精品解析：江苏省盐城市集团校2025-2026学年高一上学期12月期中调研数学试题

2025~2026学年第一学期期中调研 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，若幂函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则当m取得最小值时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为2 11. 已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程有5个不相等的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 14. 已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤. 15. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值． 16. 已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 设函数，． （1）求不等式的解集； （2）对于，，使得不等式成立，求实数t的取值范围． 18. 已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． （1）求的值，并证明是奇函数； （2）证明：是上的减函数； （3）解关于的不等式． 19. 已知函数是偶函数，是奇函数，且． （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形； （3）当，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中调研 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得，所以. 由解得，所以， 所以. 故选：B 2. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】当时，成立. 当时，或 所以由不能得出成立 所以是等式成立的充分不必要条件 故选：A 3. 已知，若幂函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析集合中每个对应的幂函数的定义域及与的关系，筛选出满足偶函数条件的. 【详解】当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 当时，幂函数为，满足，是奇函数，非偶函数. 当时，幂函数为，定义域为，且，是偶函数. 当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 故选：C 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 函数在单调递增，利用零点存在定理即可判断零点所在的区间. 【详解】在单调递增， ，， 因为 由零点存在定理可知函数的零点所在区间为， 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过根式形式确定的范围大于2，再通过对数单调性确定小于2，得到；再将化为同底对数，通过真数大小比较得，最终确定三者顺序. 【详解】，因，故，即. ，因，故，即，故. ，因，故，即. 综上，. 故选：B. 7. 已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将假命题转化为其否定命题（全称命题）为真命题，通过分离变量结合基本不等式求最值，确定的取值范围. 【详解】命题为假命题，则其否定“，”为真命题. 对，将不等式变形为. 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， 故. 因此. 8. 已知函数在上单调递减，则当m取得最小值时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数的单调性求出的范围，再利用对数函数单调性求解不等式. 【详解】因函数在上单调递减， 则可得， 解得，，， 不等式， 即或， 解得或，即， 所以所求不等式的解集为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，其中，且，， A选项，，A选项正确. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，以及基本不等式的运用方法，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】对于A，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A错误； 对于B，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，可知， 由，得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 可知，所以C正确； 对于D，可知，则， 当且仅当时，即时取等号，因为，所以等号不成立，所以D错误； 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程有5个不相等的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于方程的实根，本质是函数与图象的公共点横坐标，因此只需分析这两个函数图象的交点数量；先分析两函数的图象特征（利用已知条件），再分区间逐一分析交点（结合图象形态）即可. 【详解】对于选项A：由的图象关于点对称，可知的图象关于原点对称，即是奇函数，A正确； 对于选项B：由，得，故周期为4， 若关于对称，则， 但由，得，（奇函数）， 显然（除非），故B错误； 对于选项C：由，则，故周期为4，C正确； 对于选项D：方程的实根个数，等价于与图象的交点个数， 当时，；结合奇函数性质与周期性，可画出在上的图象， 在时，；时，， 而的值域为，因此只需考虑的区间，逐一分析区间内交点： ：与无交点； ：结合周期性与奇偶性，图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：有交点； 因此总计5个不相等的实根，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂及对数运算性质计算得解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由二次不等式的解集确定的符号，再用韦达定理表示出与的关系，代入目标不等式后，通过变形、等价转化求解分式不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，知，且是方程的根. 由韦达定理得：；. 将、代入不等式，得：, 提取得：因，两边除以：, 移项通分：, 等价于且，即，解得. 故答案为： 14. 已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问分区间去绝对值，转化为二次函数后，结合对称轴与开口方向确定单调递减区间；第二问分与讨论，利用函数单调性与判别式分析不等式成立条件，调整的取值要求以适配的限定. 【详解】（1）当时，. 时，，在上单调递增； 时，，其对称轴为，开口向下， 故函数在上单调递减，在上单调递增， （2）当时，即. 若，因，故，不等式化为. 令，其对称轴为，故在上单调递增， 需， 即，解得. 若，则当时（此时满足），，不满足在上恒成立，故不符合题意， 故的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤. 15. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，先求出点到原点的距离，再得到和的值，进而计算. （2）借助同角三角函数的基本关系，将转化为含的表达式，代入的值求解. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以点到坐标原点的距离， 所以， 所以． （2）由， 因为， 所以． 16. 已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式的性质，以及函数定义域和值域的求法，列出不等式组，求出集合，，再求出集合交集即可. （2）根据集合描述法的概念，和根式的性质，求出函数定义域，再根据集合交集运算结果，判断集合之间的关系，进而列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意得，解得，即， 由，因为，所以， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 由，得，解得或， 因为，所以， 当时，的解集为，不符合题意， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 设函数，． （1）求不等式的解集； （2）对于，，使得不等式成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元将转化为关于的二次不等式，求解后转化为指数不等式，得到解集. （2）先求在的最大值，再将整理为关于的二次函数，求其在的最大值，根据“”解出的范围. 【小问1详解】 不等式，即为， 即， 所以，所以， 解得， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 由（1）知，，即． 因为，所以， 所以当，即时，的最大值为． 又，即， 所以． 因为，所以， 所以当，即时，的最大值为． 因为对于，，使得不等式， 即在上的最大值不大于在上的最大值, 即， 所以，即． 18. 已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． （1）求的值，并证明是奇函数； （2）证明：是上的减函数； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） 令，得，所以． 令，得， 所以， 所以， 所以是奇函数． （2） 设，且． 由 ， 因为，所以， 因为时，， 所以，即， 即，所以， 所以是上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令代入已知等式求，再令结合的结果，变形验证满足奇函数的定义. （2）设，将用的公式变形，结合时的条件，判断差值的正负，证明的减函数性质. （3）利用的公式对不等式变形，结合求出，将不等式转化为，再借助减函数的单调性转化为一元二次不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 得， 即， 即， 即 即． 因为，所以， 又，所以， 所以． 由（2）知，是上的减函数， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为． 19. 已知函数是偶函数，是奇函数，且． （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形； （3）当，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）4 （2） ，即． 设，则其定义域为． 由， 所以是偶函数． 因为是偶函数，所以是偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称， 所以曲线是轴对称图形． （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，结合平方差公式，将转化为，代入已知式子计算. （2）将变形为的形式，证明是偶函数（利用的偶性及构造函数的偶性），结合函数图象的平移，得出的图象关于直线对称. （3）代入、的表达式，换元令，将方程转化为关于的函数，分析的范围与函数的单调性，根据零点唯一的条件确定的取值范围. 【小问1详解】 由，得① 因为函数是偶函数，是奇函数， 则② 联立①②，解得，． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，，， 因为函数有且只有一个零点， 所以方程在上有且只有一个实数根． 即方程在上有且只有一个实数根． 令，则， 因为单调递增， 所以当时，， 所以问题转化为方程有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以或， 所以或 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $