专题 4.3 相似三角形与两个三角形相似的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲练（浙教版）

专题 4.3 相似三角形与两个三角形相似的判定 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】相似三角形的定义 1 【知识点二】相似三角形的性质 2 【知识点三】判定三角形的预备定理 2 【知识点四】三角形相似的判定定理（1） 2 【知识点五】三角形相似的判定定理（2） 2 【知识点六】三角形相似的判定定理（3） 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】利用三角形相似的预备定理进行证明 2 【★题型2】利用三角形相似的判定定理（1）进行证明 3 【★题型3】利用三角形相似的判定定理（2）进行证明 4 【★题型4】利用三角形相似的判定定理（3）进行证明 5 （二）培优篇 6 【★★题型5】选择或补充条件使得两三角形相似 6 【★★题型6】相似三角形的综合证明 6 二．同步练习 7 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 7 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】相似三角形的定义 一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比. 相似用符号“∽”表示，读做“相似于”. 【知识点二】相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 【知识点三】判定三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 【知识点四】三角形相似的判定定理（1） 有两个角对应相等的两个三角形相似. 【知识点五】三角形相似的判定定理（2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 【知识点六】三角形相似的判定定理（3） 三边对应成比例的两个三角形相似. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】利用三角形相似的预备定理进行证明 【例题1】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【小结归纳】这三道题均围绕相似三角形的预备定理展开考查，是抓住 “平行线” 这一关键条件，利用平行线得到的同位角相等，结合相似三角形的判定依据完成证明或相似三角形的判断；同时变式题还结合了三角形中位线定理，体现了相似三角形预备定理与中位线性质的关联应用，解题时需准确识别平行线对应的相似三角形，避免遗漏或误判相似关系。 【★题型2】利用三角形相似的判定定理（1）进行证明 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【小结归纳】 利用“两角分别相等的两个三角形相似”，结合题目中的平行四边形性质、等腰三角形性质、高的定义等条件，推导得出两组对应角相等，进而依据判定定理证明或判断三角形相似；解题时需注意挖掘图形中的隐含相等角，准确识别满足 “两角相等” 条件的三角形组合。 【★题型3】利用三角形相似的判定定理（2）进行证明 【例题3】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·月考）在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【小结归纳】 此类题核心是先确定两组对应边的比例关系，再验证这两组对应边的夹角是否相等，同时要注意“夹角”的关键性 —— 必须是成比例两边的夹角，而非其他角；部分题目还需分情况讨论对应边的比例关系，避免因对应关系不明确导致漏解，解题时需结合已知条件准确推导边的比例和角的相等关系，严格遵循判定定理完成证明或求解。 【★题型4】利用三角形相似的判定定理（3）进行证明 【例题4】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·月考）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【小结归纳】 此类题型围绕“三边对应成比例的两个三角形相似”展开考查，解题核心是利用勾股定理或网格特点计算出三角形的各边长，再逐一计算三组对应边的比值，若三组比值均相等，则可判定两个三角形相似；解题时需注意准确计算边长、规范比对对应边的比例关系，避免因对应边匹配错误导致判定失误。 （二）培优篇 【★★题型5】选择或补充条件使得两三角形相似 【例题5】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是 （填序号）． 【★★题型6】相似三角形的综合证明 【例题6】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 【变式2】如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． （1）求证：； （2）若，矩形的周长为48，求的长． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽·期中）下列各组图形不一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形 C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形 2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）1．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）要使，需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，点D在上，的延长线交的外接圆于点E．图中共有a对相似三角形，则a的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，添加一个条件： （写出一个即可）后，可使． 10．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与 （选填“相似”或“不相似”）． 12．（2023·吉林长春·二模）如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为 ． 三、解答题 13．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 14．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，求证：． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图． （1）判断与是否相似，并说明理由． （2）若，求的度数． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（    ） A．3 种 B．2种 C．1种 D．全部错误 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有 对． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 10．（24-25九年级下·江西赣州·月考）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 14．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 16．（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 相似三角形与两个三角形相似的判定 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】相似三角形的定义 1 【知识点二】相似三角形的性质 2 【知识点三】判定三角形的预备定理 2 【知识点四】三角形相似的判定定理（1） 2 【知识点五】三角形相似的判定定理（2） 2 【知识点六】三角形相似的判定定理（3） 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】利用三角形相似的预备定理进行证明 2 【★题型2】利用三角形相似的判定定理（1）进行证明 4 【★题型3】利用三角形相似的判定定理（2）进行证明 7 【★题型4】利用三角形相似的判定定理（3）进行证明 9 （二）培优篇 11 【★★题型5】选择或补充条件使得两三角形相似 11 【★★题型6】相似三角形的综合证明 13 二．同步练习​ 17 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 17 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 27 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】相似三角形的定义 一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比. 相似用符号“∽”表示，读做“相似于”. 【知识点二】相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 【知识点三】判定三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 【知识点四】三角形相似的判定定理（1） 有两个角对应相等的两个三角形相似. 【知识点五】三角形相似的判定定理（2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 【知识点六】三角形相似的判定定理（3） 三边对应成比例的两个三角形相似. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】利用三角形相似的预备定理进行证明 【例题1】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 解：证明：， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【小结归纳】这三道题均围绕相似三角形的预备定理展开考查，是抓住 “平行线” 这一关键条件，利用平行线得到的同位角相等，结合相似三角形的判定依据完成证明或相似三角形的判断；同时变式题还结合了三角形中位线定理，体现了相似三角形预备定理与中位线性质的关联应用，解题时需准确识别平行线对应的相似三角形，避免遗漏或误判相似关系。 【★题型2】利用三角形相似的判定定理（1）进行证明 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：． 【答案】详见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质结合等角的补角相等，找出，． 由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出、，利用平行线的性质可得出，进而即可证出． 解：证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【变式3】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 解：证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小结归纳】 利用“两角分别相等的两个三角形相似”，结合题目中的平行四边形性质、等腰三角形性质、高的定义等条件，推导得出两组对应角相等，进而依据判定定理证明或判断三角形相似；解题时需注意挖掘图形中的隐含相等角，准确识别满足 “两角相等” 条件的三角形组合。 【★题型3】利用三角形相似的判定定理（2）进行证明 【例题3】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【答案】证明见分析，相似比为 【分析】本题考查相似三角形的判定，相似比，先证明，然后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 解：证明：∵，，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·月考）在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】见分析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 解：证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【小结归纳】 此类题核心是先确定两组对应边的比例关系，再验证这两组对应边的夹角是否相等，同时要注意“夹角”的关键性 —— 必须是成比例两边的夹角，而非其他角；部分题目还需分情况讨论对应边的比例关系，避免因对应关系不明确导致漏解，解题时需结合已知条件准确推导边的比例和角的相等关系，严格遵循判定定理完成证明或求解。 【★题型4】利用三角形相似的判定定理（3）进行证明 【例题4】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 解：证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·月考）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 【小结归纳】 此类题型围绕“三边对应成比例的两个三角形相似”展开考查，解题核心是利用勾股定理或网格特点计算出三角形的各边长，再逐一计算三组对应边的比值，若三组比值均相等，则可判定两个三角形相似；解题时需注意准确计算边长、规范比对对应边的比例关系，避免因对应边匹配错误导致判定失误。 （二）培优篇 【★★题型5】选择或补充条件使得两三角形相似 【例题5】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）． 已知是与的公共角，结合各选项条件，判断是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的判定条件． 解：∵是与的公共角， A、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； B、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； C、，变形为，但不是与、与的夹角，不满足判定条件，不能判定相似，此选项符合题意； D、，变形为，结合，两边成比例且夹角相等，可判定，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法逐项分析即可． 解：①， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴， ∵， ∴， ④条件不符合，不能判定， 故答案为：④． 【★★题型6】相似三角形的综合证明 【例题6】如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 解：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 【变式2】如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． （1）求证：； （2）若，矩形的周长为48，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）19.5 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出，即可得出． 解：（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：设，则， 矩形的周长为48， ， 解得：， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽·期中）下列各组图形不一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形 C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据对应角相等判断各组图形是否一定相似． 解：A、等腰直角三角形角均为、、，对应角相等，一定相似； B、含有内角的等腰三角形中，必为顶角，底角均为，对应角相等，一定相似； C、含有内角的等腰三角形中，可能为顶角或底角，导致角组合可能不同（如、、或、、），对应角不一定相等，不一定相似； D、含有内角的直角三角形，角均为、、，对应角相等，一定相似， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）1．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 解：根据题意得：，，， ∴ A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； B、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：B． 5．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）要使，需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．根据相似三角形的性质，因为是公共角，需要，继而选出答案． 解：要使，且， 需：，即， 故A、B、C错误，D正确． 故选：D． 6．（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，点D在上，的延长线交的外接圆于点E．图中共有a对相似三角形，则a的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质．根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 同理； 综上，共有6对相似三角形，即， 故选：D． 二、填空题 7．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键． 根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可． 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：6． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，添加一个条件： （写出一个即可）后，可使． 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 10．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与 （选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．先求得，根据，推出． 解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：相似． 12．（2023·吉林长春·二模）如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到解题即可． 解：∵E为的中点， ∴ ∴ 连接， 则是的中位线， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 三、解答题 13．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 14．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查平行线的基本性质以及相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 根据平行线的性质得到，，由此即可得到结论． 解：证明：∵， ∴，， ∴． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图． （1）判断与是否相似，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1）相似．理由见分析；（2） 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 解：（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 解：（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与勾股定理，掌握好利用三边长判定相似是解题关键． 利用勾股定理算出各个三角形的三条边的长度，三边成比例的三角形就是所求的相似三角形． 解：由勾股定理可得，题干中的三角形的三边为，，4，其三边比为，化简得， 对于选项A，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项B，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项C，其三边比为，化简得，，与题干成比例，故相似； 对于选项D，其三边比为，与题干不成比例，故不相似． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（    ） A．3 种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， 证明，得到，即可证明﹒ 解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴﹒ 故选：A 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 解：，， ， 故①符合题意； ，， ， 故②符合题意； 由③不能判定， ，， ， 故④符合题意； 其中能够判定的条件有3个， 故选：C． 二、填空题 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有 对． 【答案】3 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟知两角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理，即可得到存在的相似三角形有哪些． 解：， ． 又 ． 同理可得， ∴共有对相似三角形． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 【答案】 【分析】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 10．（24-25九年级下·江西赣州·月考）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）图见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查尺规作图、三角形中位线以及平行四边形的判定，解题的关键是平行四边形的判定定理． （1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线即为的垂直平分线，交于点； （2）先由垂直平分线的性质F分别是的中点系，再根据三角形中位线得出，，进而证明四边形是平行四边形． 解：（1）解：为所作，如图， （2）证明：∵垂直平分， ， F是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可证，， ∴四边形为平行四边形． 14．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 解：（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 16．（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①；②见分析；（2）成立，证明见分析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 解：（1）解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $