专题09 函数性质及综合应用（第1、2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦函数性质及综合应用，核心涵盖单调性、最值、周期性，通过课前自测（含高考真题与基础题）衔接函数奇偶性、基本初等函数性质等旧知，搭建从定义理解到综合应用的学习支架。 以问题链驱动探究，如单调性证明方法、方程与函数性质应用等，结合定义法、数形结合等学科方法，培养学生逻辑推理（数学思维）与几何直观（数学眼光）。习题关联高考真题与教材拓展，提升用数学语言表达和解决问题的能力，适合分层教学与自主探究。

专题09 函数性质及综合应用（第1、2课时） -------重点关注函数单调性与最值、周期性 【培优目标】 1、 学会用符号语言，借助典型函数图象来表述函数单调性与最值及奇偶性与对称性，理解其几何意义和符号变化规律；结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义； 2、学会应用初等函数的图象、性质解决一些实际问题． 【考向分析】 函数的单调性与奇偶性、周期性的综合应用是重点，新高考突出学科思维考查，与抽象函数的结合将是一个重要考向；函数部分约占总分的32%，小题和大题各占一个，要重点关注函数性质的综合，以及与函数图像、函数零点和不等式的相结合进行考查． 【知识结构】 【课前自测】（限时10分钟） 1. 已知函数是奇函数，则 ； 2. 若则 . 3.（2024年上海夏季高考题）函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（     ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 4.求函数的最小值. 【探究过程】 问题1.证明或判断函数单调性有哪些思维方法？ 1.函数最值：一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M分别满足： ⅰ）①，都有；②，使得，则M是函数的最大值； ⅱ）①，都有；②，使得，则M是函数的最小值. 2.证明或判断函数单调性的思维方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”步骤进行判断； ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性； ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出单调区间． 3.判断函数单调性的重要结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数； ⑤复合函数单调性遵从“同增异减”，即函数在对应的区间上单调性相同，则复合函数在对应区间上就是增函数；否则，是减函数。 【探究1】应用定义法证明（判断、讨论等）函数单调性 已知函数若成立，则下列论断中正确的是（     ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【拓展探究】链接教材（人教A版第86页《综合运用》第9题） 设函数的定义域为，区间，记.证明： （1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有. 【思维提升】主要考查了用函数单调性定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小。 【链接高考】递推思想也是函数单调性的有效补充 （1）（2024·全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（     ） A． B． C． D． （2）（2025·全国八省市适应性考试第10题，多选题）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数，定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则　　 A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【拓展训练1】含参分段函数的单调性 （2024·全国Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【思维提升】函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： ①在上单调递减；②在上单调递减；③． 【拓展训练2】新定义与单调性定义法证明 函数的图象酷似希腊神话中海神波塞冬武器三叉戟的形状，因而得名三叉戟函数，牛顿最早研究了这个函数图象，也称它为牛顿三叉戟.已知函数的图象经过点，且.①求函数的解析式；②用定义法证明：在上单调递减. 问题2.方程与函数的性质应用 【探究2】由方程确定函数，则在上是（     ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【回归教材】给定数集，方程，① （1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数； （2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数. 【链接高考】（2023·全国Ⅰ卷第11题多选） 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 问题3.应用函数单调性求函数值域与最值 【探究3】求下列函数的值域 （1）； （2）； 【思维提升】 常见求二次函数值域的求法主要有以下几种 （1） 观察法：根据基本函数值域（如≥0，）及函数的图像、性质，经过计算、推理，凭观察能直接得到某些简单复合函数的值域； （2） 配方法：形如的值域或复合问题，用配方法，从定义城求出函数的值域； （3）图象法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图象模型； （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等； （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过代数换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域． 对于形如或的函数，当时可利用单调性法． 【针对训练1】求下列函数的值域-----多项式、分式函数 （1）；（2）；（3）（）． 【针对训练2】求下列函数的值域-----有限制条件的分式、无理式函数 （1） ； （2） ； （3） 【拓展探究】运用数形结合思想（或构造模型）求函数值域 （回归课本）画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象. （1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ （2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？ 【针对训练1】 根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型解下列问题 1. ； 2. ； 3. . 【针对训练2】 1.求函数的值域. 2.； 3.求函数的值域. 问题4.运用函数单调性比较数或式的大小 【探究4】已知函数，记，则（     ） A． B． C． D． 【拓展探究】比较下列各题中三个值的大小: （1）; （2）. 【针对训练】若，设，则a，b，c大小关系为（     ） A． B． C． D． 问题5.函数单调性的实际应用 【探究5】回归课本 1. （教材第79页《练习》第1题）请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 2.（教材第86页《综合运用》第6题）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 3.（教材第87页《拓广探索》第12题）已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【课本拓展】 1.（教材A版第64页《练习》第3题）集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 2.（教材A版第64页《练习》第4题）构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式来描述. 【拓展探究】（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（     ） A． B． C． D． 问题6.已知函数值域或方程、不等式，求参数问题 【探究6】已知函数的值域为，则实数范围为（      ） A． B． C． D． 【拓展1】定义若函数，则最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【针对训练1】若函数的值域为，求的值. 【针对训练2】若函数的值域为，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【拓展2】已知函数若，求实数的取值范围。 【针对训练1】已知函数，则不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【针对训练2】已知函数，则不等式的解集是 . 【课堂限训】（限时20分钟） 1.求函数，的值域． 2.已知函数的值域为，求实数的取值范围． 3.已知，且，则的取值范围是 . 《专题09 函数性质及综合应用》（第1、2课时） 巩固训练（限时90分钟） 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.函数的值域是 . 3.设，若，求 . 4.已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 5.已知函数，若，求a值. 6.已知，函数的最大值为，求实数的值. 7.求函数的值域. 8.求函数的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数性质及综合应用（第1、2课时） -------重点关注函数单调性与最值、周期性 【培优目标】 1、 学会用符号语言，借助典型函数图象来表述函数单调性与最值及奇偶性与对称性，理解其几何意义和符号变化规律；结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义； 2、学会应用初等函数的图象、性质解决一些实际问题． 【考向分析】 函数的单调性与奇偶性、周期性的综合应用是重点，新高考突出学科思维考查，与抽象函数的结合将是一个重要考向；函数部分约占总分的32%，小题和大题各占一个，要重点关注函数性质的综合，以及与函数图像、函数零点和不等式的相结合进行考查． 【知识结构】 【课前自测】（限时10分钟） 1. 若则 . 【答】 【解】，所以. 故答案为：. 2.（2024年上海夏季高考题）函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（     ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【答】B 【解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 3.（2020·全国·高考真题）设函数,则是（     ） A．奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【解】（观察法）函数定义域为，其关于原点对称，而，函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增； 而在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A． 4.求函数的最小值. 【解】（观察法）设，则，又函数在上单调递增， 所以当，即时，函数有最小值，故答案为：. 【探究过程】 问题1.证明或判断函数单调性有哪些思维方法？ 1.函数最值：一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M分别满足： ⅰ）①，都有；②，使得，则M是函数的最大值； ⅱ）①，都有；②，使得，则M是函数的最小值. 2.证明或判断函数单调性的思维方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”步骤进行判断； ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性； ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出单调区间． 3.判断函数单调性的重要结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数； ⑤复合函数单调性遵从“同增异减”，即函数在对应的区间上单调性相同，则复合函数在对应区间上就是增函数；否则，是减函数。 【探究1】应用定义法证明（判断、讨论等）函数单调性 已知函数若成立，则下列论断中正确的是（     ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【解】答:D.因为命题“函数，且成立，则函数是减函数”的逆否命题是“函数，不是减函数，则成立”，显然是错误的，则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，如，满足，但是在上不具有单调性，故D正确，A、B、C错误.故选：D 【拓展探究】链接教材（人教A版第86页《综合运用》第9题） 设函数的定义域为，区间，记.证明： （1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有. 【分析】 （1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递增，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递增，得出，即可证明； （2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递减，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递减，得出，即可证明； 【解】证明：（1）充分性：不妨设，则 即在D上单调递增. 必要性：若在D上单调递增. 则，不妨设，则.. 即，都有. （2）充分性：不妨设，则， ，即，在D上单调递减. 必要性：若在D上单调递减. ，不妨设，则. 即，都有. 【思维提升】主要考查了用函数单调性定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小。 【链接高考】递推思想也是函数单调性的有效补充 （1）（2024·全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【分析】【答】B代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【解】因为当时，所以，又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确.故选：B. 【思维提升】本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. （2）（2025·全国八省市适应性考试第10题，多选题）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数，定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则　　 A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【解】令，则恒成立，故为增函数，正确； 对于函数，和时，函数值相等，显然不是增函数，错误； ，显然递增，正确； 因为， ，正确． 故选：． 【拓展训练1】含参分段函数的单调性 （2024·全国Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解】【答】B 因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 【思维提升】函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： ①在上单调递减；②在上单调递减；③． 【拓展训练2】新定义与单调性定义法证明 函数的图象酷似希腊神话中海神波塞冬武器三叉戟的形状，因而得名三叉戟函数，牛顿最早研究了这个函数图象，也称它为牛顿三叉戟.已知函数的图象经过点，且.①求函数的解析式；②用定义法证明：在上单调递减. 【解】①由题意可知，解得，，故（）. ②证明：，，且，则 . 由，且，得，，， 所以，，所以， 则，即.故在上单调递减. 问题2.方程与函数的性质应用 【探究2】由方程确定函数，则在上是（     ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【解】（分段讨论法）当且时，，如图，第一象限图象部分； 当且时，，如图，第四象限图象部分； 当且时，，如图，第二象限图象部分； 当且时，无意义，无图像。 结合图象可知，在上是减函数.【答】B 【思维提升】由于单调性是函数局部性质，可以分类讨论分段考虑，将方程化为符合函数定义的函数形式，再讨论其单调性，最后综合总体下结论。 【回归教材】给定数集，方程，① （1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数； （2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数. 【解】（1），对于任意，有唯一的与之对应，所以是函数. （2）取，则，即对于，A中有两个数与v对应，所以不是函数. 【链接高考】（2023·全国Ⅰ卷第11题多选） 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答】ABC 【分析】方法一：赋值法，结合函数奇遇性判断方法可判断选项ABC，举反例排除选项D. 方法二：构造法，选项ABC方法一同，对于D，构造特殊函数进行判断即可. 【解】方法一：赋值 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误 方法二：赋值+构造 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误.故选：. 问题3.应用函数单调性求函数值域与最值 【探究3】求下列函数的值域 （1）； （2）； 【解】（1）（配方法）令，则，而，则， 故，即的值域为； （2）（拆分、基本不等式或对勾函数单调性），，故，当仅当，即等号成立， 故，即函数值域为； 【思维提升】 常见求二次函数值域的求法主要有以下几种 （1） 观察法：根据基本函数值域（如≥0，）及函数的图像、性质，经过计算、推理，凭观察能直接得到某些简单复合函数的值域； （2） 配方法：形如的值域或复合问题，用配方法，从定义城求出函数的值域； （3）图象法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图象模型； （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等； （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过代数换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域． 对于形如或的函数，当时可利用单调性法． 【针对训练1】求下列函数的值域-----多项式、分式函数 （1）；（2）；（3）（）． 【解】（1）（拆分、配方法）因为，且，所以， ，故函数的值域为． （2）（上下二次优先考虑约掉公因式，然后拆分法）， 其中，， 当时，． 又因为，所以．故函数的值域为； （3）（分子次数高，拆分对勾型）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．故函数的值域为． 【针对训练2】求下列函数的值域-----有限制条件的分式、无理式函数 （1） ； （2） ； （3） 【解】 （1） （拆分化归基本函数-----对勾函数、反比例函数） ∵,令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以， 由反比例函数性质可知，在单调递减，所以，即的值域为. （2） （观察法--函数单调性） 函数中，令得，观察函数和都是减函数， 故函数在时是递减的，故时，故值域为； （3）（拆分法）函数， 令，则由知，，， 根据对勾函数在递减，在递增, 可知时，，故值域为. 【拓展探究】运用数形结合思想（或构造模型）求函数值域 （回归课本）画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象. （1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ （2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？ 【解】（1）由题意可知：定义域为，且，值域为， 图象可以是如下图所示：图（1） （2）由题意可知中：线段， 和线段上的点不在图象上如下图所示： 【反思提升】问题的解决是通过函数定义域、值域描绘出直观的图象解决的图（2） 1. ；2.；3. . 【解】1.（构造法）表示点与点连线的斜率， 的轨迹为圆，表示圆上的点与点连线的斜率， 由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 即的值域为. 2.（函数与方程思想） ，由，解得， 令，即， 将函数值域转化为与有交点时的t的取值范围， 在同一坐标系中作函数与的图象如图所示： 由图象知：当直线与半圆相切时，t最小， 此时，解得，由图象知， 当直线过点时，t最大，此时， 所以，即的值域是，故答案为： 【思维提升】 根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型． 3.（构造法）设函数，令，则点位于一个单位圆在x轴的上半部分， 如图所示．将函数改写为， 则表示定点与点所连直线的斜率． 当直线与上半单位圆相切时，在直角三角形中， ，所以． 又，所以．即函数的值域为． 【针对训练】 1.求函数的值域. 【解】（构造法）由题设构造， 问题化为求轴上点到与距离差的范围，如图示， 由图知：，即， 当三点共线且在之间时，左侧等号成立； 当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况； 所以，即，所以函数值域为. 故答案为： 2.； 【解】（构造法）， 即可看作是动点到定点的距离之和， 设关于轴的对称点为，连接交轴于 ， 此时最小，且最小值为， 故函数的值域为， 3.求函数的值域. 【解】（复构造）设，则有（第一构） （第二钩） 上式课看成半圆上一动点到定点连线的斜率． 如图：,则，设过点A的直线为， 整理为，由点到直线的距离公式可得 ，化简得或（舍）， 所以，故值域为: 问题4.运用函数单调性比较数或式的大小 【探究4】已知函数，记，则（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】函数的定义域为，所以函数为偶函数， 当时，设，则，故在上单增且恒为正数， 则函数在上单减，又函数为偶函数，故在上单调递增， 又，即，于是，即.故选:C. 【思维提升】本题也可以利用指数函数值域及对勾函数的单调区间确定函数在上单增且恒为正数，下面比较大小同上。 【拓展探究】比较下列各题中三个值的大小: （1）; （2）. 【解】（1）因为, 且,故 （2） , 同理可证. 【针对训练】若，设，则a，b，c大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是.故选：D 问题5.函数单调性的实际应用 【探究5】回归课本 1. （教材第79页《练习》第1题）请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 【分析】根据函数图象分析生产效率与生产线上工人数量间的关系. 【解】该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低. 【思维提升】本题考查对已知函数图象实际意义的数学描述，属于基础题. 2.（教材第86页《综合运用》第6题）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 【分析】以服药的时间作为横坐标，以心率作为纵坐标，根据题意，画出图象即可. 【解】解：心率关于时间的一个可能的图象如图所示. 【思维提升】本题主要考查了根据实际问题的描述作函数图象，属于基础题. 3.（教材第87页《拓广探索》第12题）已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【分析】任取，则，根据函数在的单调性，得出，结合函数的奇偶性，得出，由函数单调性的定义作出判断即可. 【答】在上单调递增，证明如下： 【证明】任取，则.在上单调递减，. 是偶函数，. 故在上单调递增. 【思维提升】本题主要考查了函数单调性的定义以及函数奇偶性的应用. 【课本拓展】 1.（教材A版第64页《练习》第3题）集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 【分析】根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域. 【解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应， 所以是从A到B的函数.定义域是，值域. 【思维收敛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题. 2.（教材A版第64页《练习》第4题）构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式来描述. 【分析】根据变量关系解析式，可设x为正方形面积，y为正方形的边长，写出定义域值域即可. 【解】设面积为x的正方形的边长为y，则，定义域为，值域为. 【思维收敛】本题考查函数解析式的应用，通过解析式来构建问题情境，考查逆向思维和对函数概念的灵活运用. 【拓展探究】（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 问题6.已知函数值域或方程、不等式，求参数问题 【探究6】已知函数的值域为，则实数范围为（      ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由题意得在，上单调递减，因为函数的值域为，， 所以，， ，，，， （函数思想，化一元，构造，配方法） ，，结合可得：，， ，．故选：． 【思维提升】值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决. 【拓展1】定义若函数，则最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答】3、 【解】（数形结合法）当时，解得或， 所以，作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为，故答案为：；. 【针对训练1】若函数的值域为，求的值. 【解】（判别式法）设，可得， 由题意可知，关于的方程在上有解， 若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、， 由韦达定理可得，解得.综上所述，. 【针对训练2】若函数的值域为，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【解】【答】C（分类讨论法）当时，，即值域为，满足题意； 若，设，则需的值域包含， ，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：C. 【拓展2】已知函数若，求实数的取值范围。 【解】由， 若，则，即，解得，所以 若，则，即，解得，所以， 综上，不等式的解为. 【针对训练1】已知函数，则不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答】A 【解】当时，由得，两边取以e为底的对数得：， 当时，由得，解得， 综上或.故选：A. 【思维提升】已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应讨论每一段的解析式分别求解， 但要检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围. 【针对训练2】已知函数，则不等式的解集是 . 【答】 【解】当时，由得，解得，此时，； 当时，由得，即，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集是.故答案为：. 【课堂限训】（限时20分钟） 1.求函数，的值域． 【解】（判别式法）因为，整理得，可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 【思维提升】判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用二次方程的判别式求值域， 一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． 2.已知函数的值域为，求实数的取值范围． 【解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 3.已知，且，则的取值范围是 . 【答】 【解】因为，所以.看成是关于a的一元二次方程，又因为， 所以，解得.故答案为：. 《专题09 函数性质及综合应用》（第1、2课时） 巩固训练（限时90分钟） 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答】C 【解】依题意且，所以函数的定义域为. 设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点， 如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为， 当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即， 则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以. 所以函数的值域为.故选：C. 2.函数的值域是 . 【答】 【解】，因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时，， 不等式整理得：解得： 所以函数的值域为.故答案为： 3.设，若，求 . 【解】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得；综上所述：. 所以. 4.已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答】 【解】当时，得，; 当时，，得，所以. 综上：的解集为，故答案为：. 5.已知函数，若，求a值. 【解】当时，则，解得：或（舍去） 当时，则，解得：（舍去）综上所述： 6.已知，函数的最大值为，求实数的值. 【解】，， 两边平方得：，即， 再平方得：， 化简得：， 当，即时，， 此时最大值为，不符题意. 所以.因为方程有解，所以， 即， 化简得：，因为，所以， 又因为的最大值为，所以，所以. 故答案为：. 7.求函数的值域. 【解】，可设， 则. 设，则，从而. （其中，），， ，，且..，故函数的值域为. 8.求函数的值域. 【解】.令θ∈[0，π]， ∴=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分. 如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ， 故切线的斜率为. 所以斜率的取值范围，也即函数的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $