5.1.2 第2课时 导数的几何意义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的几何意义，系统讲解其概念、与函数变化的关系及导函数应用。通过物理学曲线运动瞬时速度方向导入，衔接平均到瞬时变化率，以割线变切线的动态过程搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以直观想象为核心，结合数学运算与推理意识，如通过图形展示导数几何意义，例1分情况求切线方程训练运算能力，例2图象辨析培养推理能力。采用“情境-探究-总结”教学法，分层作业满足不同需求，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

第二课时　导数的几何意义 1 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义（直观想象）. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程（数学运算）. 3.了解导函数的概念（数学抽象）. 课标要求 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同. 　　如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？ 情境导入 知识点一　导数的几何意义 01 知识点二　利用导数的几何意义判断函数的变化 02 知识点三　导函数（导数） 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 导数的几何意义 01 PART 目 录 问题1　观察函数y＝f（x）的图象，平均变化率 ＝ 表示什么？瞬时变化率f'（x0）＝ ＝ 表示 什么？ 数学·选择性必修第二册 目 录 提示：容易发现，平均变化率 ＝ 表示的是割线P0P的斜率.如图，当点P沿着曲线无限 趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位 置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在 点P0处的切线.容易知道，割线P0P的斜率k＝ .记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数.因此，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f'（x0）. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 　函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处的 .也就是说，曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 ⁠ ⁠. 切线的斜率　 f'（x0）　 y －f（x0）＝f'（x0）（x－x0）　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　已知函数y＝f（x）＝x3. （1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程； 解：因为f'（x）＝ ＝ ＝ ＝3x2， 所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为k＝f'（－1） ＝3， 所以切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程. 解：（设切点坐标为（x0， ）， 则切线的斜率为k＝f'（x0）＝3 ， 所以切线方程为y－ ＝3 （x－x0）. 将点E（2，0）的坐标代入切线方程， 得－ ＝3 （2－x0）， 则2 （x0－3）＝0，解得x0＝0或x0＝3， 所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求过点P（x0，f（x0））的曲线y＝f（x）的切线方程的策略 （1）当点P（x0，f（x0））是切点时，切线方程为y－f（x0）＝f'（x0） （x－x0）； 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）当点P（x0，f（x0））不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））； 第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1） （x－x1）； 第三步：将点P的坐标（x0，f（x0））代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P （x0，f（x0））的切线方程. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　求曲线y＝ 在点 处的切线方程. 解：曲线在点 处的切线的斜率为 k＝ ＝ ＝－ ， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－ ＝－ （x－2），即x＋4y－4＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 利用导数的几何意义判断函数的变化 02 PART 目 录 问题2　如图是函数y＝h（t）的部分图象，试分析一下导数与函数单调 性的关系. 提示：当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h'（t0）＝ 0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 数学·选择性必修第二册 目 录 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t ＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t ＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说 明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢. 同理，t＝t3，t＝t4时都有h'（t）＞0，h（t）在各自附近单调递增，且 函数在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 若f'（x0）＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝ ⁠. 2. 若f'（x0）＞0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0 附近单调递 ，且f'（x0）越大，说明函数图象变化得越快. 3. 若f'（x0）＜0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0 附近单调递 ，且 越大，说明函数图象变化得越快. 0　 ＞　 增　 ＜　 减　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P69练习1题）（1）已知y＝f（x）的图象如图所 示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　B　） A. f'（xA）＞f'（xB） B. f'（xA）＜f'（xB） C. f'（xA）＝f'（xB） D. 不能确定 B 解析：由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是切线在点A，B处的 斜率，由题图可知f'（xA）＜f'（xB）. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若函数f（x）的导函数在区间 上单调递增，则函数f（x）在 区间 上的图象可能是（　A　） A 解析：函数f（x）的导函数f'（x）在 上单调递增，若对任意x1和x2 满足a＜x1＜x2＜b，则有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根据导 数的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在 内单调递增，观 察图象，只有A选项符合. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x0处的 切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y ＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设 ＝a，则下列不等式正确的是（　　） A. f'（1）＜f'（2）＜a B. f'（1）＜a＜f'（2） C. f'（2）＜f'（1）＜a D. a＜f'（1）＜f'（2） 解析：　由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长速度越来越快，故函 数图象在点（x0，f（x0））（x0∈（0，＋∞））处的切线的斜率越来越 大，∵ ＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 导函数（导数） 03 PART 目 录 问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数 在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ 提示：如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每点处都有导数，即 任给x0∈（a，b），总有 ＝f'（x0），从而对开 区间（a，b）内的每一个值x0，都有唯一确定的函数值f'（x0）与x0对 应，所以在开区间（a，b）内，f'（x）构成一个新的函数，故可通过求 导研究函数的整体变化. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：当x变化时，y＝ 就是x的函数，我们称它为y＝f （x）的导函数（简称导数）. 2. 记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝ y'＝ ⁠. f'（x）　 　 数学·选择性必修第二册 目 录 　　提醒：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）、导函数f'（x）之间的 区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量 的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f （x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x ＝x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值. 数学·选择性必修第二册 目 录 【例3】　已知函数y＝f（x）＝x2－ x， （1）求f'（x）； 解：∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（Δx）2＋2x·Δx－ Δx， ∴ ＝2x＋Δx－ ， ∴f'（x）＝ ＝2x－ . 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求函数f（x）在x＝1处的切线方程. 解：由（1）知f'（1）＝2×1－ ＝ ， 且f（1）＝1－ ＝ ， 故切线方程为y－ ＝ （x－1）， 化简得3x－2y－2＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求导函数的主要步骤 （1）求函数的增量Δy＝f（x＋Δx）－f（x）； （2）求平均变化率 ＝ ； （3）求极限 ，即f'（x）＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　已知f（x）＝ ，通过导函数比较f'（－1）与f'（3）的大小关系. 解：f'（x）＝ ＝ ＝ ＝ － ， ∴f'（－1）＝－1，f'（3）＝－ ， ∴f'（－1）＜f'（3）. 数学·选择性必修第二册 目 录 提能点｜利用导数的几何意义求切点坐标或参数值 【例4】　（1）已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角 为45°，则该切点的坐标为 ⁠； 解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2 ＋ 1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴ ＝4x0＋2Δx，∴f'（x0）＝ ＝ 4x0.又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝ .∴y0＝ 2× ＋1＝ ，∴切点坐标为 . ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋ 的图象在点（1，m）处的 切线，则a＋b＝ ，m＝ ⁠. 解析：由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，∵f'（1）＝ ＝ （a－ ）＝a－2，∴曲线f（x）在点（1，m）处的切线斜率 为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5. 5 3 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练4　已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3 在x＝x0处的切线互相平行，求x0. 解：对于曲线f（x）＝x2－1， k1＝ ＝ ＝ （2x0＋Δx）＝2x0. 对于曲线g（x）＝1－x3，k2＝ ＝ ＝ [－3x0Δx－3 －（Δx）2]＝－3 . 由k1＝k2，得2x0＝－3 ，∴x0＝0或x0＝－ . 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 若曲线y＝h（x）在点P（a，h（a））处的切线方程为2x＋y＋1＝ 0，则（　　） A. h'（a）＝0 B. h'（a）＜0 C. h'（a）＞0 D. h'（a）不存在 解析：　由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h' （a）＝－2＜0. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象 上，且x2＜x1，则f'（x1）与f'（x2）的大小关系是（　　） A. f'（x1）＞f'（x2） B. f'（x1）＜f'（x2） C. f'（x1）＝f'（x2） D. 不能确定 解析：　如图，根据导数的几何意义，f'（x1）为曲线f （x）在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f'（x2）为曲 线f（x）在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可 得0＞k1＞k2，即有f'（x1）＞f'（x2）. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝ x＋2，则f（1）＋f'（1）＝ ⁠. 解析：由图象在M点处的切线方程是y＝ x＋2，得f（1）＝ ×1＋2＝ ，f'（1）＝ .∴f（1）＋f'（1）＝ ＋ ＝3. 3 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 求曲线C：y＝x2在x＝1处的切线方程. 解：把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1，即切点P（1，1），y'｜x＝1＝ ＝ ＝ （Δx＋2）＝2，所以k＝y'｜x＝1＝ 2，所以曲线y＝x2在P（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即 2x－y－1＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）导数的几何意义； （2）函数的单调性与导数的关系； （3）导函数的概念； （4）导数几何意义的应用. 2. 应体会 利用导数的几何意义判断函数的变化体现了数形结合思想. 3. 避易错 切线过某点，这点不一定是切点. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若 ＝x2，则f（x）的导函数f'（x）＝（　　） A. 2x B. x3 C. x2 D. 3x2 解析：　由导数的定义可知， f'（x）＝ ＝x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知函数f（x）的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是 （　　） A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） C. 0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2） D. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　f'（2）和f'（3）分别表示函数f（x）在x＝2和x＝3处的切线斜 率，结合图象可得0＜f'（3）＜f'（2），而f（3）－f（2）＝ ，表示过x＝2和x＝3两点的直线斜率，则0＜f'（3）＜f （3）－f（2）＜f'（2），故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 已知函数f（x）＝ax2＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则 ＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：B　∵f'（1）＝2， ＝ ＝ （aΔx＋2a）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f（1）＝a＋b＝3，∴b ＝2，∴ ＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 某运输公司为运送某物品提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能 在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如图所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输 量）逐步提高的是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　从函数图象上看，要求图象在 上越来越陡峭，在各选项 中，只有B选项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率（单位时间内 的运输量）逐步提高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0）， 且f'（1）＝－2，则f（1）＝（　　） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2， 0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为y＝－2（x－2）.因为切点在曲线 上也在切线上，所以f（1）＝－2×（1－2）＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕曲线y＝ 在点P处的切线的倾斜角为 ，则点P的坐标可能 为（　　） A. （3，3） B. （－3，－3） C. （9，1） D. （1，9） 解析： 　由导数定义得y'＝ ＝ ［－ ］＝－ ，设P（x0，y0），则由导数的几何意义可得－ ＝tan ＝－1，解得 x0＝±3，从而y0＝±3，即点P的坐标为（3，3）或（－3，－3）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有 切线 B. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在 C. 若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜 率不存在 D. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能 存在 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切 线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是 x＝x0，A、C正确；当切线垂直于x轴时，f'（x0）不存在，B错误；当曲 线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，f'（x0）一定不存在，D错 误，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 过点P（－1，2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平 行的直线方程是 ⁠. 解析：由题意知，Δy＝3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2＝3 （Δx）2＋2Δx.∴y'｜x＝1＝ ＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故所求 直线方程为y－2＝2（x＋1），即2x－y＋4＝0. 2x－y＋4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 曲线y＝x＋ 上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围 是 ⁠. 解析：y＝x＋ 上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝y' ＝ ​ ＝ （1－ ）＝1－ ＜1，即k＜1. （－∞，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 已知曲线C：y＝x3. （1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程； 解：∵y'｜x＝3＝ ＝27， ∴曲线C在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x －54. （2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积. 解：∵切线l：y＝27x－54与x，y轴分别相交于点（2，0），（0，－54），∴所求三角形的面积为S＝ ×2×54＝54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物 线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f （x）＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'（x）＝ ＝ 2x＝1，解得x＝ ，所以P ，故点P到直线y＝x－2的最小距离d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 〔多选〕（2025·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋ ，若曲线y＝f （x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（　　） A. －4 B. －2 C. 0 D. 2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：由题得f'（x）＝ ＝ ＝1－ ，设切点坐标为（x0，x0 ＋ ），则切线方程为y－x0－ ＝（1－ ）（x－x0）.又切线过点 （1，0），可得－x0－ ＝（1－ ）（1－x0），整理得2 ＋2ax0－a ＝0　（*）.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，所以方 程（*）有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8（－a）＞0，解得a＞0或a＜ －2.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知函数f（x）＝x3，过点P 作曲线f（x）的切线，则其切线 方程为 ⁠. 解析：设切点为Q（x0， ），得切线的斜率为k＝f'（x0）＝ ＝3 ，切线方程为y－ ＝3 （x－x0），即y＝ 3 x－2 .因为切线过点P ，所以2 －2 ＝0，解得x0＝0或x0 ＝1，从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0. y＝0或3x－y－2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 点P在曲线y＝f（x）＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝ －2x2－1相切，求点P的坐标. 解：设P（x0，y0），则y0＝ ＋1， f'（x0）＝ ＝2x0， 所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0），即y＝2x0x＋1－ ， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由 得2x2＋2x0x＋2－ ＝0， 则Δ＝4 －8（2－ ）＝0， 解得x0＝± ，则y0＝ ， 所以点P的坐标为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法 ——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选 取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝ f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴 的交点的横坐标x1＝x0－ （f'（x0）≠0），称x1是r的 一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－ （f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值； 解： 令f（x）＝x2－2， 则f'（x）＝ ＝2x， 取初始近似值x0＝2， 则x1＝x0－ ＝2－ ＝ ， x2＝x1－ ＝ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）证明：x4＝x0－ － － － . 解：证明：根据题意，可知x1＝x0－ ， x2＝x1－ ，x3＝x2－ ， x4＝x3－ ，上述四式相加， 得x4＝x0－ － － － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $