3.2.1函数的单调性（教学设计）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦《3.2.1函数的单调性》，通过生活实例（学习能力与年龄关系图）和初中已学函数图像导入，搭建从直观感知到符号语言刻画的学习支架，衔接初中定性描述与高中抽象定义的过渡。 特色在于核心素养导向的情境化设计，师生互动生成单调性定义，结合动态函数图像演示发展直观想象，通过定义证明步骤培养逻辑推理，帮助学生提升数学抽象能力，为教师提供完整教学流程与反思改进建议。

2025年嵩县优质教学资源评选活动 ---高一年级必修一《3.2.1函数的单调性》教学设计 课程基本信息 主备人 郭俊飞 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版 教学目标 （1）借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性，理解函数单调性定义，发展直观想象、数学抽象素养; （2）会用定义证明简单函数的单调性；能总结归纳出证明的基本步骤和方法，发展逻辑推理、数学运算素养. 教学重难点 重点：列频率分布表，画频率分布直方图； 难点：根据样本的频率分布估计总体的分布. 学情分析 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势。本节课最大的障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。而高一学生的思维长出在从经验型到理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强，另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。这些都容易产生思维障碍。 教学准备 1.基础教具：提前准备好教材上的典型函数图像（如、、）的PPT课件或手绘板图，也可以准备函数图像动态演示的小程序/网页 2.案例素材：收集2个生活中的单调性实例，比如： 气温随时间的变化（上升/下降的时段对应单调性） 人的学习能力和年龄的关系 3.习题素材：准备3道基础练习题（判断简单函数的单调区间）、1道拓展练习题（结合图像分析单调性的实际应用） 教学过程 （一）创设情境，引入课题 幻灯片给出：有人对人的学习能力和年龄的关系进行研究，得到下面的学习能力关系图 问题1观察图像回答问题 (1)人的学习能力在多少岁达到最大值？ (2)在哪一段时间内学习能力呈上升趋势？而在哪一段学习能力呈下降趋势？ (3)你还能看出什么信息？ 发散问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 师生活动：学生会发现函数图象的上升下降趋势、最高点等特征，引导学生进入本节课的学习。 设计意图：让学生顺理成章地感受到事物的运动变化趋势,一方面激发学生的主动思考；另一方面，让学生明白函数是描述事物变化规律的数学模型以及研究函数性质的必要性． （二）新知探究，引出概念 我们从大家熟悉的二次函数入手 问题 2：画出函数的图象，你能结合图像，描述一下函数的单调性吗？ 师生活动：引导学生用图形语言和自然语言描述.加强对单调性的定性刻画. 设计意图：学生可以观察到单调区间是定义域子集这一事实，也会注意到在描述单调性时要注意到不同区间上的单调性不同. 追问 1：如何用符号语言描述函数的图象在y轴右侧部分从左向右是上升的，如何从自变量数量关系和函数值的数量关系，用数学符号刻画这个特征呢？ 师生活动：“从左到右”就是自变量x增大，“上升”就是函数值y增大．所以得到自然语言：当x≥0时，y随x的增大而增大． 在这个基础上进一步引导：自变量由增大到，表明<，函数值由增大到，表明<；并且蕴含着只要自变量增大了，函数值就会增大的含义，于是得到符号语言：当<，都有<． 追问2：这里对，的取值有什么要求？ 师生活动：让学生展开讨论，教师应当进行适当引导，此时利用反例提醒同学们总结需继续完善，最终要让学生明确，应该是区间[ 0，+∞)上的任意两个数，进而完善符号语言： ∀、[ 0，+∞)，当<，都有<． 设计意图：通过图像直观→定性描述→定量描述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感受数学知识的生成过程，提高学生数学抽象，逻辑推理等素养． 追问3：y轴左侧单调性的符号语言描述如何？ 师生活动：学生通过类比思考作答，教师可以提问一些学生进行回答并及时点评. 设计意图：这个环节是本课的重点，学生已经有了相对应的经验，在书写相关符号语言时就比较自然，这就是一个“示范-模仿-改进-完善”的过程，这样学生能够参与到课堂之中，质量和效率都有保证. 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画和的单调性. 师生活动；小组合作完成，3分钟后进行小组展示，教师点评总结。 设计意图：借助函数图象,进一步练习用符号语言表达函数的单调性. 追问4：单调性是局部性质还是整体性质？能否总结在区间D上单调性的符号表述？ 师生活动：学生思考作答，顺理成章进入定义的总结. （三）概念生成，内涵辨析 单调递增的概念：一般地，设函数的定义域为I，区间D ⊆ I，如果∀、D，当<时，都<，那么就称函数在区间D上单调递增. 特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 师生活动：老师给出单调递增的定义，并带领学生理解定义中区间与定义域的关系、全称量词、符号表示等含义，体会如果改变或者删除一些词语后定义发生的改变. 设计意图：在前面学生已经得到符号化表示的情况下，顺理成章的给出了单调递增的定义，然后通过带领学生学习概念措辞，体会数学概念的精炼和严谨. 问题 3：请同学们模仿单调递增的定义，给出单调递减的定义. 师生活动：老师可以提问同学作答，如果不完整可以请其他同学补充.不管学生作答是否完整，都可以多提问几个同学，让学生在一遍遍的提问中理解记忆. 设计意图：学生掌握单调递增的标志，就是可以模仿说出单调递减的定义. 单调递减的概念：一般地，设函数的定义域为I，区间D ⊆ I，如果∀、D，当<时，都有>，那么就称函数在区间D上单调递减.如右图： 特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格）的单调性，区间D叫做的单调区间. （4） 例题讲解，学以致用 例1.根据定义，研究函数的单调性. 　　师生活动：先让学生独立思考，讨论研究思路，然后再给出严格的表述（可以让几个学生板书），教师再引导学生进行点评. 　　这里教师应该强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；（2）具体的操作方法是，在条件,判断与的大小. 设计意图：对于一次函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，学习了单调性的定义后，利用定义通过严格的逻辑推理对结论进行了证明，体现了形式化定义的作用.同时，通过比较简单的推理过程，让学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本过程. 追问：你能总结例1的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数的单调性的基本步骤吗？ 设计意图：通过追问，引导学生总结出证明函数在区间D单调性的基本步骤： 　　第一步，取值：在区间D上任取两个自变量的值设； 第二步，作差变形：计算 　　第三步，定号；　　 　　第四步，定论：指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性 当堂练习：证明函数在区间内单调递增. 设计意图：考查学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法. 师生活动：先由学生独立思考并写出证明过程，然后组内讨论互学.进一步总结强化利用定义证明函数单调性的方法和步骤. 设计意图：强化学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法 （五）课后作业（课本p79） 　　1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 设计意图：考查学生通过图像观察得到函数的单调性，并会用其解释实际问题. 2.根据定义证明函数 是增函数. 设计意图：考查学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法. 3.画出反比例函数的图像. （1）这个函数的定义域是什么？ （2）它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论. 设计意图：考查学生对单调性定义的理解和掌握. 课堂小结 教师引导学生小结本节课的学习历程、定义生成及应用过程． 1．数学知识：函数的单调性的定义、判断和证明函数的单调性的基本方法． 2．思想方法：从特殊到一般、数形结合、分类讨论、类比等思想方法． 3．研究函数性质的基本路径：观察图象→猜想性质→逻辑推理． （设计意图：教师引导学生小结学习历程、定义生成及应用过程，积累基本活动经验，这些经验为后续学习函数的其他性质提供认知准备和思维范式，体现单元教学的整体性．） 教学反思 （一）教学亮点 1. 情境引入贴合认知：借助一次、二次函数实例，从直观图像感知过渡到抽象定义，降低理解难度。 2.定义生成注重互动：引导学生自主描述规律并逐步规范，培养抽象概括与表达能力。 3.例题设计精准：示范定义法“五步走”规范流程，兼顾图像法与定义法，形成知识闭环。 4.重难点突出：强化“任意性”“区间性”等关键要点，辅以易错提醒，助力概念深化。 （二）教学不足 1.学生参与度不均：定义生成环节主动发言少，多数学生被动倾听，思维参与不充分。 2.变形环节讲解浅显：未深入阐释作差变形的目的与方法，基础薄弱学生理解不透彻。 3.两种方法衔接不畅：未明确图像法与定义法的适用场景，缺乏对比练习强化联系。 4.时间分配失衡：定义讲解耗时过长，练习巩固时间不足，学生解题规范有待强化。 （三）改进措施 1.优化互动形式：采用小组讨论+互评模式，提升全员参与度与思维活跃度。 2.强化变形教学：增加专项练习，讲解因式分解等变形方法，明确变形目标。 3.加强方法对比：设计对比练习，分析两种方法优劣与适用场景，提升解题能力。 4.合理分配时间：压缩冗余讲解，增加分层练习，及时发现并解决问题。 5.完善课后反馈：集中讲评作业问题，设计补救练习，助力查漏补缺。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $