九年级上册第4章 相似三角形 质量评价作业-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书课件PPT（浙教版）

[时间：120分钟　分值：120分]　　　　　　 第4章质量评价作业 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．已知 的值是(　 　) A． B．5 C．6 D．7 22 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 2．若两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们周长的比为(　 　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 22 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 3．如图，AB∥CD∥EF，AD∶DF＝3∶1，BE＝12，那么CE的长为(　 　) A．3 B．4 C．5 D．6 22 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 4．如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有(　 　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 22 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 5．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC边上的点，且满足 .根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连结PQ，则PQ∥BC. 淇淇说：连结PQ，△AQP∽△ABC. 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是(　 　) A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 22 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 6．下列命题中，真命题是(　 　) A．一条线段上只有一个黄金分割点 B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似 C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 D．若2x＝3y，则 22 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积比等于(　 　) 22 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝8，在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于(　 　) 22 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 9．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36 cm2，边BC＝12 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为(　 　) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．3 cm 22 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 10．如图，这是一张矩形纸片ABCD，M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF.若MF＝AB＝1，则AC的值是(　 　) 22 C 【解析】 连结DM，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°. ∵M是AC的中点，∴DM＝AM＝CM， ∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD. ∵DC，DF关于DE对称，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF. ∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC， ∴MF＝FD，∴∠FMD＝∠FDM. ∵∠DFC＝∠FMD＋∠FDM， ∴∠DFC＝2∠FMD. ∵∠DMC＝∠FAD＋∠ADM， ∴∠DMC＝2∠FAD. 设∠FAD＝α°，则∠DFC＝4α°， ∴∠MCD＝∠MDC＝4α°. ∵∠DMC＋∠MCD＋∠MDC＝180°， ∴2α＋4α＋4α＝180，∴α＝18，∴∠DMC＝36°， ∴∠MDC＝∠MCD＝∠DFC＝72°， ∴△CDF∽△CMD，∴CD2＝CF·CM. 设FC＝x，则1＝x·(x＋1)， ∴x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，d＝6 cm，则c＝________． 22 9 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 12．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是________________________________________________ ____________． 22 ∠C＝∠E(或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 13．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是_________． 22 4∶9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 14．如图，点G是△ABC的重心，GH∥AC，交边BC于点H，如果GH＝2，那么AC＝____． 22 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 15．在《数书九章》中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F处远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度． 根据以上信息，塔的高度为_______米． 22 18.2 【解析】 过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H， 由题意得，FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米， ∴∠DGF＝∠BHF＝90°. ∵CD＝7米， ∴DG＝CD－CG＝7－1.4＝5.6(米). ∵∠DFG＝∠BFH， ∴△FDG∽△FBH， ∴ ， ∴ ， ∴BH＝16.8， ∴AB＝BH＋AH＝16.8＋1.4＝18.2(米)， ∴塔的高度为18.2米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 16．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连结OE.有下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC∶BD＝ ∶7；④FB2＝OF · DF.其中正确的结论有___________．(填写所有正确结论的序号) 22 ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 三、解答题(共72分) 17．(6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.试判断线段AD，BE，AC，BC是否成比例，并说明理由． 解：线段AD，BE，AC，BC成比例．理由如下： ∵△ABC的面积＝ BC·AD＝ AC·BE， ∴ ，即AD∶BE＝AC∶BC， 所以线段AD，BE，AC，BC成比例． 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 18．(6分)如图，已知AD∥BE∥CF.它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F. (1)如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长． (2)如果AB∶AC＝2∶5，EF＝9， 线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值． 22 解：(1)∵AD∥BE∥CF， ∴ ， 解得EF＝4. (2)∵AD∥BE∥CF， ∴ ， 解得DF＝15， ∴DE＝DF－EF＝15－9＝6， ∴x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 19．(8分)某湖畔书店由水下和水上两个部分组成．阳阳想要测出水上部分的高度，他在书店水上部分的底端B的同水平面C处放置了一面镜子，当他站在离镜子1.35 m的E处时，看到书房顶端A在镜子中的像与标记C重合．已知B，C，E在同一直线上，阳阳的眼睛离地面的高度DE＝1.5 m，BC＝14.4 m，求书店水上部分AB的高度． 22 26 解：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠ABE＝∠CED＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△DEC， ∴ ， ∴ ， ∴AB＝16， 故书店水上部分AB的高度为16 m． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 20．(8分)如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上． (1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由． (2)还能在网格上画出与△ABC相似的三角形吗？还能画出几种大小不同的？试着在备用图上画出来．(三个顶点都在格点上) 22 解 ∴△ABC∽△DEF. (2)如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 21．(10分)如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°. (1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连结CD.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比． 22 解：(1)如图所示． (2)如图，连结OD，设⊙O的半径为r， 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE∽△DCE. ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴AB＝ AC＝r. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45°. 又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ODC＝45°， ∴∠DOC＝90°. ∵在Rt△ODC中，DC＝ r， ∴ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22．(10分)阅读下面的材料： 如图1，在线段AB上找一点C(AC＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称C为线段AB的黄金分割点，这时比值为 ≈0.618，人们把 称为黄金分割数．黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数． 我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上，点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF＝ OE，连结OF，以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：__________． (2)求点P在数轴上表示的数，并写出 的值． 解：(1)EF＝FH，OH＝OP (2)∵EF⊥OE， ∴∠FEO＝90°. ∵OE＝2，EF＝ OE， ∴EF＝ OE＝1， ∴OF＝ ， 由作图得，EF＝FH＝1，OH＝OP， ∴OH＝OP＝OF－FH＝ －1， ∴PE＝OE－OP＝2－( －1)＝3－ ， ∴ ， ∴点P在数轴上表示的数为 －1， . 23．(12分)如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在CA上(不与A，C重合)，DE与AB相交于点F. (1)求证：△BCD∽△DAF. (2)若BC＝2，设CD＝x，AF＝y. ①求y关于x的函数表达式及自变量的取值范围． ②当AF最大时，判断△ADF的形状． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)证明：∵△ABC与△BDE都是等边三角形， ∴∠A＝∠C＝∠BDE＝60°. ∵∠ADF＋∠BDE＝∠C＋∠DBC， ∴∠ADF＝∠DBC， ∴△BCD∽△DAF. (2)①∵△BCD∽△DAF， ∴ . ∵BC＝2，设CD＝x，AF＝y， ∴ ， ∴y＝－ x2＋x(0＜x＜2). ②△ADF为直角三角形，理由如下： 由①可得y＝－ x2＋x＝－ (x－1)2＋ ， ∴当x＝1时，y有最大值 ，即当AF最大时，CD＝1， ∴CD＝AD＝ AC. ∵△ABC是等边三角形， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°. ∵∠BDE＝60°， ∴∠ADF＝30°. ∵∠A＝60°， ∴∠AFD＝90°，即DF⊥AF， ∴△ADF为直角三角形． 24．(12分)在ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B. (1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． (3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF的面积等于△ABC面积的 时，求线段EF的长 解： (1)与△ADE相似的三角形有△ABD，△ACD，△DCE. 证明：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD. 又∵∠MDN＝∠B， ∴△ADE∽△ABD. 同理可得，△ADE∽△ACD. ∵∠B＋∠BAD＝90°，∠ADE＋∠EDC＝90°， ∠B＝∠MDN， ∴∠BAD＝∠EDC. ∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE， ∴△ADE∽△DCE. (2)△BDF∽△CED∽△DEF， 证明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180°， ∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°， 又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE， 由AB＝AC，得∠B＝∠C， ∴△BDF∽△CED， ∴ . ∵BD＝CD， ∴ . 又∵∠C＝∠EDF， ∴△CED∽△DEF，∴△BDF∽△CED∽△DEF. (3)如图，连结AD，过点D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H. ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝ BC＝6. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2， ∴AD＝8， ∴S△ABC＝ BC · AD＝ ×12×8＝48， S△DEF＝ S△ABC＝ ×48＝12. 又∵ ADBD＝ ABDH， ∴DH＝ . ∵△BDF∽△DEF， ∴∠DFB＝∠EFD. ∵DG⊥EF，DH⊥BF， ∴DH＝DG＝ . ∵S△DEF＝ ×EF×DG＝12， ∴EF＝ ＝5.． · 本课结束！ ＝5，则 ＝ ＝ A． B． C． D． A．或 B．10或 C．或10 D．5或 A．1　 　B． 　　C．＋1　 　D．－1 ，∴CM＝，AC＝＋1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝，即＝ ＝，即＝ ＝＝3 ＝ ＝ ：(1)DE＝＝，DF＝＝，EF＝5， AB＝，AC＝2，CB＝＝， ∴＝＝，＝，＝＝， ∴＝＝＝， ＝ ＝＝＝ ＝＝ ＝＝＝ 的值为 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ $$