5.1.1 变化率问题（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“变化率问题”，核心讲解平均变化率与瞬时速度概念。从必修一函数单调性定性研究切入，以高台跳水运动员运动为情境支架，通过计算不同时间段平均速度，逐步引出瞬时速度的极限思想，搭建前后知识衔接桥梁。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过平均速度能否准确反映运动状态的追问，渗透极限思想，培养数学抽象与逻辑推理核心素养。以高台跳水运动员t=1s瞬时速度计算为例，展示“平均速度→极限→瞬时速度”的思维过程，题型探究与课堂小结归纳步骤，助力学生掌握方法，教师可高效备课提升教学效果。

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题（第一课时） 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 新课导入 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 下面我们就来研究这个问题. 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 新知探究 情景1 高台跳水运动员的速度 新知探究 情景1 高台跳水运动员的速度 问题1 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 视频中，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 新知探究 请计算对应时间段的平均速度： 新知探究 再计算： 追问1 (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? (1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 新知探究 追问2 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t =1s时的瞬时速度吗? 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 新知探究 问题2 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？ Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 新知探究 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. -6.951 -6.9951 -6.99951 -6.999951 -6.9999951 -7.049 -7.0049 -7.00049 -7.000049 -7.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于 -7. 新知探究 新知探究 思考 (1) 求运动员在t =0.5 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 新知探究 思考 (1) 求运动员在t =0.5 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 解： 因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为 归纳小结 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 课后练习 课本练习 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=1.5 s时的瞬时速度. 课后练习 课本练习 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课后练习 课本练习 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 平均速度 题型一 题型探究 【例1】 一个质点沿直线运动，运动方程为，其中 的单位为， 的单位为 . (1)求该质点从 的平均速度； (2)求该质点在 内的平均速度. [解析](1) ， ， 所以该质点从到的平均速度 . (2)在到的时间段内，该质点的平均速度 . 平均速度 题型一 题型探究 【例2】小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起，时间 内所经过的位移为 ，求小球在时间段 内的平均速度. [解析] 因为小球在时间内所经过的位移为 ， 所以在时间段 内的平均速度为 . 平均速度 题型一 题型探究 提分笔记 求物体运动的平均速度的主要步骤 已知沿直线运动的物体的运动方程为 (1)计算位移的改变量； (2)计算时间的改变量 ； (3)求平均速度 . 瞬时速度 题型二 题型探究 【例3】已知沿直线运动的物体的位移与时间的关系式为 （位移单位： ，时间单位：），求该物体在第 时的瞬时速度. [解析] 设附近的时间增量为， 则物体在与 内的平均速度为 ， 所以物体在第时的瞬时速度 . 瞬时速度 题型二 题型探究 迁移应用2 一个物体的运动方程为（位移单位: ，时间单位:），则 物体在到内的平均速度为________，物体在 末的瞬时速度为_________. [解析] 由题意得物体在到 内的平均速度 ， 设在末附近的时间增量为，则物体在 末的瞬时速度 空间向量的线性运算 题型二 题型探究 解题感悟 计算瞬时速度的步骤 已知沿直线运动的物体的运动方程为 （1）先计算平均速度 ； （2）再计算瞬时速度：物体在 时刻的瞬时速度是平均速度的极 限值，即 . 课堂达标 1.已知某质点的运动方程是，当 由1变到2时，其路程的增量 等于( ) B A. B. C. 1 D. [解析] . 课堂达标 2.某物体做自由落体运动的位移，，若， 则 是该物体( ) A A. 从到 这段时间的平均速度 B. 从到 这段时间的平均速度 C. 在 这一时刻的瞬时速度 D. 在 这一时刻的瞬时速度 课堂达标 3.一物体的运动方程为，测得该物体在 这一时刻的瞬时速度为 ，则 ___. 1 [解析] 由物体的运动方程， 得在 内的平均速度， 所以在 这一时刻的瞬时速度， 则 的值为1. 课堂小结 1.本节课收获了哪些知识？ 平均速度 瞬时速度 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 感谢聆听! Lavf55.33.100 $