精品解析：广东省惠州市2025-2026学年上学期九年级第二次学情诊断 数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级第二次学情诊断 数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 解一元二次方程，配方后正确是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 若关于x一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】 A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 9. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 二次函数． 的图象经过点，下列四个结论中∶①抛物线开口向上； ②当时， y取最大值；③当时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根∶ ④直线经过点A， C， 当 时，的取值范围是． 正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是_______________ 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 13. 如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________． 14. 如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则_______． 15. 已知正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图的面积为______． 三、解答题 一（每题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． （1）作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； （2）求的面积． 18. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D，若，，求的半径． 四、解答题 二（每题9分，共27分） 19. 如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． （1）求抛物线的解析式． （2）若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 20. 如图，为直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 21. 第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． （1）写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题 三（22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积． 23. 【问题初探】在数学活动课上，某智慧小组受圆周角定理的推论“直径所对的圆周角是”的启发，研制了图1所示的“直角仪”．“直角仪”由木条和木条组成，与的中点O相连，且可绕点O转动．在没有直角尺情况下，可借助这个“直角仪”画出直角． 【问题解决】（1）如图2，小明同学把“直角仪”的落在的边上， ，转动让点C落在上，连接，则__________． 【拓展提高】（2）如图3，正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D出发，运动到点C，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级第二次学情诊断 数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 3. 把抛物线：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换．解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， 四边形是的内接四边形， ， 故选：B． 5. 如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解：是的直径， ，即； 又， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题关键是熟练掌握相关知识．根据关于的一元二次方程有实数根可知判别式且，列出关于的不等式组，进行解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 由①得：， ， ， 由②得：， 且， 故选：C． 7. 如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：C． 8. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】 A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 故选D． 9. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为(cm)，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为(cm)， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故选B． 10. 如图， 二次函数． 的图象经过点，下列四个结论中∶①抛物线开口向上； ②当时， y取最大值；③当时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根∶ ④直线经过点A， C， 当 时，的取值范围是． 正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系．依据题意，结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】①由图象可知，抛物线开口向下，所以①错误； ②若当时，取最大值，则由于点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点和点纵坐标显然不相等，所以②错误； ③当时，而点不是抛物线的顶点，则当时，抛物线与直线有两个交点，即于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，所以③是正确的； ④因直线经过点，当 时，的取值范围是，从而④正确； ∴正确的有个， 故选: B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是_______________ 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标. 详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质.转化成顶点式是解题的关键. 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到，，再代入计算乘方即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， ， 故答案为：1． 13. 如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 14. 如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 点为劣弧的中点，， ， 为的直径， ， ， 故答案为：． 15. 已知正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图的面积为______． 【答案】πa2-a2． 【解析】 【分析】仔细分析图形可得阴影部分的面积等于2个以为直径的圆的面积的和再减去1个以为边长的正方形的面积. 【详解】解:由图可得阴影部分的面积 故答案为: πa2-a2． 【点睛】本题考查圆、正方形的面积公式，解题的关键是读懂题意及图形，找到阴影部分的面积等于2个以为直径的圆的面积的和再减去1个以为边长的正方形的面积的规律. 三、解答题 一（每题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 根据公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ． 17. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． （1）作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； （2）求的面积． 【答案】（1）①见解析，②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握图形的旋转性质，三角形外接圆性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据三角形外接圆性质作图即可； （2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可． 【小问1详解】 ①将点A、B绕点C逆时针旋转得到， 连接，得到 如图所示： ②分别取边垂直平分线上的格点， 作边的垂直平分线相交于点O， 以O为圆心长为半径画圆， 得到的外接圆，如图所示： 【小问2详解】 连接， ∴的面积为． 18. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D，若，，求的半径． 【答案】的半径为 【解析】 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可． 【详解】解：如图，连接， ∵C是的中点， ∴D是弦的中点， ∴，， ∵， 在中， ，即， ∴． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答． 四、解答题 二（每题9分，共27分） 19. 如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． （1）求抛物线的解析式． （2）若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】（1） （2）水面宽度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； 【小问2详解】 解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 20. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 21. 第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． （1）写出关于函数表达式，并写出的取值范围； （2）设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1），且为整数； （2）当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题列函数表达式并利用函数性质求解是解题的关键． （1）解题思路：根据“销售量原销售量降价增加的数量”列出函数表达式，结合“定价不低于进价”确定的范围； （2）根据“利润=（售价进价降价）销售量”列出利润函数，结合二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵ 定价不低于进价，即， ∴ ， 又∵ 为非负整数， ∴ 且为整数； 【小问2详解】 解：； ， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112，此时定价为． ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 五、解答题 三（22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积． 【答案】（1）y=x2+x﹣（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可； 【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣3，0），（1，0），（0，）代入抛物线解析式得， 解得：a=，b=1，c=﹣ ∴抛物线解析式：y=x2+x﹣ （2）存在． ∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2 ∴P点坐标为（﹣1，﹣2） ∵△ABP的面积等于△ABE的面积， ∴点E到AB的距离等于2， 设E（a，2）， ∴a2+a﹣=2 解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2 ∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2） （3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0）， ∴AB=4 若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴AB∥PF，AB=PF=4 ∵点P坐标（﹣1，﹣2） ∴点F坐标（3，﹣2），（﹣5，﹣2） ∴平行四边形的面积=4×2=8 若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴AB与PF互相平分 设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2） ∴ ， ∴x=﹣1，y=2 ∴点F（﹣1，2） ∴平行四边形的面积=×4×4=8 综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键. 23. 【问题初探】在数学活动课上，某智慧小组受圆周角定理的推论“直径所对的圆周角是”的启发，研制了图1所示的“直角仪”．“直角仪”由木条和木条组成，与的中点O相连，且可绕点O转动．在没有直角尺情况下，可借助这个“直角仪”画出直角． 【问题解决】（1）如图2，小明同学把“直角仪”的落在的边上， ，转动让点C落在上，连接，则__________． 【拓展提高】（2）如图3，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D出发，运动到点C，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）；（2）①，，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）先由题意得到，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理求得，则，进而可得结论； （2）①由“”可证，可得，，由余角的性质可证；②由题意可得点的运动路径是以为直径的圆的，由圆周角定理和弧长公式可求解． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）①结论：，， 理由：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图3，连接，交于点，则， 点在运动中保持， 点的运动路径是以为直径的圆的， ∵所对的圆心角， 点的运动路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，弧长公式、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $