专题 4.6 相似三角形（全章复习讲义）- 2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲练（浙教版）

该初中数学相似三角形全章复习讲义通过知识框架图系统梳理了比例线段、平行线性质、黄金分割、相似三角形判定与性质等十大知识点，以递进式结构呈现知识脉络，突出相似三角形判定与性质的核心地位，明确各知识点内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础篇通过比例性质例题及变式培养推理意识，培优篇设置相似与二次函数综合题提升模型意识。每个题型附小结归纳方法，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学，有效提升不同层次学生数学能力。

专题 4.6 相似三角形（全章复习讲义） 目录 一．知识梳理 2 【知识点一】比例线段定义 2 【知识点二】比例线段的性质 2 【知识点三】平行线的基本事实 2 【知识点四】平行线基本事实推论 2 【知识点五】黄金分割 3 【知识点六】相似多边形的性质 3 【知识点七】相似三角形的判定 3 【知识点八】相似三角形的性质 3 【知识点九】相似三角形的应用 3 【知识点十】位似图形 3 二．题型精析 4 基础篇 4 【题型1】比例基本性质 4 【题型2】平行线的基本事实 4 【题型3】黄金分割 5 【题型4】相似多边形性质 6 【题型5】相似三角形的判定 7 【题型6】相似三角形的性质 8 【题型7】位似图形 8 【题型8】相似三角形性质与判定简单综合 9 培优篇 11 【题型9】利用平行线基本事实求值证明——构造平行线 11 【题型10】相似三角形性质与判定与四边形综合 12 【题型11】相似三角形性质与判定与几何变换综合 13 【题型12】相似三角形性质与判定与反比例函数综合 13 【题型13】相似三角形性质与判定与圆综合 14 【题型14】相似三角形性质与判定与二次函数综合 15 一．知识梳理 【知识点一】比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【知识点二】比例线段的性质 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫 （1）基本性质：； （2）合比性质：⇔＝； （3）等比性质：； 【知识点三】平行线的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【知识点四】平行线基本事实推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 即如图所示，若∥，则，. 【知识点五】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【知识点七】相似三角形的判定 （1） 两角对应相等的两个三角形相似. （2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． （3） 三边对应成比例的两个三角形相似． （4） 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【知识点八】相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【知识点九】相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【知识点十】位似图形 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. （2）位似图形性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. （3）位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 二．题型精析 基础篇 【题型1】比例基本性质 【例题1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（    ） A．4 B．10 C．25 D．100 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型小结：这三道比例基本性质的题型，解题思路均围绕比例的基本性质、比例中项定义及等比性质展开：例题 1 通过设比例系数 k 将比例式转化为线段的含参表达式，代入线段和的条件求出 k，进而得到各线段长度，再根据成比例线段的定义列比例式求未知线段；变式 1 依据比例中项的概念，代入已知线段长度计算得出比例中项的长度；变式 2 直接运用等比性质，结合已知比例关系求出代数式的值。 【题型2】平行线的基本事实 【例题2】（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知∶如图，若，求． 【变式1】（25-26九年级上·山西临汾·期中）已知，则的长为 ． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型小结：平行线基本事实（平行线分线段成比例定理）的题型，解题思路均围绕平行线分线段成比例定理的核心内容展开：先根据题目给出的平行线条件，确定被平行线所截的线段，找准对应线段的比例关系；再针对求值类题目，代入已知线段长度建立比例等式计算出待求线段长度，针对判断类题目，依据定理逐一验证选项中的比例式是否符合对应关系，进而得出正确结论。 【题型3】黄金分割 【例题3】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则 ． 题型小结：黄金分割相关题型，解题思路均紧扣黄金分割的定义（较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，比值为 展开；先明确线段中的黄金分割点位置（靠近哪一端），区分较长线段与较短线段，再根据黄金分割的比例关系建立等式，代入已知线段长度计算，即可求出待求的线段长度。 【题型4】相似多边形性质 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则 ． 题型小结：相似多边形性质的题型，解题思路均围绕相似多边形的核心判定与性质展开：例题 4 通过计算验证两个四边形的各对应角相等、各对应边成比例，以此判定四边形相似；变式 1 和变式 2 则先根据相似多边形对应边成比例的性质，结合矩形边长关系或已知相似比，建立比例等式，代入数据计算即可求出待求的边长比值或线段长度。 【题型5】相似三角形的判定 【例题5】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D是上的一点，交于E，M，N分别是，上的点，且，求证：． 【变式1】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 题型小结：相似三角形判定的题型，据题目条件选择对应的判定定理：例题 5 通过推导得到两组对应角相等，利用两角分别相等的三角形相似 证得相似；变式 1 借助方格纸，用勾股定理计算出两个三角形的各边长度，再根据三边对应成比例的三角形相似 完成证明；变式 2 先计算出两组对应边的比例相等，且夹角为对顶角相等，依据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似 判定相似并求出相似比。 【题型6】相似三角形的性质 【例题6】（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，．若，则 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）若，且，若的面积为8，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图所示，，，，若，则 ． 题型小结：相似三角形性质的题型解题思路均围绕相似三角形的核心性质展开：先根据题目给出的平行、等角等条件判定三角形相似，再依据 “相似三角形对应边成比例” 或“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质，结合已知的线段长度、面积或比例关系，建立等式代入计算，从而求出待求的线段长度或面积值。 【题型7】位似图形 【例题7】（24-25八年级下·广西百色·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 题型小结：位似图形解题思路围绕位似图形的核心性质（位似图形是相似图形，位似比等于相似比） 展开；例题 7 结合菱形性质与直角三角形相关知识，通过构造直角三角形、利用勾股定理计算线段长度，进而确定点的坐标；变式 1 和变式 2 则先根据位似图形的相似性，得出对应边成比例或对应角相等的关系，再借助相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比的平方的性质，代入已知数据建立等式，求解线段长度或面积比。 【题型8】相似三角形性质与判定简单综合 【例题8】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点． （1）求证：∽； （2）若，直接写出的值． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，的高，交于点，连接． （1）试说明的理由； （2）若，求的长． 题型小结：三角形性质与判定的综合解题思路先结合平行四边形性质、等腰三角形性质或高的垂直关系，推导得到两组对应角相等，再通过两角分别相等的三角形相似 判定目标三角形相似；接着依据相似三角形对应边成比例，对应中线的比等于相似比的核心性质，结合题目给出的线段长度或比例关系，建立等式求解，进而得出待求线段的长度 培优篇 【题型9】利用平行线基本事实求值证明——构造平行线 【例题9】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【变式1】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 【变式3】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． （1）如图①．证明的几何图为梅氏三角． （2）如图②．证明． 【题型10】相似三角形性质与判定与四边形综合 【例题10】（2025·安徽六安·模拟预测）如图1，在四边形中，是的中点，，垂足为，，． （1）求证：； （2）如图2，为的中点，交于点，若，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，若，求的值． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在中，，，为的中点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求的长． 【题型11】相似三角形性质与判定与几何变换综合 【例题11】（24-25九年级下·浙江·月考）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则= ． 【变式1】（2023·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为 ．    【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点E，F，G在长方形的边上．将沿折叠，点O与点G恰好重合，轴于点H，交于点M，，． （1）求点F的坐标； （2）求直线的解析式． 【题型12】相似三角形性质与判定与反比例函数综合 【例题12】（24-25九年级下·山东青岛·月考）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 【变式1】（2025·四川广元·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求证：． 【题型13】相似三角形性质与判定与圆综合 【例题13】（24-25九年级上·广东·期末）如图，为圆O的直径，为圆O的弦，，、的延长线交于点E． （1）直接写出与之间的数量关系； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，，求的长 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，点在圆上，直线经过点，且，为直线上的一个动点，．要使以为顶点的三角形与相似，则的长为 ． 【题型14】相似三角形性质与判定与二次函数综合 【例题14】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求A、B、F三点构成的三角形的面积； （3）点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）（1） 已知抛物线的图象经过点，其对称轴为．求抛物线的解析式． （2）如图，在中，，点，分别是，边上的点，且． 求证： 【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.6 相似三角形（全章复习讲义） 目录 一．知识梳理 2 【知识点一】比例线段定义 2 【知识点二】比例线段的性质 2 【知识点三】平行线的基本事实 2 【知识点四】平行线基本事实推论 2 【知识点五】黄金分割 3 【知识点六】相似多边形的性质 3 【知识点七】相似三角形的判定 3 【知识点八】相似三角形的性质 3 【知识点九】相似三角形的应用 3 【知识点十】位似图形 3 二．题型精析 4 基础篇 4 【题型1】比例基本性质 4 【题型2】平行线的基本事实 5 【题型3】黄金分割 7 【题型4】相似多边形性质 9 【题型5】相似三角形的判定 11 【题型6】相似三角形的性质 13 【题型7】位似图形 15 【题型8】相似三角形性质与判定简单综合 17 培优篇 21 【题型9】利用平行线基本事实求值证明——构造平行线 21 【题型10】相似三角形性质与判定与四边形综合 26 【题型11】相似三角形性质与判定与几何变换综合 30 【题型12】相似三角形性质与判定与反比例函数综合 35 【题型13】相似三角形性质与判定与圆综合 39 【题型14】相似三角形性质与判定与二次函数综合 42 一．知识梳理 【知识点一】比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【知识点二】比例线段的性质 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫 （1）基本性质：； （2）合比性质：⇔＝； （3）等比性质：； 【知识点三】平行线的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【知识点四】平行线基本事实推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 即如图所示，若∥，则，. 【知识点五】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【知识点七】相似三角形的判定 （1） 两角对应相等的两个三角形相似. （2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． （3） 三边对应成比例的两个三角形相似． （4） 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【知识点八】相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【知识点九】相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【知识点十】位似图形 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. （2）位似图形性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. （3）位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 二．题型精析 基础篇 【题型1】比例基本性质 【例题1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】（1），，；（2）8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 解：（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（    ） A．4 B．10 C．25 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义可得，然后代入a和b的值计算 c即可． 解：∵ c 是 a 和 b 的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（c 为线段，取正值）． ∴． 故选B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，主要利用了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质． 利用等比的性质：如果，那么，据此解答即可． 解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 题型小结：这三道比例基本性质的题型，解题思路均围绕比例的基本性质、比例中项定义及等比性质展开：例题 1 通过设比例系数 k 将比例式转化为线段的含参表达式，代入线段和的条件求出 k，进而得到各线段长度，再根据成比例线段的定义列比例式求未知线段；变式 1 依据比例中项的概念，代入已知线段长度计算得出比例中项的长度；变式 2 直接运用等比性质，结合已知比例关系求出代数式的值。 【题型2】平行线的基本事实 【例题2】（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知∶如图，若，求． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 解：， ，即， ． 【变式1】（25-26九年级上·山西临汾·期中）已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并准确找到对应线段的比例关系是解题的关键．先通过线段比例关系求出相关线段的比例，再结合已知长度计算． 解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，逐项分析判断即可得出答案． 解：∵， ∴，，， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、D的比例式正确，不符合题意；选项C的比例式不正确，符合题意； 故选：C． 题型小结：平行线基本事实（平行线分线段成比例定理）的题型，解题思路均围绕平行线分线段成比例定理的核心内容展开：先根据题目给出的平行线条件，确定被平行线所截的线段，找准对应线段的比例关系；再针对求值类题目，代入已知线段长度建立比例等式计算出待求线段长度，针对判断类题目，依据定理逐一验证选项中的比例式是否符合对应关系，进而得出正确结论。 【题型3】黄金分割 【例题3】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割得，进而可得出． 解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点，的长约为， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据黄金比的定义，宽与长之比为 ，已知宽求长，通过比例关系计算即可． 解：设长为 ， ∵ 宽与长之比为黄金比，即 ， ∴ ， ∴ ， 有理化分母：， ∴ 长为 ． 故答案为：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型小结：黄金分割相关题型，解题思路均紧扣黄金分割的定义（较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，比值为 展开；先明确线段中的黄金分割点位置（靠近哪一端），区分较长线段与较短线段，再根据黄金分割的比例关系建立等式，代入已知线段长度计算，即可求出待求的线段长度。 【题型4】相似多边形性质 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见分析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的性质得到，结合题意得到，即可求出结果． 解：矩形与矩形相似， ，即， ∵， ∴， ， ：， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，明确对应边的比等于相似比是解题关键． 已知两个四边形的相似比为，即，将代入求值即可． 解：四边形四边形且相似比为， ， ， ． 故答案为：． 题型小结：相似多边形性质的题型，解题思路均围绕相似多边形的核心判定与性质展开：例题 4 通过计算验证两个四边形的各对应角相等、各对应边成比例，以此判定四边形相似；变式 1 和变式 2 则先根据相似多边形对应边成比例的性质，结合矩形边长关系或已知相似比，建立比例等式，代入数据计算即可求出待求的边长比值或线段长度。 【题型5】相似三角形的判定 【例题5】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D是上的一点，交于E，M，N分别是，上的点，且，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，四边形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用四边形内角和是可说明，从而利用两个角相等证明三角形相似． 解：证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 解：证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【答案】证明见分析，相似比为 【分析】本题考查相似三角形的判定，相似比，先证明，然后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 解：证明：∵，，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 题型小结：相似三角形判定的题型，据题目条件选择对应的判定定理：例题 5 通过推导得到两组对应角相等，利用两角分别相等的三角形相似 证得相似；变式 1 借助方格纸，用勾股定理计算出两个三角形的各边长度，再根据三边对应成比例的三角形相似 完成证明；变式 2 先计算出两组对应边的比例相等，且夹角为对顶角相等，依据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似 判定相似并求出相似比。 【题型6】相似三角形的性质 【例题6】（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，．若，则 【答案】 【分析】本题考查了利用相似三角形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，根据相似三角形的性质有，再求得，由此可求得． 解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）若，且，若的面积为8，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的基本性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键； 通过相似三角形的面积比是相似比的平方直接解题即可． 解：∵，且， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图所示，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴AD=． 故答案为：． 题型小结：相似三角形性质的题型解题思路均围绕相似三角形的核心性质展开：先根据题目给出的平行、等角等条件判定三角形相似，再依据 “相似三角形对应边成比例” 或“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质，结合已知的线段长度、面积或比例关系，建立等式代入计算，从而求出待求的线段长度或面积值。 【题型7】位似图形 【例题7】（24-25八年级下·广西百色·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、含有角的直角三角形以及勾股定理，过点作轴于点，求即可． 解：过点作轴于点 四边形是菱形 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 题型小结：位似图形解题思路围绕位似图形的核心性质（位似图形是相似图形，位似比等于相似比） 展开；例题 7 结合菱形性质与直角三角形相关知识，通过构造直角三角形、利用勾股定理计算线段长度，进而确定点的坐标；变式 1 和变式 2 则先根据位似图形的相似性，得出对应边成比例或对应角相等的关系，再借助相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比的平方的性质，代入已知数据建立等式，求解线段长度或面积比。 【题型8】相似三角形性质与判定简单综合 【例题8】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． （1）结合平行四边形性质推得，后可证，再由相似三角形性质即可得证； （2）先由平行四边形性质中的推得，结合相似三角形性质推得，再证，由相似三角形性质即可求出，从而得出的长． 解：（1）证明：平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：平行四边形中，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得， ． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点． （1）求证：∽； （2）若，直接写出的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边上的中线比等于相似比计算即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， 由题意知，、分别是和对应边上的中线， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，的高，交于点，连接． （1）试说明的理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据是的高，得出，再结合，则，即可作答． （2）结合，故，又因为，所以，再把数值代入进行计算，即可作答． 解：（1）解：的理由如下： 是的高， ， ． （2）解：由（1）得出， ， ， ， ． ， ， ． 题型小结：三角形性质与判定的综合解题思路先结合平行四边形性质、等腰三角形性质或高的垂直关系，推导得到两组对应角相等，再通过两角分别相等的三角形相似 判定目标三角形相似；接着依据相似三角形对应边成比例，对应中线的比等于相似比的核心性质，结合题目给出的线段长度或比例关系，建立等式求解，进而得出待求线段的长度 培优篇 【题型9】利用平行线基本事实求值证明——构造平行线 【例题9】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 【变式1】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得． 解：∵是的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． （1）如图①．证明的几何图为梅氏三角． （2）如图②．证明． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 解：（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 【题型10】相似三角形性质与判定与四边形综合 【例题10】（2025·安徽六安·模拟预测）如图1，在四边形中，是的中点，，垂足为，，． （1）求证：； （2）如图2，为的中点，交于点，若，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，若，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，．证明垂直平分，得到，即可得到结论； （2）证明，，由即可得到结论； （3）过点作，垂足为．求出，，即可求出的值． 解：（1）证明：，， ． 又， 四边形为平行四边形， ． 为的中点， 为的中点， 垂直平分， ， ． （2）解：为的中点，为的中点， ， ． 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴ ， ． （3）解：如图，过点作，垂足为． ∴ ∴ ∴ 由（2）可知，当时，， ，， ∴ ． 设，则，． 在中，， ，解得， ，， ． 【点拨】此考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例； （1）由平行线可得，即，结合可得四边形是平行四边形，由三线合一可得即可得到四边形是矩形； （2）先求出，，即可求出，利用勾股定理求出即可． 解：（1）证明∵，点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形； （2）解：∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在中，，，为的中点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据已知得出点为的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及含30度角的直角三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据已知分别求得，，在中，勾股定理即可求解． 解：（1）解：由题意知为的中点，，得到， 即点为的中点， ， ， 又， ， ， 又，， 四边形为平行四边形， 而＝， 四边形为菱形． （2）四边形为菱形，， ∴， 又∵ ∵， ∴， ∴中， ， ∴， ∴ 在中，． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，菱形的判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型11】相似三角形性质与判定与几何变换综合 【例题11】（24-25九年级下·浙江·月考）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 【变式1】（2023·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为 ．    【答案】 【分析】过点F作轴于点H，根据，得出，，根据折叠得出，，根据平移性质得出，，证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，，证明，得出，求出，，得出，求出点F坐标为． 解：过点F作轴于点H，如图所示：    ∵， ∴，， 根据折叠可知，，， 根据平移可知，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平移的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点E，F，G在长方形的边上．将沿折叠，点O与点G恰好重合，轴于点H，交于点M，，． （1）求点F的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）点F的坐标为（0，2.5）；（2）直线的解析式为y=-0.5x+2.5． 【分析】（1）设点F的坐标为（0，y），则由题意可以得到关于y的方程，解方程求得y的值即可得解； （2）设点E的坐标为（x，0），则由题意可以得到关于x的方程，解方程求得x的值即可得到点E坐标，最后利用待定系数法可以得到所求解答． 解：（1）解：设点F的坐标为（0，y），则FG=y，CF=4-y， ∵CG=2， ∴在Rt△CFG中，由勾股定理可得：， 即， 解之可得：y=2.5， ∴点F的坐标为（0，2.5）； （2）解：由题意可得CO∥GH，则∠OFE=∠FMG， 又∠OFE=∠GFE， ∴∠GFE=∠FMG， ∴GM=GF=OF=2.5，MH=4 -2.5=1.5， 设点E的坐标为（x，0），则OE=x，HE=x-2， ∵CO∥GH， ∴， ∴x=5， ∴点E为（5，0）， 设EF的解析式为y=kx+b，则 ， 解之可得， ∴直线的解析式为y=-0.5x+2.5． 【点拨】本题考查矩形与折叠的综合应用，熟练掌握折叠的性质、勾股定理的应用、平行线分线段成比例定理是解题关键． 【题型12】相似三角形性质与判定与反比例函数综合 【例题12】（24-25九年级下·山东青岛·月考）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 【答案】 【分析】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值． 解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又， ， 点在矩形的对角线上， 矩形矩形， ， ， ， ． 函数的解析式是：． 故答案为： 【变式1】（2025·四川广元·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作于点，过作于点，根据点B 的纵坐标为，结合矩形的性质，得到，将代入，求出，得到，利用勾股定理求出，证明，求出，由矩形的性质得到，再利用勾股定理求出，得到，代入即可解答． 解：如图，过作于点，过作于点， ∵点B 的纵坐标为，四边形是矩形， ∴，， 将代入，则，解得， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查待定系数法反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）求出，再结合点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 解：（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． ∵点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 【题型13】相似三角形性质与判定与圆综合 【例题13】（24-25九年级上·广东·期末）如图，为圆O的直径，为圆O的弦，，、的延长线交于点E． （1）直接写出与之间的数量关系； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，，求的长 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接交于点M，由垂径定理得出得出，由直角三角形的性质和圆周角定理得出，，进而得出结论； （2）连接、，由垂径定理得出，证明是的中位线，得出，，由圆周角定理得出，得出，证出四边形是平行四边形，得出，即可得出答案； （3）求出，，由勾股定理得出，再由勾股定理得出，即可得出 解：（1）解：连接交于点M，如图1所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）连接、，如图2所示：      ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据等边对等角和圆内接四边形的性质得到，即可得到，根据对应边成比例得到，进而解答即可． 解：∵D是的中点， ∴， 设与圆O交于点E，连接，， 则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，点在圆上，直线经过点，且，为直线上的一个动点，．要使以为顶点的三角形与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】先利用勾股定理求出的长，若与相似，则可以和对应，也可以和对应，所以要分两种情况分别讨论，求出的值即可． 解：是的直径， ． 在中，， ． ， ． 要使以为顶点的三角形与相似， 则或， 或， 的长为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是分类讨论，找准对应边． 【题型14】相似三角形性质与判定与二次函数综合 【例题14】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求A、B、F三点构成的三角形的面积； （3）点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）（1） 已知抛物线的图象经过点，其对称轴为．求抛物线的解析式． （2）如图，在中，，点，分别是，边上的点，且． 求证： 【答案】（1）；（2）详见分析． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识．待定系数法求二次函数解析式、证明三角形的对应线段成比例． 利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； 由可得，由已知条件，可证，根据相似三角形的判定定理即可证，由相似三角形的性质可得结论． 解：解：抛物线的对称轴为， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为 ； 证明：， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1）成立；（2）成立 理由见分析；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 解：（1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点拨】本题是二次函数综合题型．主要考查了“三垂图”，相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，余角性质，熟练掌握是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $