5.3.2 第1课时 函数的极值(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.3.2　函数的极值与最大（小）值 第一课时　函数的极值 1.D　2.B　3.A　4.D　 5.C　f（x）＝aln x＋－（x＞0），则f'（x）＝－＋＝（x＞0），函数f（x）既有极大值又有极小值，等价于一元二次方程ax2－x＋2＝0在（0，＋∞）上有2个不同的实根，则解得0＜a＜，即实数a的取值范围为. 6.BC　当x＝1时，f'（1）≠0，所以x＝1不是f（x）的极值点，所以A错误；当x∈（－3，－1）时，f'（x）＜0，当x∈（－1，2）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（－3，－1）上单调递减，在（－1，2）上单调递增，所以x＝－1是f（x）的极小值点，所以B正确；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（2，4）上单调递减，所以x＝2是f（x）的极大值点，所以C正确，D错误. 7.CD　f'（x）＝3x2－6x.令f'（x）＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0.令f'（x）＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）在区间（－∞，0）和（2，＋∞）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减.当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4. 8.1　－3　解析：∵f'（x）＝3ax2＋b，∴f'（1）＝3a＋b＝0①.又当x＝1时，函数f（x）有极值－2，∴a＋b＝－2②.联立①②解得经检验知符合题意，故a，b的值分别为1，－3. 9.0　解析：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝a－＝，所以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点. 10.解：（1）因为f（x）＝x（a＋ln x），x＞0. 所以f'（x）＝a＋ln x＋x·＝ln x＋a＋1，x＞0. 由题意f'（e）＝4⇒ln e＋a＋1＝4⇒a＝2. （2）因为f（x）＝x（2＋ln x），x＞0. 所以f'（x）＝ln x＋3，x＞0. 由f'（x）＞0⇒ln x＋3＞0⇒x＞e－3；由f'（x）＜0⇒ln x＋3＜0⇒0＜x＜e－3. 所以函数f（x）在（0，e－3）上单调递减，在（e－3，＋∞）上单调递增. 所以当x＝e－3时，函数取得极小值，且f（e－3）＝e－3·＝－. 11.B　由y＝ex－2mx，得y'＝ex－2m.因为函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，所以ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，因为x＜0，所以0＜ex＜，所以0＜m＜. 12.AD　x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，就是存在正数m，使得在（x0－m，x0）上，f'（x）＞0，在（x0，x0＋m）上，f'（x）＜0.设g（x）＝f（－x），g'（x）＝－f'（－x），当－x0＜x＜－x0＋m时，x0－m＜－x＜x0，f'（－x）＞0，g'（x）＜0，同理当－x0－m＜x＜－x0时，g'（x）＞0，所以－x0是f（－x）的一个极大值点，从而－x0是－f（－x）的一个极小值点，x0是－f（x）的一个极小值点.不能判定－x0是不是－f（x）的极值点. 13.[1，5）　解析：因为f'（x）＝3x2＋2x－a，函数f（x）在区间（－1，1）上恰有一个极值点，即f'（x）＝0在（－1，1）内恰有一个根.又函数f'（x）＝3x2＋2x－a的对称轴为直线x＝－，所以应满足即解得1≤a＜5. 14.解：（1）∵f（x）＝aln x＋bx2＋x， ∴f'（x）＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知：f'（1）＝f'（2）＝0， ∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0， 解得a＝－，b＝－. （2）由（1）可知f（x）＝－ln x－x2＋x，且其定义域是（0，＋∞）， f'（x）＝－x－1－x＋1＝－. 当x∈（0，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＜0； 当x∈（1，2）时，f'（x）＞0， ∴x＝1是函数f（x）的极小值点， x＝2是函数f（x）的极大值点. 15.解：（1）f（x）的定义域为R. f'（x）＝3x2－2x－1＝（3x＋1）（x－1）. 令f'（x）＝0，得x＝－或x＝1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－） － （－，1） 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f（x）的极大值是f（－）＝＋a，极小值是f（1）＝a－1. （2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0， x取足够小的负数时，有f（x）＜0， 所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点. 由（1）知f（x）极大值＝f（－）＝＋a， f（x）极小值＝f（1）＝a－1. 因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点， 所以f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0， 所以a＜－或a＞1， 所以当a∈（－∞，－）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　函数的极值 1.下列函数中，存在极值的是（　　） A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝ D.y＝x2－2x 2.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点组成的集合为（　　） A.{x1，x2，x3} B.{x1，x3} C.{x1，x2，x4} D.{x3} 3.设函数f（x）＝x＋，则f（x）的极大值点和极小值点分别为（　　） A.x＝－2，x＝2 B.x＝2，x＝－2 C.x＝5，x＝－3 D.x＝－5，x＝3 4.已知a是函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（　　） A.－4 B.－2 C.4 D.2 5.若函数f（x）＝aln x＋－既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕如图为函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　） A.f（x）在x＝1处取得极大值 B.x＝－1是f（x）的极小值点 C.f（x）在（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增 D.x＝2是f（x）的极小值点 7.〔多选〕对于函数f（x）＝x3－3x2，下列给出的选项中正确的是（　　） A.f（x）是增函数，无极值 B.f（x）是减函数，无极值 C.f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2） D.f（0）＝0是极大值，f（2）＝－4是极小值 8.函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a＝　　　　，b＝　　　　. 9.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为　　　　. 10.已知函数f（x）＝x（a＋ln x），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x－1平行. （1）求a的值； （2）求f（x）的极值. 11.若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜ B.0＜m＜ C.m＞ D.0＜m＜1 12.〔多选〕定义在R上的函数f（x），已知x0（x0≠0）是它的极大值点，则以下结论正确的是（　　） A.－x0是f（－x）的一个极大值点 B.－x0是－f（x）的一个极小值点 C.x0是－f（x）的一个极大值点 D.－x0是－f（－x）的一个极小值点 13.若函数f（x）＝x3＋x2－ax－4在区间（－1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为　　　　. 14.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； （2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 15.设函数f（x）＝x3－x2－x＋a（a∈R）. （1）求 f（x）的极值； （2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $