2026年中考数学一轮复习训练：专题11 图形的相似

专题11 图形的相似 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是(    ) A. B. C. D. 2.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙，动力臂，阻力臂，，则AC的长是(    ) A. 80cm B. 60cm C. 50cm D. 40cm 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点若，则图中一定相似的三角形是    A. B. C. D. 4.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点网格线的交点上，AC与BD相交于点O，则AO的长为    A. B. C. D. 5.如图，DE是的中位线，点F在DB上，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点若，则线段CM的长为      A. B. 7 C. D. 8 6.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为      A. B. C. D. 7.如图，在中，点D，E分别在边BC，AC上，，F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点D，则的值为(    )   A. B. C. D. 8.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且，OC、EF交于点给出下列结论：①≌；②∽；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的④其中正确的是(    ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 9.如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为          . 10.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点若，则          . 11.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点如果测得米，米，米，那么          米． 12.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像若，，小孔O到AB的距离为，则小孔O到的距离为           13.如图，把放大后得到，则与的相似比是          . 14.如图，在中，，点D在AB上，且若，，则CD的长是          . 15.如图，在中，延长AC至点D，使，过点D作，且，连接AE交BC于点若，，则          . 16.如图，AB是的直径，BC是的切线，AC与交于点D，若，，则AB的长为          . 17.如图，正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论： ①；②∽；③；④；⑤若，则 你认为其中正确的是          填写序号 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 在中，，AD是斜边BC上的高. 证明：； 若，，求BD的长. 19.本小题8分 如图，已知∽，，，，， 求和的度数； 求DE的长． 20.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， 画出关于x轴成轴对称的； 画出以点O为位似中心，把按相似比放大后的 21.本小题8分 如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是，连接EB， 求证：； 若，，求GD的长． 22.本小题8分 在中，AD是的中线，E为AB上一点.    如图①，若E是AB的中点，连接CE与AD交于点O，求证： 如图②，F为AC上一点，连接EF交AD于点O，若，，求的值. 23.本小题8分 如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为不计折射， 在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． 桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②CD的长度的最大值为______ 24.本小题8分 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，AD为边BC上的中线，与相似，那么称为关于边BC的“华益美三角”． 如图2，在中，，求证：为关于边BC的“华益美三角”． 如图3，已知为关于边BC的“华益美三角”，点D是的边BC的中点，以BD为直径的恰好经过点 ①求证：直线CA与相切； ②若的直径为，求线段AB的长． 已知为关于边BC的“华益美三角”，，，求的面积． 25.本小题8分 “关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……       【问题提出】如图①，PC是的角平分线，求证： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”. 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交PA于点D，作交PB于点E，利用“等面积法”. 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明. 【理解应用】如图②，在中，，D是边BC上一点.连接AD，将沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的点E处，若，，则DE的长为          . 【深度思考】如图③，中，，，AD为的平分线的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，当时，AF的长为          . 【拓展升华】如图④，PC是的角平分线，若，，则的面积最大值是          . 答案和解析 1.【答案】B  【解析】两个相似三角形周长的比为， 由相似三角形周长的比等于相似比得这两个三角形对应边的比为故选 2.【答案】B  【解析】略 3.【答案】B  【解析】略 4.【答案】A  【解析】略 5.【答案】C  【解析】是的中位线，，，∽，，，故选 6.【答案】A  【解析】略 7.【答案】B  【解析】解法一：如解图①，根据“飞鱼”模型，过点E作交BC于点G，是BE的中点，，，，，，                               解法二：如解图②，根据“飞鱼”模型，过点E作交AD于点G，∽，，，，，是BE的中点，，在和中，≌，， 解法三：如解图③，根据“飞鱼”模型，取EC的中点 G，连接FG，是BE的中点，，，，，，，     8.【答案】B  【解析】解：①四边形ABCD是正方形， ，，， ， ， ≌， 故①正确； ②， 点O、E、C、F四点共圆， ，， ∽， 故②正确； ③≌， ， ， 故③正确； ④≌， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ∽， ：：OE， ， ，， ， ，， ， 又中，， ， ， 故④错误， 故选： 本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例． ①由正方形证明，，，便可得结论； ②证明点O、E、C、F四点共圆，得，，进而得OGE∽便可； ③先证明，得到便可； ④证明∽，得，再证明，再证明，得便可． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】3  【解析】略 12.【答案】20  【解析】设小孔O到的距离为由题意，得，则，解得 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】3  【解析】，，，是的中位线，，，，，，∽，，，， 16.【答案】4  【解析】略 17.【答案】①②③④  【解析】略 18.【答案】【小题1】 是斜边BC上的高，，又为公共角， 【小题2】 由知，，，   【解析】 略  略 19.【答案】【小题1】 解：， 【小题2】 ∽，，即   【解析】 略  略 20.【答案】【小题1】 解：如图所示，即为所求. 【小题2】 解：如图所示，即为所求．   【解析】 略  略 21.【答案】【小题1】 解：证明：菱形AEFG∽菱形ABCD，，，，即≌ 【小题2】 连接BD，交AC于点P，则，菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是，，，   【解析】 略  略 22.【答案】【小题1】 证明：如图，过点D作交AB于点是BC边上的中线，，是AB的中点，，“飞鱼”模型，    【小题2】 解：如图，延长FE与CB的延长线交于点 M，过点D作交AC于点N，则，，，“飞鱼”模型是的中线，，过点B作交AD于点P，则，，，，“飞鱼”模型，      【解析】 略  略 23.【答案】解：设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为 ， ， ， ， ，，， ， ， ， 沿着AB方向平移时，CD长度不变． ①以A为圆心，AB长为半径画圆，  当OQ与相切于H时，此时CD最大为 此时AB所在位置为 ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，舍去， ， 由①， ， ， 即CD的长度的最大值为   【解析】略 24.【答案】【小题1】 解：证明：如图，取BC边的中点D，连接 是中线，，，，  又，∽为关于边BC的“华益美三角”． 【小题2】 ①证明：如图，连接 为关于边BC的“华益美三角”，∽，是的直径，是的半径，直线CA与相切．  ②∽，点D为BC的中点，，，  设，则  在中，由勾股定理，得，  即，负值舍去 【小题3】 如图，点D为BC的中点，过点A作于点 ①若∽，，，  在中，，，；  ②若∽，，，  在中，，设，则，，  在中，由勾股定理，得，，解得，  综上所述，的面积为或或   【解析】 略  略  略 25.【答案】【小题1】 选择小明的思路，如图①，过点B作交PC的延长线于点 ，又，， 是的角平分线，，， ， 选择小红的思路，如图②，过点C分别作交PA于点D，作交PB于点E，作于点 是的角平分线，，，， ，，，， ，， 【小题2】   【小题3】 6 【小题4】 3   【解析】 略  略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $