精品解析：内蒙古鄂尔多斯康巴什区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

康巴什区2025-2026学年第一学期初中学生综合素养中期测评 八年级 数学 一、选择题（本大题共有7小题，每小题3分，共21分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 4，4，9 B. 4，5，10 C. 6，8，11 D. 7，9，16 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为( ) A. B. C. D. 5. 如图，a，b，c分别表示的三边长，下面三角形中与一定全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上情况均有可能 7. 如图，若线段上有一动点C，分别以为边在同方向作等边和等边，连接，交于点E，连接，交于点F，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在答题卡上对应的横线上） 8. 如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是______． 9. 若，，则___________； 10. 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 11. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，EF⊥BC于点F.若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为________． 12. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置） 13. 计算 （1） （2） （3） 14. 已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴___________①___________（ ② ）， ∵是的垂直平分线， ∴，___________③___________， 又∵ ∴（ ④ ）， ∵， ∴， 在和中，， ∴（ ⑥ ）， ∴． 15. 已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． （1）求证：； （2）猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 16. 知识生成：我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：由图1，可以得到．基于此，请解答下列问题． （1）若，，直接写出的值：___________． 问题解决 （2）如图2，一学校准备在原有长方形用地上进行装修和扩建，先用长为的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以为边，分别向外扩建出正方形，正方形两块空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园．若两个功能性花园的面积之和为，求原有长方形用地的面积． 17. 了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图，观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 如图，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 ___________ 的长度； （2）第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长？并说明理由． （3）第三小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 18. 综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康巴什区2025-2026学年第一学期初中学生综合素养中期测评 八年级 数学 一、选择题（本大题共有7小题，每小题3分，共21分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 4，4，9 B. 4，5，10 C. 6，8，11 D. 7，9，16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】A：∵，∴ 不能构成三角形； B：∵，∴ 不能构成三角形； C：∵，∴ 能构成三角形； D：∵，∴ 不能构成三角形， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，a，b，c分别表示的三边长，下面三角形中与一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据图形逐一判断即可． 【详解】解：由图可知， A．，b为邻边而非对边，不可能全等； B．，b为邻边而非对边，不可能全等； C．，a、b夹角为，与题干一致，可用证明全等； D．，为a对角而非c对角，不可能全等； 故选：C． 6. 图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上情况均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故选：A． 7. 如图，若线段上有一动点C，分别以为边在同方向作等边和等边，连接，交于点E，连接，交于点F，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故①②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在答题卡上对应的横线上） 8. 如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 9. 若，，则___________； 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用． 逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 10. 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 11. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，EF⊥BC于点F.若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为________． 【答案】65° 【解析】 【详解】分析：先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 详解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°﹣15°=75°． ∵∠C=35°，∴∠CAD=75°﹣35°=40°． ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°， ∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°． 故答案为65°． 点睛：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 12. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置） 13. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）直接计算多项式除以单项式即可； （3）先计算乘法公式，再去括号，合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 14. 已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴___________①___________（ ② ）， ∵是的垂直平分线， ∴，___________③___________， 又∵ ∴（ ④ ）， ∵， ∴， 在和中，， ∴（ ⑥ ）， ∴． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2）①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤；⑥. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴（等量代换）， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤；⑥. 15. 已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． （1）求证：； （2）猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴． （2） 是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由平行线的性质得出，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由等边对等角得出，由全等三角形的性质得出，再由角的和差关系即可得出，再根据等角对等边即可得出，即可得出是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 知识生成：我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：由图1，可以得到．基于此，请解答下列问题． （1）若，，直接写出的值：___________． 问题解决 （2）如图2，一学校准备在原有长方形用地上进行装修和扩建，先用长为的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以为边，分别向外扩建出正方形，正方形两块空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园．若两个功能性花园的面积之和为，求原有长方形用地的面积． 【答案】（1）41 （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求值； （2）设，，则，，利用完全平方公式变形求出即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：设，， 由题意得， ， 两个功能性花园的面积之和为， ， ， ， 即原有长方形用地的面积为． 17. 了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图，观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 如图，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 ___________ 的长度； （2）第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长？并说明理由． （3）第三小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 【答案】（1） （2） 线段的长度就是河宽的长度，理由如下： 由题意，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的长度就是河宽的长度． （3） 第三小组的方案可行，证明如下： 延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第三小组的方案可行． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （2）证明，所以，从而求解； （3）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解 【小问1详解】 解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 【答案】（1）①； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ②作，交于点，证明即可得到答案 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②略 （2）①略 ②在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $