专题07 幂函数及几种特殊函数（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦幂函数及一次分式函数、对勾函数等特殊函数，核心内容包括图象性质、运算及大小比较，通过课前自测衔接函数基础，以学习支架形式构建从定义到应用的知识脉络。 资料特色在于结合高考高频考点，设计探究问题与分层训练，知识结构图示和函数图象示例助力直观理解，培养学生抽象能力与推理意识，提升用数学语言解决综合问题的能力。

专题07 幂函数及几种特殊函数（2课时） 【培优目标】 1. 掌握幂函数的图象与性质、运算，学会幂函数值（式）的比较大小（高频考点）； 2. 学会识别、判断幂、指对函数图象及其复合函数图象的方法（高频考点）； 3. 掌握常见几种函数模型及其应用。 【核心考点】 从近几年高考命题来看，幂、指对函数性质及函数零点的综合考察是一个重点，函数图象及函数解析式的辨识，函数值（式）大小比较是高考热点内容，约占总分的32%，要重点关注幂、指对函数的单调性、周期性、奇偶性等与函数图像、函数零点和方程、不等式结合在一起的综合考查。 【知识结构】 【知识拓展】 1. 幂函数 （1）定义及特征：同时满足三个条件才是幂函数：①系数为1；②底数是自变量；③指数为常数. （2）幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上递增 在上递减， 在上递增 在上递增 在上递增 在和上递减 公共点 根据幂函数的定义，要求特别掌握上述五种幂函数图象、性质，归纳如下： ⅰ）为奇数时，为奇函数；为偶数时，为偶函数； ⅱ）当，图象不过原点，在第一象限单调递减； 当,图象过原点，在第一象限单调递增； 当图象在第一象限上凸；,在第一象限下凹，均为增函数。 2.一次分式函数 (1)定义：形如的函数称为一次分式函数.如下图 (2)图象及性质： ①定义域：；值域； ②对称中心：； ③渐近线方程：两条； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减； 当ad＜bc时，函数在区间和(－，＋∞)上分别单调递增. 3.对勾函数 （1）定义：形如叫对勾函数 （2）图象和性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性： 单增区间：；单减区间：； ③渐近线：两条. （3）对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点处可利用基本不等式求得. 4.飘带函数 （1）定义：形如叫飘带函数，如右图 （2）图象和性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增； ③渐近线：. 5.高斯函数 (1)定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，函数称为高斯函数，又称取整函数.这一规定最早为数学家高斯所使用，故而称为高斯函数，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3， (2)图象和性质： ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. 6.狄利克雷函数 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)图象：无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 7.最值函数 设函数和分别叫作最小值函数和最大值函数. 8.凹凸函数 （1）定义：函数在某区间上对任意的,都有,则称函数在此区间具有凸性质，反之，不等号反向则具有凹性质，具有凹凸性的函数叫凹函数或凸函数。 （2）几何意义：凸函数曲线上任意两点连线的中点始终位于曲线下方或重合（凹函数相反）. 【课前自测】（10分钟） 1.（2025·全国Ⅰ卷·高考题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则  ） A． B． C． D． 【答】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解】由题知对一切成立， 于是.故选：A 2.（2024·天津·高考）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【解】根据奇次指数幂函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3.若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 4.设max{a，b}＝则函数f(x)＝max{x，x2}的最小值为________. 【答】　0 【解】作出f(x)的图象如图中所示的实线部分，由图可知f(x)的最小值为0. 5.幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　 　) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a 【答】D 【解】观察函数图象可知在(1，＋∞)上，函数图象与x轴的距离由远及近为 y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa，∴其函数的指数的大小为b>c>d>a. 【探究过程】 问题1.如何辨识幂函数 【探究1】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答】D 【解】函数定义域为，且在上单调递减，所以0， 因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确， 故选：D. 【思维提升】由图知幂函数定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，若为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 【拓展探究】已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答】A 【解】由题意有，可得，其定义域为R，且， 则函数为奇函数，所以.故选：A. 【针对训练1】（多选题）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答】BC 【解】是幂函数，则，解得或.故选：BC. 问题2.幂函数与函数的凹凸性 【探究2】给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答】A 【解】由题，满足条件表示函数图象 在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A 【拓展探究】已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答】B 【解】对于①：由幂函数的定义可知，解得， 将点代入函数得，解得，所以，故①错误； 对于②：因为定义域为R，且，所以为奇函数，故②正确； 对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确； 对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误， 综上可知，②③正确，①④错误. 故选：B. 【针对训练2】已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 . 【答】 【解】因为函数是幂函数，则，， 在上单调递减，则，可得， ，在上的值域为，∴在上的值域为， 根据题意有，的范围为.故答案为：. 【拓展探索】已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】设幂函数，因为的图象经过点，则，解得， 所以.且知函数在定义域内单调递增， 则当时，，所以，且，故选项错误； 又因为函数单调递增，则当时，，且， 故选项D正确，选项错误.故选：D. 问题3.幂函数视角下的比较大小 【探究3】设，比较大小. 【解】因为在单调增，所以，即， 因为在单调减，所以，即综上，. 【思维归纳】在比较幂值的大小,要结合幂值的特点,根据变量的位置，选择适当的幂函数或指数函数,借助其单调性进行比较． 【拓展探究】若，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】，，而， 所以a，b，c的大小关系为.故选：C 【针对训练3】已知，，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答】A 【解】由，得或，由，得， 由，得，∴当，，同时成立时，取交集得， 故选：A. 问题4.其它几种特殊类函数 【探究4-1】一次分式函数 已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. 【解】(1)f(x)＝＝＝a＋，所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 由题意得a＝3. (2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知， 当且仅当1×(2－a)＞1×a，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 故a的取值范围是(－∞，1). 【探究4-2】对勾函数、飘带函数 函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象不可能是(　 　) 【答】C 【解】当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝得f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 【探究4-3】高斯函数、狄利克雷函数及最值函数 (1)(多选)y＝[x]称为高斯函数，下列说法正确的是(　 　) A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增 B.若函数f(x)＝，则y＝[f(x)]的值域为{0} C.若函数f(x)＝|－|，则y＝[f(x)]的值域为{0，1} D.x∈R，x≥[x]＋1 【答】AC 【解】对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1)上单增，故A正确； 对于B，＝＝－∈(－1，0)，则＝－1，故B不正确； 对于C，f(x)＝＝＝， 当0≤|cos 2x|≤时，1≤2－2|cos 2x|≤2，1≤f(x)≤，有[f(x)]＝1， 当<|cos 2x|≤1时，0≤2－2|cos 2x|<1，0≤f(x)<1，有[f(x)]＝0， 所以y＝[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确； 对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2<[2]＋1，故D不正确. (2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　 　) A.函数y＝f(x)的图象是两条直线 B. f(f(x))＝1 C.f()＞f(1) D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 【答】　BD 【解】对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确； 对于C，f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，C错误； 对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确. (3)已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝2(x＋1)2，∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}.当x∈R时，函数M(x)的最小值为(　 　) A.0 B.1 C.2 D.4 【答】　B 【解】已知函数y＝2x在R上单调递增，若x＋1≥(x＋1)2，则－1≤x≤0；若x＋1<(x＋1)2，则x>0或x<－1.故当－1≤x≤0时，2x＋1≥2(x＋1)2，即f(x)≥g(x)； 当x>0或x<－1时，2x＋1<2(x＋1)2，即f(x)<g(x). 综上，M(x)＝ 当x<－1时，易知函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递减， ∴M(x)＝2(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递减，又2(—1＋1)2＝1，∴此时M(x)>1. 当－1≤x≤0时，函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝x＋1在[－1，0]上单调递增， ∴M(x)＝2x＋1在[－1，0]上单调递增，故此时M(x)≥M(－1)＝2－1＋1＝1. 当x>0时，函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝(x＋1)2在(0，＋∞)上单调递增， ∴M(x)＝2(x＋1)2在(0，＋∞)上单调递增，又2(0＋1)2＝2，∴此时M(x)>2. 综上，M(x)的最小值为M(－1)＝1.故选B. 【思维提升】特殊函数问题属于新定义问题，解题思维是围绕着知识迁移，利用新、旧知识之间的内在联系，由旧知识的思维方式领悟新知识的思维过程，思维依据的材料是函数图象及性质，及由此派生的二级结论，而产生思维迁移的关键是准确概括两种知识之间包含的共同因素和巧妙运用类比思想. 【针对训练】 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，方程f(x)＝4在[0，＋∞)有两个解x1，x2，记g(a)＝|x1－x2|，则下列结论正确的是(　 　) A.函数f(x)的值域是[0，＋∞) B.若a＝－1，则f(x)的增区间为[－1，0)和[1，＋∞) C.若a＝4，则g(a)＝0 D.函数g(a)的最大值为4 【答】　B 【解】（取特值法）当a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝＝f(x)，即f(x)为偶函数， 当x>0时，f(x)＝x＋，则函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由偶函数性质知f(x)min＝1＋＝2，故A错误； 当a＝－1时，f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)为偶函数， 当x∈(0，1)时，f(x)＝－x＋，知f(x)在(0，1)上单调递减， 当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x－，知f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 由偶函数对称性知，f(x)的增区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故B正确； 若a＝4时，f(x)＝，令f(x)＝4时，则x1＝－2，x2＝2，此时g(a)＝4，故C错误； 若a＝0时，f(x)＝|x|，令f(x)＝4时，则x＝±4，g(a)＝8，此时与函数g(a)的最大值为4矛盾，故D错误. (2)函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　 　) A.2 B.4 C.6 D.8 【答】D 【解】函数y＝与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称， 从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8. (3)已知函数f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)，则此时高斯函数y＝[f(x)]的值域为(　 　) A. B.{－1，0，1} C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2} 【答】　B 【解】　f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)，令t＝2x，t∈(1，4)，可得g(t)＝t2－3t＋4＝(t－3)2－， g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t＝3时，g(t)有最小值g(3)＝－，又因为g(1)＝，g(4)＝0， 所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为， 当f(x)∈时，[f(x)]＝－1；f(x)∈[0，1)时，[f(x)]＝0；f(x)∈时，[f(x)]＝1. 所以y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}.故选B 【课堂限训】（5分钟） 1.满足的实数m的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，等价于或或， 解得或或， 所以不等式的解集为.故选：D. 2.已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 【答案】 【解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，可知为奇数，即.故答案为： 3.已知幂函数（其中，）为偶函数，且在上单调递减，则的值为 . 【答案】1 【解】因为函数幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以或1或2， 当或2时，定义域为， 且，此时函数为奇函数，不符合题意； 当时，定义域为， 且，此时函数为偶函数，符合题意； 综上所述，.故答案为：1. 【课堂小结】 1. 本节重点研究了特殊的五种幂函数就及图象性质； 2. 通过训练，掌握幂函数比较大小是底变指不变的特点，以及在第一象限单调性的特点； 3. 初步掌握一次分式函数、对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函数、凹凸函数等几种特殊函数的图象性质并学会应用。 《专题07 幂函数及几种特殊函数》巩固训练（限时45分钟） 1.已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答】B 【解】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意，所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即，故选：B. 2.若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　 　) A.(－∞，3] B.(2，3) C.(2，3] D.[3，＋∞) 【答】　C 【解】　f(x)＝＝2＋，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜≤1，∴f(x)∈(2，3]. 3.已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　 　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域[0，1] D.D(π)＞D(3.14) 【答】　A 【解】对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，因此A正确； 对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，因此B不正确； 对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确； 对于D，∵D(π)＝0，D(3.14)＝1，∴D(π)＜D(3.14)，因此D不正确. 4.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　 　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1，则f(x)>1 D.若x1>x2>0，则> 【答】　BCD 【解】　若幂函数f(x)＝xα经过点(9，3)，则9α＝3，则α＝，则幂函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确；因为函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，故A错误；当x>1时，f(x)＝>1，故C正确；函数f(x)＝x的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的，则有不等式<成立，所以D正确. 5.已知函数，解关于的不等式的解集. 【解】由题意可知，的定义域为，所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 6.已知函数，求满足的x取值范围。 【解】由题意得， 设，则，的定义域为R， 且，所以为奇函数， 都是增函数，所以是增函数， 的图象是由的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以． 易知在R上单调递增，因为， 所以，所以，解得，故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 幂函数及几种特殊函数（2课时） 【培优目标】 1. 掌握幂函数的图象与性质、运算，学会幂函数值（式）的比较大小（高频考点）； 2. 学会识别、判断幂、指对函数图象及其复合函数图象的方法（高频考点）； 3. 掌握常见几种函数模型及其应用。 【核心考点】 从近几年高考命题来看，幂、指对函数性质及函数零点的综合考察是一个重点，函数图象及函数解析式的辨识，函数值（式）大小比较是高考热点内容，约占总分的32%，要重点关注幂、指对函数的单调性、周期性、奇偶性等与函数图像、函数零点和方程、不等式结合在一起的综合考查。 【知识结构】 幂【知识拓展】 1. 幂函数 （1）定义及特征：同时满足三个条件才是幂函数：①系数为1；②底数是自变量；③指数为常数. （2）幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上递增 在上递减， 在上递增 在上递增 在上递增 在和上递减 公共点 根据幂函数的定义，要求掌握上述五种幂函数图象、性质，归纳如下： ⅰ）为奇数时，为奇函数；为偶数时，为偶函数； ⅱ）当，图象不过原点，在第一象限单调递减； 当,图象过原点，在第一象限单调递增； 当图象在第一象限上凸；,在第一象限下凹，均为增函数。 2.一次分式函数 (1)定义：形如的函数称为一次分式函数.如下图 (2)图象及性质： ①定义域：；值域； ②对称中心：； ③渐近线方程：两条； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减； 当ad＜bc时，函数在区间和(－，＋∞)上分别单调递增. 3.对勾函数 （1）定义：形如叫对勾函数 （2）图象和性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性： 单增区间：；单减区间：； ③渐近线：两条. （3）对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点处可利用基本不等式求得. 4.飘带函数 （1）定义：形如叫飘带函数，如右图 （2）图象和性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增； ③渐近线：. 5.高斯函数 (1)定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，函数称为高斯函数，又称取整函数.这一规定最早为数学家高斯所使用，故而称为高斯函数，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3， (2)图象和性质： ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. 6.狄利克雷函数 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)图象：无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 7.最值函数 设函数和分别叫作最小值函数和最大值函数. 8.凹凸函数 （1）定义：函数在某区间上对任意的,都有,则称函数在此区间具有凸性质，反之，不等号反向则具有凹性质，具有凹凸性的函数叫凹函数或凸函数。 （2）几何意义：凸函数曲线上任意两点连线的中点始终位于曲线下方或重合（凹函数相反）. 【课前自测】（10分钟） 1.（2025·全国Ⅰ卷·高考题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则  ） A． B． C． D． 2.（2024·天津·高考）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 4.设max{a，b}＝则函数f(x)＝max{x，x2}的最小值为________. 5.幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　 　) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a 【探究过程】 问题1.如何辨识幂函数 【探究1】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【拓展探究】已知函数为幂函数，则（     ） A．0 B． C． D． 【针对训练】（多选题）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（     ） A． B． C． D． 问题2.幂函数与函数的凹凸性 【探究2】给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 【拓展探究1】已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【针对训练】已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 . 【拓展探究2】已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 问题3.幂函数视角下的比较大小 【探究3】设，比较大小. 【拓展探究】若，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【针对训练】已知，，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 问题4.其它几种特殊类函数 【探究4-1】一次分式函数 已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. 【探究4-2】对勾函数、飘带函数 函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象不可能是(　 　) 【探究4-3】高斯函数、狄利克雷函数及最值函数 (1)(多选题)y＝[x]称为高斯函数，下列说法正确的是(　 　) A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增 B.若函数f(x)＝，则y＝[f(x)]的值域为{0} C.若函数f(x)＝|－|，则y＝[f(x)]的值域为{0，1} D.x∈R，x≥[x]＋1 (2)(多选题)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　 　) A.函数y＝f(x)的图象是两条直线 B. f(f(x))＝1 C.f()＞f(1) D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) (3)已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝2(x＋1)2，∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}.当x∈R时，函数M(x)的最小值为(　 　) A.0 B.1 C.2 D.4 【针对训练】 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，方程f(x)＝4在[0，＋∞)有两个解x1，x2，记g(a)＝|x1－x2|，则下列结论正确的是(　 　) A.函数f(x)的值域是[0，＋∞) B.若a＝－1，则f(x)的增区间为[－1，0)和[1，＋∞) C.若a＝4，则g(a)＝0 D.函数g(a)的最大值为4 (2)函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　 　) A.2 B.4 C.6 D.8 (3)已知函数f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)，则此时高斯函数y＝[f(x)]的值域为(　 　) A. B.{－1，0，1} C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2} 【课堂限训】（5分钟） 1.满足的实数m的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 2.已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 3.已知幂函数（其中，）为偶函数，且在上单调递减，则的值为 . 【课堂小结】 1. 本节重点研究了特殊的五种幂函数就及图象性质； 2. 通过训练，掌握幂函数比较大小是底变指不变的特点，以及在第一象限单调性的特点； 3. 初步掌握一次分式函数、对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函数、凹凸函数等几种特殊函数的图象性质并学会应用。 《专题07 幂函数及几种特殊函数》巩固训练（限时45分钟） 1.已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（     ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 2.若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　 　) A.(－∞，3] B.(2，3) C.(2，3] D.[3，＋∞) 3.已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　 　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域[0，1] D.D(π)＞D(3.14) 4.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　 　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1，则f(x)>1 D.若x1>x2>0，则> 5.已知函数，解关于的不等式的解集. 6.已知函数，求满足的x取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $