第四章 相似三角形 单元测试卷A卷2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第四章相似三角形单元测试卷A卷浙教版2025—2026学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列各组图形其中的一个可以看作是另一个放大或缩小得到的是(   ) A． B． C． D． 2．△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于(    ) A． B．2 C． D．2 3．下列说法正确的是（      ） A．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行 B．两位似图形的面积比等于位似比 C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D．位似图形的周长之比等于位似比的平方 4．若，则的值是（ ） A． B． C． D． 5．△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（　　） A．3：1 B．1：3 C．1：9 D．1：27 6．如图，在中，，且，被、分成三部分，且三部分面积分别为，，，则 A．1：1:1 B．1:2:3 C．1:3:5 D．1:4:9 第8题图 第7题图 第6题图 7．如图，要使，则下列选项中不能作为条件添加的是（ ） A．B=BD∙BA B．∠A=∠BCD C．∙ D． 8．如图，是的重心，则下列结论正确的是（ ） A．2AD=DE B．AD=2DE C．3AD=2DE D．AD=3DE 9．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝2，BC＝3，则等于(   ) A． B． C． D． 第10题图 第12题图 第9题图 10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF=1.2，则CE的长为 A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．若，则 ． 12．如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，那么 ． 13．如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 14．如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为 ． 第13题图 第14题图 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．小明复习了四边形后，对四边形的翻折进行了探究： 已知，点E为四边形边上一点，将沿折叠，点D的对应点为F，射线交四边形的边于一点P． (1)若点E是边的中点． ①如图1，若四边形为正方形，求证：； ②如图2，若四边形为菱形，，求的长； (2)若四边形为矩形时，，点E为的三等分点，求的长． 16．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 17．如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点． (1)求证：． (2)求菱形的面积． (3)求的长． 18．已知，P是平分线上一点，于点A，于点B． (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：． (3)点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． (4)点M在线段的延长线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，，求线段的长． 19．如图，四边形是圆O的内接四边形，连结交于点E (1)求证： (2)若，． ①求证． ②当时，求的值． 20．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． (2)的坐标为 ． (3)若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C C C B B C 二、填空题 11．或2 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．分两种情况讨论：与时，再进行计算即可． 【详解】解：若，则，，， 此时，， 若，则， 综上所述，k的值为或2． 故答案为：或2． 12． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，利用平行线证，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形．过点C作交的延长线于F，判定是等腰直角三角形，得到，判定，推出，求出，判定，得到，即可求出的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于F， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 三、解答题 15．(1)①见解析；② (2)或1 【分析】（1）①如图，连接根据菱形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到， ②如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质得到，求得，由翻折可知，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，设，则，，在△中，，根据勾股定理得到； （2）当时，如图，可知，，根据相似三角形的性质得到，即，根据勾股定理得到； 当时，如图．过点作，与，的延长线交于点，，设，求得，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】（1）（1）①证明：如图，连接 四边形为正方形 ， 点为的中点， ， 将△沿折叠，点的对应点为， ，， ，， △△， ， ②解：如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， 四边形为菱形， ， ， 由翻折可知， ， ， ，， ，， △△， ， ， 即， 设，则，， 在△中，， ， 在△中，由勾股定理可得， 即， 解得， ； （2）解：当时，如图，可知，， △△， ， 即， 在△中，， 即， 解得：； 当时，如图． 过点作，与，的延长线交于点，，设， ， 由“”字型相似可得△△， ， 即， 解得， 在△中，由勾股定理得， 解得（舍去）， ， ， 即， 解得， 综上所述，或1． 16．(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论； （2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 17．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与相似三角形的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接交于点，由菱形的性质得，，则，而，所以； （2）由，得，由，，求得，则，所以； （3）设交于点，证明，则，证明得出，进而根据，得出即可求解． 【详解】（1）证明：连接交于点， 四边形是菱形， ，， ， 延长、交于点，平分交于点， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． （3）解：设交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 18．(1)见详解 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明； （2）根据题意可证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）延长相交于点G，可证明，则，根据已知条件和（2）中结论，表示出各线段长度，证明后，利用相似三角形性质列比例式求解即可 （4）延长交于点H，可证，可求出长度，利用，，由对应线段成比例可求得线段长． 【详解】（1）证明：，，， ， 四边形是矩形． 是平分线上一点， ， 四边形是正方形； （2）由（1）知四边形是正方形， ，． ， ， ， 又，， ， ， ； （3）如图1，延长相交于点G， ， 设，则， 由（2）知， ， ． ，， ， ． 四边形是正方形， ， ， ， ； （4）如图2，延长交于点H， 由（1）知四边形是正方形． ，，． ， ． 又，， ， ， ． ， ，． ， ， ，即， ． ， ， ， ． 又， ． 19．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出进而得出； （2）①设，过点作于点F，利用等腰三角形的性质与同弧所对圆周角相等可得：，，，再利用三角形的内角和定理即可求证； ②设，，则，由此可得，由（1）可知，设相似比为，设，，则，由相似三角形的性质可得：，可解得，在和中，利用勾股定理可得，则，联立方程解出，在中，设，由得：，由勾股定理可得 ，由此即可求解出的值． 【详解】（1）证明：， ， 又， ； （2）①证明：设，过点作于点F， ， ，且平分，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； ②解：当时，设，， 在等腰中，，， ， 设，，则， 由可得：， ， 在和中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， 联立 解得：，， ， ， 在中，设，由得：， 在中，，即， ， ， ， ． 20．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图—位似变换、位似图形的性质，熟练掌握位似图形的作法是解答本题的关键． （1）根据位似变换的知识作图即可； （2）根据（1）中的图形，即可得出的坐标； （3）位似变换后的内任意一点根据相似比，横纵坐标各扩大3倍． 【详解】（1）如图所示： （2）解：由图可知，的坐标为． 故答案为：． （3）解：相似比为， 位似变换后的内任意一点的横纵坐标各扩大3倍， 是位似变换后对应点坐标为 $$