专题08 指、对函数及函数零点的应用（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦指对函数图象性质、零点应用，通过课前自测（高考题）回顾基础，知识拓展（反函数对称性、分类讨论）搭建支架，衔接图象交点、比较大小等探究内容。 特色是高频考点聚焦（高考占比32%），探究过程注重思维提升（构造函数、数形结合），例题训练结合真题，培养学生逻辑推理（数学思维）、直观想象（数学眼光），助力提升综合问题解决能力。

专题08 指、对函数及函数零点的应用（2课时） 【培优目标】 1. 掌握指、对函数的图象与性质、运算，学会对幂、指对函数值（式）比较大小；（高频考点） 2. 学会识别、判断幂、指对函数图象及其复合函数图象的方法；（高频考点） 3. 会用零点存在定理和二分法判断零点所在区间，会求与零点相关的含参问题；（高频考点） 4. 学会几种函数模型及其应用。 【核心考点】 从近几年高考来看，幂、指对函数图象与性质及函数零点的综合考察是一个命题重点，函数图象及函数解析式的辨识，函数值（式）大小比较是高考热点内容，函数部分约占总分的32%；重点关注幂、指对函数的单调性、奇偶性、周期性等与函数图象、函数零点和方程、不等式结合在一起的综合考查。 【知识结构】 【知识拓展】 1. 指数函数与对数函数既非偶函数也非奇函数，但其具有单调性，有渐近线和恒过定点的性质； 2. 指数函数与对数函数(，且)互为反函数，其图象间关于直线对称； 3. 指数函数，当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． 当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 4. 指数函数与的图象关于轴对称． 对数函数与在同一坐标系内图象关于轴对称； 5. 对数函数，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴； 当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 6.对数函数与指数函数，当时，随的值越接近1时，两函数图象在第一象限必有交点；如当时，取，推理如下： 【课前自测】（限时10分钟） 1.（2025·全国Ⅱ卷·高考题·多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 2.（2022·北京·高考题）已知函数，则对任意实数x，有（     ） A． B． C． D． 【答】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 3.（2024·全国甲卷·高考题）已知且，则 ． 【答】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解】由题，整理得， 或，又，所以，故 故答案为：64. 【探究过程】 问题1.指数函数与对数函数的图象、性质及应用 【探究1】具有过定点、有渐近线及参数不定型（分类讨论）的图象特点 （1）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但不相交，则（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】因为函数图象过原点，所以，得， 又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，所以，则，所以. 故选：C 【思维收敛】恒过定点． （2）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答】A 【解】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 【思维提升】对于有关指数、对数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数、对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到指数、对数复合型函数图象。 【针对训练1】直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 . 【答】 【解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，，而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，，因此与函数的图象有两个交点，则，解得．综上所述，．故答为：． 【拓展探究】指、对函数图象交点与方程的根 （1）已知是方程的两个根，则 . 【答】10 【解】由题可知，也是与图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作图如下：数形结合可知，为两点对应的横坐标；根据指数函数和对数函数的性质可知，关于对称；又与垂直， 故与的交点为线段的中点， 联立，可得，即，故，解得. 故答案为：. （2）设方程和方程的根分别为，设函数，则（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，从而. 故选：B. 【针对训练2】设方程的解为，，方程的解为，，则 ． 【答】10 【解】由方程得，由方程得， 在同一坐标系下做出函数、，的图象， 不妨设，如图，函数与的图象关于对称， 即点与点、点与点都关于对称， 由解得，即两直线的交点为，则， 则.故答案为：. 【针对训练3】 函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 . 【答】B 【解】当时，，则函数过定点，得， 所以，，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：B 【思维收敛】恒过定点． 问题2.指数式及对数式的比较大小问题 【探究2】 （1）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答】C 【解】构造函数，则在上单调递增， 所以．故选：C． （2）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】∵，，则，故选：C. （3）若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答】A 【解】因为，所以，因为，所以，可得， 令，，所以， 设，，，作出它们的图象如图： 由图可知.故选项A正确. 【拓展探究】 （1）设，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】，， ，，.故选：C. （2）（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（     ） A． B． C． D． 【答】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即.故选：A. （3）（2022·全国甲卷）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答】A 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【解法一】（指、对数函数性质，指对互化） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. 【解法二】（构造法） 由，可得．根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A. 【思维提升】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法属于通性通法； 法二：构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是本题最优解法． 【针对训练1】已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】，解得，令，解得：，令，解得：， 令，则， 因为，所以，，则有， 即恒成立，所以在上单调递增，则有， 所以，，所以. 故选：D 【针对训练2】已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】令，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，故. 令，则.当时，，单调递减， 则，即.故. 故选：A. 【针对训练3】已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】由题知，，，因为在定义域内单调递增， 所以，即， 因为在定义域内单调递减，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 综上：.故选：D 【针对训练4】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答】B 【分析】法一：（拆分法）设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：数形结合法. 【解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数的图象，如图所示： 以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，由图知， 随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 问题3.解有关指、对数方程和不等式问题 【探究3】利用指数或对数的运算性质解题. 对于形如，，或的形式常用“化同底”转化，如形如的形式，利用转化；再利用指、对函数单调性解决；或用“取对数、指数”的方法求解； 形如或的形式，及类似，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解； 解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可． （1）（多选题）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（     ） A． B． C． D． 【答】AD 【解】令，则方程可化为：，即， 则甲写错了常数b，得到的根为或，由两根之和得： 乙写错了常数c，得到的根为或，由两根之积得：， 所以方程为，解得：或即或，解得：或. 故选：AD （2）不等式的解集为 . 【答】 【解】由，可得.令， 因为均为上单调递减函数，则在上单调递减，且， ，，故不等式的解集为.故答案为：. 【拓展探究】若、为方程的两个实数解，则 ． 【答】 【解】因为，且，所以，，即，， 由题意可知，、为方程的两根，由韦达定理可得.故答案为：. 【针对训练】已知和是方程的两根，则 . 【答】 【解】方程可化为，由韦达定理得，，所以，得. 又，所以.故答案为： 【链接高考】（2024·上海·高考题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2） 存在使得成等差数列等价于在上有解， （3） 利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故，故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为，故即. 问题4.指、对函数的综合问题 【探究4】函数与方程的复合问题 指、对函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要理清复合的层次，指、对函数究竟是内层还是外层，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 . 【答】 【解】由题意得，即或，的图象如图所示， 关于的方程有5个不同的实数根，有图像可知， 或，解得，故答案为： 【拓展探究1】已知函数，则不等式的解集为 . 【答】 【解】由于，由此知在定义域上为增函数， 由，， 则，且，可得，所以， 故不等式的解集为.故答案为：. 【拓展探究2】不等式的解集是 ． 【答】 【解】设，其定义域为，和在均为增函数， 则在为增函数，且，，即，， 不等式的解集是.故答为：. 【思维提升】如果方程或不等式化不成“统一元”的典型方程，则观察利用各自函数的单调性处理，问题3的【探究3】（2）题即是这种处理方式。 【拓展探究3】函数，的零点分别为，，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】由题意知，，， 令，则，又因为与互为反函数， 所以、分别与的的交点关于对称，所以，即：， 又因为，，所以由零点存在性定理可知，， 又因为，即，所以， 对于A项，因为，， 所以，故A项错误； 对于B项，因为，所以，又因为，， 所以，故B项正确； 对于C项，因为，，所以，故C项错误； 对于D项，因为， ，， 所以，故D项错误. 故选：B. 【针对训练1】已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】 对任意，都有，即对任意，都有， 令，则在上单调递增． 首先. 因为在上递增，所以在上递增． 当时，显然符合题意； 当时，令， 则根据对勾函数的单调区间性质，在上递增，所以，则. 综上所述，，故D正确． 【针对训练2】（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 【答】C 【分析】思路一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【解法一】由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时；可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 【解法二】由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 【思维提升】关键点是分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.易错点是容易忽略对数定义域也是一个分界点，题干简约，但思维量大。 《专题08 指、对函数及函数零点的应用》巩固训练（限时90分钟） 1．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【解】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：，所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 2.（2025·天津卷第19题改编）若，对，均有恒成立，求的最小值. 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【解法一】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，------（✱） 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为，即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为. 【解法二】（变换主元，最小值验证） 同上，（✱）式整理成关于a的不等式 对任意的成立， 当时，不等式左边为0，右边需0，解得t - 4; 当时，a需要满足上下界约束条件，且二次函数开口朝下（即t<0）,且在x的区间内保持非正，只需验证t= - 4最小值时，取a=0,b= - 4, 这时对所有x成立，故t 的最小值为-4. 【解法三】（应用二次函数图象突破） 由题意，最小值在的情况取到，因为代入原不等式得： ，令 顶点约束，如果顶点则，化简得：， 由于,则判别式满足非负，解得. 最小值验证，当时，取b= - 4,则a=0, 此时对恒成立， 端点值验证，如果顶点，此时只需，经验证成立。 3.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．根据这一结论，解决下列问题． 已知函数． (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)若，求实数的取值范围． 【解】（1）由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称. （2）由题意， 而由复合函数单调性可知单调递增， 所以当且仅当，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 4.已知函数且）为定义在R上的奇函数 (1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 【解】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得， 当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意． 设，有 ， 由，有，有，故函数在上单调递增； （2）由 ． （1）当时，不等式为恒成立，符合题意； （2）当时，有，解得， 由上知实数的取值范围为； （3）由，方程可化为， 若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根， 故有，即解得． 故实数的取值范围为． 5.设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，求实数b的取值范围. 【解】由题设，的图象如下图示： 令，则化为， ∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、， ∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，综上，. 6.已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的取值范围. 【解】（1）要使函数有意义，则，解得，所以定义域为； （2）因为，所以， ，因为，所以， 所以当时，， 对于函数，， 若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，则， 因为，所以，无解； 若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以，则，又，所解得； 综上，的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.2xXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 专题08 指、对函数及函数零点的应用(2课时) 【培优目标】 1.掌握指、对函数的图象与性质、运算，学会对幂、指对函数值（式)比较大小；（高频考点） 2.学会识别、判断幂、指对函数图象及其复合函数图象的方法；（高频考点） 3.会用零点存在定理和二分法判断零点所在区间，会求与零点相关的含参问题；（高频考点） 4.学会几种函数模型及其应用。 【核心考点】 从近几年高考来看，幂、指对函数图象与性质及函数零点的综合考察是一个命题重点，函数图象及 函数解析式的辨识，函数值（式）大小比较是高考热点内容，函数部分约占总分的32%；重点关注幂、 指对函数的单调性、奇偶性、周期性等与函数图象、函数零点和方程、不等式结合在一起的综合考查。 【知识结构】 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.2xXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 (根式的定义 般地，如果x=a,那么r叫做a的n次方根其中>1，n∈，记为a 当n为奇数时，正数的m次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 根式的性质 当和为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数。) 指数是幂运算a(a0中的一个参数，a为底数，n为指数， 指数的概念 指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。 正整数指数幂】 指数及指数运算 零指数幂) 有理数指数幂的分类) (负整数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. a"a"=a(a>0,m,n∈ (a門°=a"(a>0,m,n∈ 有理数指数幂的性质 (ab)=ab"气(a>0,b>0,m∈2 √a=aa>0,m,n∈g 指数函数的概念 一般地，函数y=ar(a>0,且a≠1)叫做指数函数 指数与指数函数 a- 01 指数函数的图象 1.a 定义域R,值域0，+0) a'=1,即时x=0,=1,图象都经过0,1)点 a=a,即x=1时y等于底数a 指数函数的性质 当0<a<1时，x<0时，a>1:>0时，0<a<1 当a>1时，x<0时，0<ar<1:>0时，a>1 出0<a<1时，在定义域上是单调减函数 当a>1时，在定义域上是单调增函数 既不是奇函数也不是偶函数 2 ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.2xXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 一般地，如果ar=Nu>0且a=),哪么数叫做以a为底N的对数，记作x=ogN (对数的定义 读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 般对数：以a(a>0Ha≠)为底，记为og,读作以a为底N的对数 (常见对数 常用对数：以10为底，记为gN) 自然对数：以e为底，记为mv) 对数式的运算 log=0:log=-l;其中a>0且a*1 a=N(其中a>0且a≠1，N>0)】 对数长层公式候小-g会 log.(MN)=log M+log N (对数的性质和运算法则 ing.-ng-ng gnb-og,Mmn∈) a=b和10g.d=b 对数函数的定义 函数=log(a>0且a≠1)叫做对数函数 对数与对数函数 log 对数函数的图像 yA x=1 (1.0) log 定义域：0，+o∞)，值域R 过定点1,0，即x=1时y=0 当0<a<1时，当0<r<1时y>0,当x≥1时，y≤0 对数函数的性质 当a>1时，当0<<1时，<0，当21时J20 当0<a<1时，在0，+o)上减函数 当a>1时，在0，+0)上增函数 既不是奇函数，也不是偶函敬 【知识拓展】 1.指数函数与对数函数既非偶函数也非奇函数，但其具有单调性，有渐近线和恒过定点的性质； 2.指数函数y=a与对数函数y=log。x(a>0,且a≠1)互为反函数，其图象间关于直线y=x对 称； 3.指数函数y=a,当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论 当0<a<1时，x→+0，y→0；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快. 独家授权侵权必究· 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.2xXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 当a>1时x→+o,y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快. 4.指数函数y=a与y=(白)的图象关于y轴对称. 对数函数y=l0g。x与y=log1x在同一坐标系内图象关于x轴对称； 5.对数函数y=log。x,当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴； 当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.（见下图） 6.对数函数y=log。x与指数函数y=a,当a>1时，随a的值越接近1时，两函数图象在第一象限必 有交点；如当a=1.1时，取x=2,推理如下： y1=1og12>log1u1.21=log11.12=2>1.21=1.12=y2 【课前自测】（限时10分钟） 1.(2025全国Ⅱ卷高考题.多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， fx)=x2-3e+2,则() A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-x2-3e-2 C.f(x)22当且仅当x≥√5 D.x=-1是∫(x)的极大值点 2.(2022北京：高考题)已知函数f)=1+2,则对任意实数，有（） A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.-f)月 ·独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 115 3.(2024全国甲卷高考题）已知0>1且og,8og.4-2,则a=一 【探究过程】 问题1.指数函数与对数函数的图象、性质及应用 【探究1】具有过定点、有渐近线及参数不定型（分类讨论）的图象特点 (1)已知函数y=a 1 +b的图象经过原点，且无限接近直线y=2,但不相交，则ab=() 2 A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 【思维收敛】y=a+m+n恒过定点(-m,n+1), (2)己知函数①y=logx;②y=log6x;③y=ogx;④y=logX的大致图象如图所示，则下列不等关 系正确的是() ①y=logx A.a+c<b+a B.a+d<b+c ②y=logx C.b+c<a+d D.b+d<a+c ③y=-logx ④y-logx 【针对训练1】直线y=3a与函数y=a-1(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围 是 5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.2xXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 【拓展探究】指、对函数图象交点与方程的根 (1)已知x,x2是方程2+x=10,10g2x+x=10的两个根，则x+x2=- (2)设方程2+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分别为P,9,设函数f(x=(x+p(x+q),则() A.f(2)=f(0)<f(3 B.f(0)=f3)>f2) C.f(3)<f(2)=f(0 D.f(0)<f3)<f(2) 【针对训练2】设方程 1 +x-5=0的解为X,X2,方程08！x+x-5=0的解为5，&，则 x1+X2+x3+X4= 【针对训练3】函数y=log。x+a+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k且 m>0,n>0,则9咖+m的最小值为 mn 【思维收敛】log(x-m)+n恒过定点(m+1,n). 6 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 问题2.指数式及对数式的比较大小问题 【探究2】 (1)若a,b∈R,则“a>b"是"3“-3>2-2"的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2）设a=1g:3,b=03,c=,则() A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a (3)若ae=blnb(a>0),则() A.a<b B.a=b C.axb D.无法确定 【拓展探究】 (1)设a=l0g23,b=1.39,0.9=1.3,则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b (2)a0全国甲卷)已取d-6,=马=得}=9则() ·独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.b>c>a B.bxaxc C.c>b>a D.c>a>b (3)(2022全国甲卷)已知9m=10,a=10"-11,b=8m-9,则( A.ax0xb B.axbx0 C.bx ax0 D.b>0>a 【针对训练1】已知9=8，m=10-9,n=8”-7,则() A.m>0>n B.m>n>0 C.n>m>0 D.n>0>m 【针对训练2】已知a=n3,b=子c=e,则（) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 【针对训练3】已知a=0.25,b=cos2,c=lgl5,则() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 8 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【针对训练4】(2025全国一卷高考真题)若实数x,y,z满足2+log2x=3+l0g:y=5+log5z,则x, y,z的大小关系不可能是() A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 问题3.解有关指、对数方程和不等式问题 【探究3】利用指数或对数的运算性质解题， 对于形如a=b,a>b,a<b或log。f(x)≥b,log。f(x)<b的形式常用“化同底”转化， 如形如log。f(x)=b的形式，利用b=log。a°转化；再利用指、对函数单调性解决；或用“取对数、 指数”的方法求解； 形如a2r+Ba+C=0或a2x+Ba+C≥0（或<0）的形式，及(1log。x)+B.log。x+C=0类似， 可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解； 解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等 式即可. (1)（多选题)甲、乙两人解关于x的方程2+b.2+C=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2或 x=1g:子，乙写错了常数c,得到的根为-0成=l,则下列是原方程的根的是（) 11 A.x=-1 B.X=1 C.x=0 D.x=2 (2)不等式10-6-3≥1的解集为 9 ·独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.2xXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 【拓展探究】若、。为方程。=日)了（口>）的两个实数解，则+5=一 【针对训练】已知和x是方程9-3+3=0的两根，则9+9 x1+X2 【链接高考】(2024上海高考真题)若∫(x=log.x(a>0,a≠1). (1)y=f(x过(4,2)，求f(2x-2)<f(x)的解集； (2)存在x使得f(x+1)、f(ax)、f(x+2)成等差数列，求a的取值范围. 问题4.指、对函数的综合问题 【探究4】函数与方程的复合问题 指、对函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要理清复合的层次，指、对函数究竞是内层还 10 ·独家授权侵权必究