2.5 cm.将这两个三角形剪下来叠在一起，你发现了什么？ 50° 2 cm 2.5 cm 50° 2 cm 2.5 cm 完全重合 得出全等三角形的判定定理(边角边)： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写为“边角边”或SAS． 利用平移、旋转、轴对称知识来证明三角形判定定理的成立 设在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠ABC =∠A′B′C′， A B C AB = A′B′，BC = B′C′. A′ B′ C′ 第一步，如图，将△ABC 沿射线 BB′ 的方向平移，平移的距离等于线段 BB' 的长度. A B C A1 B' C1 在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1，则点 B 的像（点B1）与点B 重合，且△A1B1C1≌△ABC， 从而 B1C1 = BC，B1A1 = BA，∠A1B1C1 = ∠ABC. A′ C′ (B1) A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) 第二步，如图，将△A1B1C1 绕点 B' 旋转，旋转角的大小等于∠C1B'C'.在这个旋转下，将△A1B1C1 的像记为△A2B2C2 ，则点 B1 的像（点B2）与点 B' 重合，点 C1 的像 (点C2) 在射线 B'C' 上，且△A2B2C2 ≌△A1B1C1， 从而 B2A2 = B1A1，B2C2 = B1C1. 又 B1C1 = BC，BC = B'C'， A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) 则 B'C2 = B'C'，于是点 C2 与点 C' 重合. 又∠A2B2C2 =∠A1B1C1，∠A1B1C1 =∠ABC， ∠ABC =∠A'B'C'， 所以∠A2B2C2 =∠A'B'C'. A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) (C3) (B3) (A3) 第三步，如图，作△A2B2C2 关于直线 B'C' 成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3 ，由于点 B2 与点 B' 重合，且均在对称轴 B'C' 上，因此点 B2 的像（点B3 ）与点 B' 重合. 同理可得，点 C2 的像（点C3）与点 C' 重合. 又 △A3B3C3 ≌△A2B2C2 ，于是∠A3B3C3 =∠A2B2C2 . 又点 B3，C3 分别与点 B'，C' 重合，从而∠A3B3C3 =∠A3B'C'， A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) (C3) (B3) (A3) 又∠A2B2C2 = ∠A'B'C'，所以∠A3B3C3 =∠A'B'C'. 于是∠A3B'C' =∠A'B'C'， 因此射线 B'A3与射线 B'A' 重合. 又 B3A3 = B2A2，B2A2 = B1A1，B1A1 = BA，BA = B'A'， A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) (C3) (B3) (A3) 于是 B3A3 = B'A' = B'A3， 因此点 A3 与点 A' 重合. 所以△A3B3C3 与△A′B′C′ 重合， 即△A3B3C3 ≌△A′B′C′ . 上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边) 又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，△A2B2C2≌△A3B3C3 ， 因此△ABC≌△A'B'C'. A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) (C3) (B3) (A3) 1．利用平移旋转、轴对称知识证明“情景导入”中测量方法的原理． 解：由作图可知，在△ACB和△DCE中， 练 习 AC＝DC BC＝EC ∠ACB= ∠DCE E A C B D ∴△ACB≌△DCE(SAS). ∴AB＝DE，即量出DE的长就可得AB的长． 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE. 求证：△ABD≌△ACE. 证明：如图，∵∠BAC＝∠1＋∠2， ∠DAE＝∠3＋∠2且∠BAC＝∠DAE， ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠1＝∠3. A B C E D 1 2 3 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). AB＝AC AD＝AE ∠1= ∠3 A B C E D 1 2 3 知识模块二　“边角边”定理的运用 例1 如图，AB 和 CD 相交于 O，且 AO = BO，CO = DO. 求证：△ACO≌△BDO. 证明：在△ACO 和△BDO 中， ∴△ACO≌△BDO (边角边). AO = BO， ∠AOC =∠BOD (对顶角相等)， CO = DO， 方法总结 证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐含的条件，如对顶角相等、公共角（边）相等这些. 如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，连接BM，AN.求证：AN＝MB. 练 习 证明：∵△ACM，△CBN都是等边三角形， ∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°. A C B N M 在△ACN和△MCB中， ∴△ACN≌△MCB(SAS). ∴AN＝MB. AC = MC， ∠ACN=∠MCB ， CN = CB， ∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB. A C B N M 课堂小结 边角边 内容 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等[简写成“边角(SAS)”] 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1. 已知两边，可以找“夹角”； 2. 已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 25 一、 选择题 1. 与如图所示的△ABC全等的是（　A　） 　 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，∠ABD＝∠CDB，AB＝2，AD＝4，要使△ABD≌△CDB，则可以补充的一个条件是（　C　） A. BC＝2 B. BC＝4 C. CD＝2 D. CD＝4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝35°，则∠BDC的度数是（　D　） A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，在△AFD和△BEC中，AD∥BC，AE＝FC，AD＝BC，点A，E，F，C在同一条直线上，则下列结论错误的是（　C　） A. FD∥BE B. ∠B＝∠D C. AD＝CE D. ∠BEA＝∠DFC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ★如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE. 若△ABD的面积为5，则△ACE的面积为（　C　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 如图，AC⊥CB，BD⊥BC，垂足分别为C，B，AC＝BD，可证得△ABC≌△DCB，则证明全等的依据是 　边角边　. 边角边　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，要说明△ABC≌△DEF，若以“边角边”为依据，则还要添加的条件为 　AB＝DE　. AB＝ DE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，AC，BD相交于点O，AO＝DO，OB＝OC，CD＝7，则AB的长为 　7　. 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. ★如图，∠ACB＝∠ACD，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E. 若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为 　82°　. 82°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD. 求证：△ABC≌△AED. 第10题 解：因为∠BAE＝∠CAD，所以∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，即∠BAC＝∠EAD. 在△ABC和△AED中， 所以△ABC≌△AED（边角边） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD. 求证：∠C＝∠D. 第11题 解：因为AB是∠CAD的平分线，所以∠CAB＝∠DAB. 在△ABC和△ABD中， 所以△ABC≌△ABD（边角边）.所以∠C＝∠D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图，F是CD 的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC. 求证： （1） BF＝EF； 解：（1） 因为F是CD 的中点，所以CF＝DF. 在△BCF和△EDF中， 所以△BCF≌△EDF（边角边）.所以BF＝EF 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） AB＝AE. 解：（2） 因为△BCF≌△EDF，所以∠BFC＝∠EFD. 因为AF⊥CD，所以∠BFC＋∠AFB＝∠EFD＋∠AFE＝90°.所以∠AFB＝∠AFE. 在△ABF和△AEF中， 所以△ABF≌△AEF（边角边）.所以AB＝AE 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $