12.1 函数 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件围绕“12.1 函数”展开，系统讲解函数概念、变量与常量及列表法、解析法、图象法三种表示法，通过气象探空气球、汽车制动距离等现实情境导入，从具体问题抽象数量关系，搭建“概念引入—表示法学习—实际应用”的递进式学习支架。 其亮点在于以现实情境为载体，融合抽象能力、几何直观与应用意识。如用电负荷曲线让学生从图象提取信息，培养数学眼光；例题归纳自变量取值范围方法，发展推理意识；实际应用分析体温变化等曲线，提升用数学语言表达现实问题的能力。学生能感受数学与生活联系，教师可直接用于情境教学，提高课堂效率。

12.1 函数 第12章 一次函数 12.1 第1课时 函数及其相关概念 随堂演练 课堂小结 获取新知 情景导入 例题讲解 情景导入 气象探空气球在探测高空气象要素方面发挥着不可或缺的作用，是气象科学家的得力助手. 获取新知 问题1 用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800 m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表： 时间 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … 当t=3min，h=1890m 当t=2min，h=1860m 当t=1min，h=1830m 当t=0min，h=1800m (1)这个问题中，涉及哪几个量？ (2)热气球上升3min和6min时到达的海拔高度分别是多少米？ 两个，分别是上升高度h与上升时间t 1890m，1980m 时间 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … (3)热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？ 30m 问题2 汽车在行驶过程中，制动后由于惯性仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h 之间有经验公式： (1)这个公式中涉及哪几个量？ s 、v (2)制动时，当车速是40km/h时，相应的制动距离是多少米？若车速是80km/h时呢？ 6.25m,25m (3)制动时，对于车速v的每一个值，相应的制动距离s的值都是唯一确定的吗？ 是的 问题3 S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如下图。 看图回答下列问题： 用电负荷y，时间t （1）这个问题中，涉及哪几个量？ （2）给出这天中的某一时刻，如4.5时，能找到这一时刻的用电负荷 是多少吗？你是怎么找到的？找到的值是唯一确定的吗？20时呢？ 能，通过找到与4.5h对应的图上的点，再向用电负荷对应，最终确定具体值.（如图） 找的值是唯一确定的，20h同理. （3）在这天中，对于时间t的每一个值，相应的用电负荷y的值都是唯一确定的吗？ 是的，每一个t，都相应唯一确定用电负荷y （4）在这一天中，用电负荷最高和最低各是多少？它们是在什么时刻到达的？ 13.5h达到最高，为18GW；4.5h达到最低，为10GW. 问题1中，热气球上升高度h是随时间t的变化而变化的，h与t可以取不同的数值，是变量； 平均每分钟上升高度为30m，这个量在运动过程中保持不变，是常量. 获取新知 你能指出问题2，3中的变量吗？ 变量 常量 问题2 问题3 速度V、路程S 用电负荷y、时间t 无 备注：通过研究实际问题，给出相关的概念，具体形象易理解。 获取新知 在上面三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，当给定其中一个变量（自变量）的值，相应地就确定了另一个变量（因变量）的值。 例如，问题1中，当 t＝1时，h＝1830；t＝6时，h＝1980. 问题2中，t＝4.5时，y＝10000；t＝20时，y＝15000. 问题3中，v＝40时，s≈6.3；v＝60时， s ≈ 14.1. 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量. 如果当x=a时，y=b, 则b叫作当自变量x取a时的函数值. 函数的概念: 概念认知 例1 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  一个x值有两个y 值与它对应 例题讲解 11 判断一个关系是否是函数关系的方法： 一看是否存在一个变化过程； 二看过程中是否存在两个变量； 三看对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应． 方法点拨 随堂演练 1．甲以每小时20千米的速度行驶时，他所走过的路程s和时间t之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是(　　) A．数20和s，t都是变量 B．数20和t都是变量 C．s和t都是变量 D．数20和s都是常量 C 2．图中反映的是骆驼的体温和时间的关系．在这一问题中，____________是________的函数． 骆驼的体温 时间 3．在下表中，设x表示乘公共汽车的站数，y表示应付的票价(元)． x(站) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(元) 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 根据此表，下列说法正确的是(　　) A．y是x的函数 B．y不是x的函数 C．x是y的函数 D．以上说法都不对 A 函数及其相关概念 变量和常量 函数 课堂小结 在一个变化过程中， 数值发生变化的量为变量， 数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 第12章 一次函数 12.1 第2课时 函数的表示法--列表法和解析法 随堂演练 课堂小结 获取新知 知识回顾 例题精讲 知识回顾 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 1. 什么是函数？ 2. 下列问题中的变量y是不是x的函数？ （1） y = 2x （4） y=x2+5 （2） y+2x=3 （3） 是 是 不是 是 不是 （5） |y|=x 获取新知 前面三个问题都是反映了两个变量之间的函数关系，可以看出，表示函数关系主要有三种方法：列表法，解析法，图像法. 本节课我们主要学习列表法和解析法. 列表法:通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法. 问题1中，就是通过列表法给出了热气球到达的海拔高度h与上升时间t之间的函数关系。 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … 解析法:用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）. 注意：在用关系式表示函数时，自变量的取值必须使函数表达式有意义. 问题2中，制动距离s和车速v的函数关系是用等式来表示的. 像这种用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的 数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）. 例1 求下列函数中自变量x的取值范围： (1) y = 2x+4； (2) y = - 2x2； (3) y = ； (4) y = . 分析:在(1)(2)中，x取任何实数时，2x+4与-2x2都有意义； 在(3) 中，当x =2时，没有意义； 在(4)中，当x<0 时， 没有意义. 解: (1) x为全体实数. (2) x为全体实数. (3)x ≠ 2. (4) x ≥3. 例题精讲 lenovo (l) - 通过例题讲解让学生明确每一种函数所对应的自变量的取值范围是什么.明确自变量的取值要有意义. 函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： ⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； ⑵函数关系式为分式形式：分母≠0； ⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0； ⑷函数关系式含0指数：底数≠0． 归纳总结 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果是实际问题，还必须使实际问题有意义.如函数中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆的面积S与其半径R的关系，那么自变量R的取值范围应该是R＞0. 例2 当x=3时，求下列函数的函数值： (1) y = 2x+4； (2) y = - 2x2 (3) y = ； (4) y = . 解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10； （2）当x=3时，y =－2x2=－2×32=－18； （3）当x=3时， （4）当x=3时， 如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. y =. 例3 一个游泳池内有水300 m³，现打开排水管以每小时25 m³的排水量排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3. （1）写出Q 与t之间的函数表达式； （2）写出自变量t的取值范围； 解：函数表达式为 Q=300-25t，即 Q=-25t+300. 游泳池中共有300 m³水，排水速度为25 m³/h，全部排完只需300÷25=12（h），故自变量t的取值范围是0≤t≤12. （3）开始排水5 h后，游泳池中还有多少水？ （4）当游泳池中还剩150 m³水时，已经排水多久？ 将t=5代入函数表达式,得Q=-5×25+300=175. 答：开始排水5 h后，游泳池中还有水175 m³. 当Q=150时，由150=-25t+300, 得t=6. 答：当游泳池中还剩水150 m³时，已经排水6h. 备注：通过实际问题让学生更加深刻的理解函数概念. 27 1.求下列函数中自变量x的取值范围： 随堂演练 x为全体实数 x≠4 x≥5 x<3 2．小颖现已存款200元，为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则今后存款总金额y(元)与时间x(月)之间的函数表达式是(　　) A．y＝10x B．y＝120x C．y＝200－10x D．y＝200＋10x D 3. 拖拉机开始工作时，油箱中有油30 L，每小时耗油5 L. (1)写出油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数表达式； (2)求出自变量t的取值范围； (3)拖拉机工作3 h后，剩余多少油？ 解：(1)Q＝30－5t. (2)由于油箱中有油30 L，每小时耗油5 L，拖拉机可以工作30÷5＝6(h)，所以自变量t的取值范围是0≤t≤6. (3)当t＝3时，Q＝30－5×3＝15. 即拖拉机工作3 h后，剩余油量为15 L. 课堂小结 函数的表示方法 表示函数关系的方法 列表法 解析法 图象法 确定自变量的取值范围的方法 自变量的值与函数值 使函数解析式有意义 符合实际意义 第12章 一次函数 12.1 第3课时 函数的表示法—图象法 课堂小结 随堂演练 获取新知 知识回顾 例题精讲 知识回顾 1.表示函数关系的方法：列表法、解析法、图象法； 2.确定自变量的取值范围的方法： (1)整式和奇次根式中，自变量的取值范围是全体实数； (2)偶次根式中，被开方式大于或等于0； (3)分式中，分母不能为0； (4)零指数幂、负整数指数幂中，底数不为0； (5)实际问题中，自变量除了满足解析式有意义外， 还要考虑使实际问题有意义． 获取新知 问题3中S市某天用电负荷y与时间t的函数关系很难用式子表示，但可用平面直角坐标系中的图形来表示. 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象. 用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫作图象法. 对于能用表达式表示的函数关系，有时也会通过画图象来表示，这样使函数关系更直观. 如何作函数的图呢？ 下面以作函数y=2x的图为例来说明. 对于自变量x的每一个值，可得出对应函数y的唯一确定的值. 列表如下： 任意一个有序实数对（x , y）与坐标平面内一点M（x , y）一一对应.因此，用表中给出的有序实数对可在平面直角坐标系中描出相应的点. -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 O -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 O -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 因为y=2x中的自变量x可以取一切实数，列表计算可以得到无数多个有序实数对，在坐标平面内可描出无数多个点，这些点组成了坐标系中的图形，如图. 由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行： 1.列表:在自变量与函数的一些对应值. 2.描点:以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点. 3.连线:按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来. 描出的点越多，所得的图像越准确.我们不能把所有点都描出， 因此用平滑曲线连接画出的点，从而得到表示这个函数关系的近似图像. lenovo (l) - 引导学生通过自主探究和合作交流的办法探究出函数图象的一般画法：列表、描点、连线. 例1 画出前面问题2中的函数 的图像. 解：（1）列表:因为v≥0,分别取v=0，10，20，30，40，求出它们对应的s值，列表如下: 例题讲解 v 0 10 20 30 40 ... s 0 ... （2）描点：如图，在坐标平面内描出 （0，0），（10，），（20，）， （30，）,（40，）等点. s/m 20 10 30 40 O 1 2 3 4 5 6 7 v/(km·h-1) （3）连线：将以上各点按照自变量v由小到大的顺序用平滑的曲线连接，就得到了的图象. 随堂演练 1．下列各点在函数y＝3x－4的图象上的是(　　) A．(－1，1) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2) 2．已知点A(2，3)在函数y＝ax＋1的图象上，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 B A 3．下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是(　　) D -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 O -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y （2）描点: 4. 画出函数y=-2x的图像（先列表，然后描点、连线） 解（1）列表: （3）连线: 5.画出函数y＝2x－1的图象，并判断点(1，1)，(－1，0)，(－2，3)，(2，3)是否在该函数图象上． 解：列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … 描点，并用平滑的曲线连接这些点，就得到函数y＝2x－1的图象． 点(1，1)，(2，3)在函数y＝2x－1的图象上， 点(－1，0)，(－2，3)不在函数y＝2x－1的图象上． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … 课堂小结 图像法 列表 描点 连线 第12章 一次函数 12.1 第4课时 函数图象在实际生活中的简单应用 课堂小结 随堂演练 获取新知 知识回顾 例题精讲 我们学习了函数图象的画法，你还记得有哪几个步骤吗? 1、列表：列表给出自变量与函数的一些对应值. 2、描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点. 3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 知识回顾 下图是记录某人在24 h内的体温变化情况的图象. 获取新知 如果给了你函数的图象，你能从图象中取信息吗？ 图中纵轴上0～35一段已省略 未知用户1 (未知用户1) - 图象可以非常直观、非常形象地表示出函数关系，利用函数图象上提供的信息我们可以方便地解决一些问题. (1) 图中有哪两个变化的量？ 哪个变量是自变量？ 哪个变量是因变量？ 图中有时间和体温这两个变化的量， 时间是自变量， 体温是因变量. (2) 在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在什么时刻达到的？ 在这天中此人的最高体温约是36.7℃，最低体温约是35.9℃，最高体温是在18时达到的，最低体温是在4时达到的. (3) 21时此人的体温是多少？ 21时此人的体温是36.5℃. (4) 这天体温达到36.2℃时是在什么时刻？ 这天体温达到36.2℃时是6时和23时. (5)4时到7时，此人体温是如何变化的？18时到24时，此人体温又是如何变化的？ 由图可知，在4时到7时，此人体温逐渐上升；在18时到24时，此人体温逐渐下降. 问题2：一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输，只行驶一个来回，途经丙港，下图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线. 注意：横坐标表示轮船行驶的时间，纵坐标表示轮船离开甲港的距离 (1) 观察曲线回答下列问题： ① 从甲港(O)出发到达丙港(A)，需多长时间？ 从甲港(O)出发到达丙港(A)需1个小时. ② 从丙港(A)到达乙港(C)，需多长时间？ 从丙港(A)到达乙港(C)，需2个小时. ③ 图中CD段表示该船在乙港停留多长时间？返回时，经多长时间到达丙港(B)? CD段表示船在乙港(C)停留了1个小时，返回时用4个小时到达丙港(B). ④ 从丙港(B)返回到出发点甲港(E)，需多长时间？ 从丙港(B)返回到出发点甲港(E)用了2个小时. (5) 轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快， 还是轮船返回的平均速度快呢？ 由图象可知从甲港到乙港用了3小时， 返回时用了10-4=6小时， 所以轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快. 例题讲解 例：如图是丽丽上学骑车途中速度v(千米/时)与时间t(分)的关系图象. (1)她上学共用了多长时间? 最大速度是多少? [解析] 看函数图象首先要清楚横轴表示时间,纵轴表示速度, 然后去观察它的变化规律. 解：(1)从出发到结束一共用了40分钟,故她上学共用了40分钟,最大速度是20千米/时. (2)从图象中可以看出:开始出发的前10分钟,表示速度的线是上升的,所以这段时间是加速运动. 从第10分钟至第30分钟,表示速度的线是水平的,所以这段时间是匀速运动. 最后10分钟,表示速度的线是下降的,所以这段时间是减速运动,直到速度为0. (2)开始出发的前10分钟她的速度有什么变化?哪段时间匀速行驶?最后10分钟呢? 1.一辆客车从霍山开往合肥,设客车出发t h后与合肥的距离为s km,则下列图象中能大致反映s与t之间的函数关系的是( ) B 随堂演练 2. 海水受日、月引力影响而产生的涨落现象叫做潮汐，发生在早晨的叫潮，发生在黄昏的叫汐.下图是某海滨港口在某天的水位变化曲线. (1) 在这一问题中，有哪几个变量？其中自变量是什么？因变量是什么？ 在这一问题中，有时间和水深2个变量.其中自变量是时间，因变量是水深. (2) 大约在什么时间水最深，深度约为多少？ 大约在3时和15时水最深，深度约为13米. (3) 大约在什么时间水最浅，深度约为多少？ 大约在9时和21时水最浅，深度约为7米. (4)从图中，你还能看出港口水位变化的其他情况吗？ 港口水位 : 0~3时在持续上涨， 3~9时在持续下降， 9~15时又在持续上涨， 15~21时又在持续下降， 21~24时又在持续上涨 . 3.如图是小明放学骑自行车回家的折线图,其中t表示时间,s表示离开学校的路程.请根据图象回答下面的问题: (1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系?路程s可以看成t的函数吗? 解：(1)这个折线图反映了s,t两个变量之间的关系, 路程s可以看成t的函数. (2)求当t=5时的函数值; (3)当10≤t≤15时,对应的函数值是多少? 并说明它的实际意义; (4)学校离小明家有多远?小明放学 骑自行车回家共用了几分钟? (2)当t=5时,函数值为1. (3)当10≤t≤15时,对应的函数值始终为2,它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟. (4)学校离小明家有3.5千米,小明放学骑自行车回家共用了20分钟. 课堂小结 弄清“三线”含义: 抓住特殊点:起点、拐点、终点所表示的实际意义. 函数图象在实际生活中的简单应用 明确横轴和纵轴所表示的实际意义. $