专题01 直线与方程（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题01 直线与方程 【苏教版】 【知识清单1 直线的斜率与倾斜角】 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 2．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识清单2 直线的点斜式、斜截式方程】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【知识清单3 直线的两点式、截距式方程】 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【知识清单4 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【知识清单5 两条直线平行、垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【知识清单6 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【知识清单7 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【知识清单8 直线系方程】 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为 ,λ∈R，但不包括直线l2. 【知识清单9 平面上两点间的距离】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【知识清单10 点到直线的距离】 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【知识清单11 点、线间的对称关系】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【例1】（25-26高二上·天津河北·月考）经过、两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 【变式1.2】（25-26高二上·安徽·月考）已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式1.3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例2】（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【变式2.1】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·广东潮州·月考）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 直线方程的求解】 【例3】（25-26高二上·北京·月考）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·河南·月考）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【变式3.3】（25-26高二上·天津河北·月考）已知．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 【题型4 直线过定点问题】 【例4】（25-26高二上·辽宁·月考）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【变式4-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【题型5 两条直线平行和垂直的判定】 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏·期末）若直线与平行，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【变式5-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【变式5-3】（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【题型6 直线的交点问题】 【例6】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【题型7 三线能围成三角形的问题】 【例7】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式7-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ） A． B． C． D．或或 【变式7-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【题型8 点到直线的距离问题】 【例8】（25-26高二上·河南南阳·月考）点坐标为，直线为，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·江苏南通·月考）“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【变式8.2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8.3】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【题型9 两条平行直线间的距离问题】 【例9】（25-26高二上·湖北·月考）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【变式9-2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）两条平行线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【题型10 点、线间的对称关系】 【例10】（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型11 与距离有关的最值问题】 【例11】（25-26高二上·江苏·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·河南·月考）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【变式11-3】（25-26高二上·河南漯河·月考）已知，直线过点C． (1)将直线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的直线与直线重合，求直线的一般方程； (2)当点B到直线的距离最大时，求点A到直线的距离； (3)若点P在（1）的条件下的直线上，求的最大值，并求此时点P的坐标. 【题型12 光线反射问题】 【例12】（25-26高二上·河北·月考）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高二上·江苏·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高二上·河北邯郸·月考）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南·月考）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 2．（25-26高二上·广东深圳·月考）已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（25-26高二上·天津·期中）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为a 6．（25-26高二上·天津津南·月考）已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 9．（25-26高二上·福建漳州·月考）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为-1 B．过点且不垂直轴 C．若， 则或 D．若， 则 11．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．在轴上的截距为 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 13．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，若，则的值为 . 14．（25-26高二上·江西南昌·月考）直线与直线之间的距离为 . 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．（25-26高二上·重庆涪陵·月考）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 17．（25-26高二上·河北·月考）已知直线． (1)若，求与交点的坐标； (2)若，求与之间的距离． 18．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与方程 【苏教版】 【知识清单1 直线的斜率与倾斜角】 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 2．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识清单2 直线的点斜式、斜截式方程】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【知识清单3 直线的两点式、截距式方程】 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【知识清单4 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【知识清单5 两条直线平行、垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【知识清单6 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【知识清单7 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【知识清单8 直线系方程】 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为 ,λ∈R，但不包括直线l2. 【知识清单9 平面上两点间的距离】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【知识清单10 点到直线的距离】 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【知识清单11 点、线间的对称关系】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【例1】（25-26高二上·天津河北·月考）经过、两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【解答过程】设经过、两点的直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 【答案】D 【解题思路】由斜率的定义式计算即可. 【解答过程】因为点，， 所以直线AB的斜率为． 由题意得，解得. 故选：D． 【变式1.2】（25-26高二上·安徽·月考）已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】根据直线的倾斜角求出斜率，再利用两点的坐标求出斜率，列出方程求出a的值． 【解答过程】因为过两点的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为1，所以，解得． 故选：B． 【变式1.3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C. 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例2】（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【解答过程】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【解答过程】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·广东潮州·月考）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【解答过程】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式2.3】（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求得PA、PB的斜率，设直线的斜率为，分析可得，根据倾斜角与斜率的关系，分析即可得答案. 【解答过程】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，，    或， 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为. 故选：D. 【题型3 直线方程的求解】 【例3】（25-26高二上·北京·月考）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得 . 故选：B. 【变式3.1】（25-26高二上·江苏·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·河南·月考）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或； (2)或． 【解题思路】（1）分直线经过原点、直线不经过原点两种情况讨论，根据条件求出方程即可； （2）得出直线斜率，利用点斜式求方程. 【解答过程】（1）当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 因直线过点，则直线的方程为； 当直线不经过原点时，若它在两坐标轴上的截距相等，则斜率， 因直线过点，则直线的方程为，即． 综上所述，所求直线方程为或； （2）因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为1或， 因直线过点，则直线方程为，即或． 【变式3.3】（25-26高二上·天津河北·月考）已知．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）求中点的坐标，再求直线的斜率，利用点斜式表示直线，再化成一般式即可； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； （3）分直线在轴和轴的截距为0与不为0两种情况讨论可求解． 【解答过程】（1）由于，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； （3）当直线在轴和轴的截距为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即； 当直线在轴和轴的截距不为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，所以，即； 综上所述：过点且在轴和轴的截距相等的直线方程为或． 【题型4 直线过定点问题】 【例4】（25-26高二上·辽宁·月考）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意列方程组计算即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【解答过程】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【解答过程】（1）因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 【变式4-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【解题思路】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【解答过程】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点； （2）已知直线：， 令，得，得， 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值， 此时，直线的方程为，即. 【题型5 两条直线平行和垂直的判定】 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【解答过程】由，可知， 解得， 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏·期末）若直线与平行，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【解题思路】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【解答过程】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【解答过程】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. 【变式5-3】（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【解答过程】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 【题型6 直线的交点问题】 【例6】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【解答过程】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【解答过程】由， 与垂直的直线方程可设为， 把代入，得， 故选：B. 【题型7 三线能围成三角形的问题】 【例7】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【变式7-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ） A． B． C． D．或或 【答案】D 【解题思路】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【解答过程】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【解答过程】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【解答过程】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 【题型8 点到直线的距离问题】 【例8】（25-26高二上·河南南阳·月考）点坐标为，直线为，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合点到直线的距离公式即可求出结果. 【解答过程】根据点到直线的距离公式，将和直线（，，）代入，得. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏南通·月考）“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【答案】A 【解题思路】由点到线的距离公式列出等式求得，即可判断. 【解答过程】解：点到直线的距离：； 点到直线的距离：， 由，得，即， 解得或，即或。 故“”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【解答过程】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 【变式8.3】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【解答过程】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 【题型9 两条平行直线间的距离问题】 【例9】（25-26高二上·湖北·月考）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【解题思路】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）两条平行线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平行直线间的距离公式进行求解即可. 【解答过程】将直线化简得， 故两条平行线间的距离． 故选：C. 【变式9-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【解题思路】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【解答过程】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A. 【题型10 点、线间的对称关系】 【例10】（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B. 【变式10-1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【解答过程】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式10-2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【解答过程】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C. 【变式10-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【解答过程】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B. 【题型11 与距离有关的最值问题】 【例11】（25-26高二上·江苏·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【解答过程】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 【变式11-1】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 【变式11-2】（25-26高二上·河南·月考）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1)， (2)39 (3)， 【解题思路】(1)根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， （2）根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， （3）求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标. 【解答过程】（1）设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. （2）因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为.    【变式11-3】（25-26高二上·河南漯河·月考）已知，直线过点C． (1)将直线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的直线与直线重合，求直线的一般方程； (2)当点B到直线的距离最大时，求点A到直线的距离； (3)若点P在（1）的条件下的直线上，求的最大值，并求此时点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）利用两点之间的斜率公式及点斜式计算再转化为一般式方程即可； （2）根据点到直线的距离公式及直线过定点计算即可； （3）利用三角形三边关系结合两直线交点计算即可. 【解答过程】（1）由题意可得点平移后对应的点的坐标为， 则直线的斜率， 故直线的方程为， 即. （2）因为直线过点， 所以点到直线的距离， 当且仅当时，取得最大值， 此时，即，解得， 则直线的方程为，即， 故点到直线的距离为. （3）由（1）可知直线的方程为. 连接，并延长（两点都在直线的下方），交直线于点. 当点与点重合时，； 当点与点不重合时，. 因为，所以， 则的最大值是. 由得 所以当取得最大值时，点的坐标为. 【题型12 光线反射问题】 【例12】（25-26高二上·河北·月考）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出点关于轴的对称点的坐标，再利用两点式求直线的方程. 【解答过程】设点关于轴的对称点为，则. 又点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射， 所以反射光线所在的直线经过点和， 由两点式可知所求的直线方程为，即. 故选：A. 【变式12-1】（25-26高二上·江苏·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得直线的方程，分别求得点关于直线及y轴的对称点，再求得的方程，即可求解. 【解答过程】由点和，可得直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点， 则，解得， 点关于直线对称点为，点关于y轴对称点为， 直线即为直线，则直线的方程为，即. 故选：D. 【变式12-2】（25-26高二上·河北邯郸·月考）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【解答过程】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 【变式12-3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【解答过程】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南·月考）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用两点斜率公式计算即可. 【解答过程】点所在直线的斜率为. 故选：A. 2．（25-26高二上·广东深圳·月考）已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出已知直线的倾斜角，进而求出直线的倾斜角，结合直线过点求出直线方程． 【解答过程】设直线的倾斜角为α，则， 直线的斜率为1， ，故， 直线l过点，其倾斜角是直线的两倍， 直线l的倾斜角为， 直线l的斜率不存在，又直线过点， 直线方程为，即，故B正确． 故选：B． 3．（25-26高二上·江苏·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【解答过程】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 4．（25-26高二上·天津·期中）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【解答过程】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 5．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为a 【答案】D 【解题思路】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D. 【解答过程】对于A，当时，直线，斜率， 则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得，故C错误； 对于D，，当时， 所以直线 的纵截距为，故D正确. 故选：D. 6．（25-26高二上·天津津南·月考）已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【解答过程】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为，    由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【解答过程】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为， 点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D. 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【解答过程】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·福建漳州·月考）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【解答过程】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD. 10．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为-1 B．过点且不垂直轴 C．若， 则或 D．若， 则 【答案】AD 【解题思路】根据截距的含义、两直线平行、垂直与斜率的关系进行逐项判断计算即可. 【解答过程】对于A：直线，令，则， 所以在轴上的截距为-1，A正确； 对于B：直线，将点代入方程中发现等式左边不为0， 所以该点不在直线上，B错误； 对于C：因为，所以，化简得， 解得或，当时，直线，直线， 两直线重合，C错误； 对于D：因为，所以，即，解得，D正确. 故选：AD. 11．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．在轴上的截距为 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为 【答案】AC 【解题思路】利用点与直线的位置关系可判断A选项；利用截距的定义可判断B选项；求出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为直线的方程为，且， 故点在直线上  ，A对； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以在轴上的截距为，B错； 对于C选项，在直线的方程中，令，可得， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C对； 对于D选项，直线的方程可化为，则直线与直线平行， 所以，直线到的距离为，D错. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【解题思路】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【解答过程】由题意：直线斜率， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，若，则的值为 . 【答案】 【解题思路】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【解答过程】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 14．（25-26高二上·江西南昌·月考）直线与直线之间的距离为 . 【答案】 【解题思路】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【解答过程】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)0或2 (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，解得或2. （2）若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 16．（25-26高二上·重庆涪陵·月考）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用两条直线垂直，在两条直线都有斜率的情况下，利用求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式求出所求直线方程； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，利用已知两点的斜率公式求出所求直线的斜率为，利用直线的点斜式求出所求直线方程；当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，设所求直线方程为截距式，代入点，计算出，将代入截距式整理得解. 【解答过程】（1）设所求直线的斜率为，已知直线的斜率为， 所求直线和已知直线垂直，，，， 又所求直线过点，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 整理得即为所求； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 所求直线又过点， 则所求直线的斜率为，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 即； 当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 设所求直线方程为截距式，又所求直线过点， 将点代入，得到，解得， 将代入得到，整理得即为所求； 综上可知，所求直线方程为或. 17．（25-26高二上·河北·月考）已知直线． (1)若，求与交点的坐标； (2)若，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将代入两条直线，再联立两条直线方程即可得解； （2）根据平行关系先求出的值，然后根据平行线间的距离公式求解出与间的距离. 【解答过程】（1）若，则，联立，， 解得，即与交点的坐标为. （2）若，则，整理得，解得或. 当时，（即），， 则与之间的距离； 当时，（即），（即），此时重合，不满足题意，故舍去. 综上所述，与之间的距离. 18．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【解答过程】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $