5.1.1 变化率问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“变化率问题”，核心内容包括平均变化率到瞬时变化率的过渡，以及割线与切线斜率的关系，通过质点运动、汽车行驶等实例导入，以“逐点清”分模块搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于实例驱动与极限思想渗透，结合物理运动（如自由落体、枪弹运动）和几何曲线实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过定义辨析、微点练明发展数学思维，用符号表达和图像分析强化数学语言。逐点突破的结构帮助学生逐步理解，教师教学更有条理，提升效率。

第五章 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其意义 5.1 变化率问题 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 5.1.1 课时目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系，初步体会极限思想. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　平均速度 逐点清(二)　瞬时速度 逐点清(三)　抛物线在某点处的 割线、切线斜率 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　平均速度 01 定义 我们把位移s看成关于时间t的函数s=s(t)，则物体在时间 段[t1，t2]上的平均速度=_____________ 物理 意义 物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的______ 多维理解 快慢 |微|点|助|解| 　　把速度v看成关于时间t的函数v=v(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度=. 1.一质点按运动方程s(t)=作直线运动，则其从t1=1到t2=2的平均速度为(　　) A.-1 B.- C.- D.- √ 微点练明 解析：从t1=1到t2=2的平均速度为=-=-. 2.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为，则平均速度最小的是(　　) √ A. B. C. D. 解析：设路程y与时间t的函数关系为y=f(t)，则=，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图，由图可知，k3最小，即最小. 3.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t，t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度； 解：物体在区间上的平均速度为===， 物体在区间上的平均速度为===. (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：由(1)可知-=>0，所以<.作出函数s(t)=sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)=sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. 逐点清(二)　瞬时速度 02 (1)把物体在_________的速度称为瞬时速度. (2)从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. (3)设物体运动的位移与时间的函数关系为s=s(t)，则物体在t0时刻的瞬 时速度为v=________________________. 多维理解 某一时刻 |微|点|助|解| (1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零. (2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t=t0时的瞬时速度. (3)“lim”意为极限，=l表示当Δt→0时，以常数l为极限. 1.如果某质点运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)=，那么该质点在t=3秒时的瞬时速度为(　　) A.m/s B.-m/s C.m/s D.-m/s √ 微点练明 解析：===-， 所以==-.故选D. 2.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t=3时的瞬时速度为v2，则=(　　) A. B. C. D. √ 解析：根据平均速度定义可知，在t∈[2，3]内的平均速度为v1== =7.在t=3时的瞬时速度为v2= =(8+Δt)=8.所以=. 3.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a=5× 105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 解：枪弹在枪筒中的运动方程为s=at2，因为Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt +a(Δt)2，所以=at0+aΔt，所以=at0.由题意知，a=5×105 m/s2，t0=1.6×10-3 s，所以at0=8×102=800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 逐点清(三)　抛物线在某点处的 割线、切线斜率 03 1.曲线的切线 设P0是曲线上的一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线. 2.曲线切线的斜率 设P0(x0，y0)是曲线y=f(x)上一点，则曲线y=f(x)在点P0(x0，y0)处的切 线的斜率k0=_______________________. 多维理解 3.切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. [典例]　求抛物线f(x)=x2-x在点(2，2)处的切线方程. 解：因为==3+Δx. 所以切线的斜率k==(3+Δx)=3. 则切线方程为y-2=3(x-2)，即3x-y-4=0. [变式拓展] 　求抛物线f(x)=x2-x在(1，0)处切线的倾斜角. 解：因为==Δx+1， 所以切线斜率k=(Δx+1)=1. 故抛物线在(1，0)处切线的倾斜角为45°. |思|维|建|模| 　　解答此类问题，一般是根据曲线的割线与切线的关系，先求出割线的斜率，再令Δx→0，求得曲线在该点处的切线的斜率. 1.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0，y0)处的切线斜率为-8，则点M的坐标为________.  针对训练 (-2，9) 解析：由题意知=(4x0+2Δx)=4x0=-8，则x0=-2，故点M的坐标为(-2，9). 2.求曲线y=在点A处的切线的斜率，并写出切线方程. 解：设y=f(x)=，∵Δy=f-f=-2=，∴=，∴切线的斜率k==-4， ∴切线方程为y-2=-4，即4x+y-4=0.  课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知某质点运动的方程是s=2+，当t由1变到2时，其位移的增量Δs等于(　　) A. B.- C.1 D.-1 √ 解析：Δs=-(2+1)=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1，则的值为(　　) A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 √ 解析：令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22) =-0.11，∴==-1.1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知曲线y=2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为 (　　) A.4 B.16 C.8 D.2 √ 解析： k==8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2，且Δt无限趋近于0时，无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是(　　) A.物体在0~1 s这一段时间内的速度 B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度 C.物体在1 s这一时刻的速度 D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由平均速度的概念，表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度，其极限值即=9.8 m/s，表示在t=1 s这一时刻的瞬时速度. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.一物体的运动方程是s(t)=t+，则在t=2时的瞬时速度是(　　) A. B. C.1 D.2 √ 解析：∵Δs=2+Δt+-2-=Δt-，∴=1-， ∴在t=2时的瞬时速度为==1-=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m，Δt=2-1=1，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以===18+m=20 m/s，解得m=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是 (　　) A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2-s0> s1-s0，t1-t0>0，所以>，则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，则 (　　) A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时 D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，==(3+Δt) =3，即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s，A错误；对于B，==(1+Δt)=1，即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s，B正确；对于C，设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，则=(2t0+1+Δt)=2t0+1=9，所以t0=4，物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s，C正确；对于D，==2(m/s)，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知一列火车在启动后做匀加速直线运动，火车行驶的距离s(单位：km)与经过的时间t(单位：s)(0≤s≤10)满足的函数关系为s(t)= (1.5t-1)，则火车在1≤t≤2这段时间中的平均速度是______km/s.  0.075 解析：在1≤t≤2这段时间，火车行驶的距离增加了s(2)-s(1)=0.075(km)，火车在这段时间中的平均速度==0.075(km/s). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若一个物体的运动规律如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s(t)=则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为__________，___________.  6 m/s 0 m/s 解析：∵物体在t=1附近的平均速度为== =6+3Δt，∴当Δt趋近于0时，趋近于6，∴物体在t=1时的瞬时速度为6 m/s.∵物体在t=3附近的平均速度为==3Δt，∴当Δt趋近于0时，趋近于0，∴物体在t=3时的瞬时速度为0 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若f(x)为可导函数，且=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为_____. 1 解析：因为=-1， 故所求切线的斜率k===1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)过曲线y=图象上一点(2，-2)及邻近一点(2+Δx，-2+Δy)作割线，则当Δx=0.5时割线的斜率为_______，在点(2，-2)处的切线斜率为_____.  1 解析：割线的斜率k====2=. ====1，故切线斜率为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s= f(t)= 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(3分) 解：∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt=5-3=2，物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48， ∴===24(m/s)，∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为24 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)物体的初速度v0；(4分) 解：求物体的初速度v0，即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵==3Δt-18， ∴物体的初速度v0= (3Δt-18)=-18(m/s). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)物体在t=1时的瞬时速度.(3分) 解：∵==3Δt-12， ∴物体在t=1时的瞬时速度为 (3Δt-12)=-12(m/s). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=，A(1，f(1))，B(2，f(2)). (1)设割线AB的斜率为k1，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为k2，判断k1与k2的大小关系，并说明理由；(5分) 解：k1<k2.理由如下： 易知A(1，1)，B(2，)，所以割线AB的斜率k1==-1， 点A处的切线斜率k2====， 所以k2>k1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求a的值.(5分) 解：点(a，f(a))处的切线斜率为==， 所以f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y-=(x-a)，即y=x+， 其在x轴和y轴的截距分别为-a和，所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故=2，解得a=4.故a的值为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $