5.1.2 第1课时 导数的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“导数的概念”，通过摩托车运动、钢铁温度等生活实例导入，衔接上节课平均速度知识，以问题链（如平均变化率与割线斜率关系、平均与瞬时速度联系）搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境激活数学眼光，通过问题驱动和极限思想培养数学思维，结合利润、位移等实例训练数学语言表达。例题分层设计，小结梳理知识清单与思想方法，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

第一课时　导数的概念 1 1.了解导数概念的实际背景 （数学抽象）. 2.理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与意义 （数学抽象）. 3.进一步体会极限思想（数学抽象）. 课标要求 　　在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的 瞬时变化率，例如： （1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位 移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可 以更好地指导运动员进行比赛； （2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准； （3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？ 情境导入 知识点一　函数的平均变化率 01 知识点二　导数的概念 02 知识点三　导数在实际问题中的意义 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 函数的平均变化率 01 PART 目 录 问题1　对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f（x）的 平均变化率如何理解？ 提示：如图所示，函数f（x）在区间 上的平 均变化率，就是直线AB的斜率，其中A（x1，f （x1）），B（x2，f（x2）），事实上kAB＝ ＝ .另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 　对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值 y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为 Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值 ，即 ＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. 　　提醒：平均变化率 ＝ 的几何意义就是函数y＝f （x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0＋Δx，f（x0＋Δx））所在直 线的斜率. 　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10. （1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1； ③0.1；④0.01； 解：∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx， ∴ ＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时， ＝－4.9Δx－3.3＝－13.1. ②当Δx＝1时， ＝－4.9Δx－3.3＝－8.2. ③当Δx＝0.1时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.79. ④当Δx＝0.01时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间 上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解： 当Δx越来越小时，函数h（x）在区间 上的平均变 化率逐渐变大，并接近于－3.3. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求函数平均变化率的三个步骤 （1）求自变量的变化量Δx＝x2－x1； （2）求函数值的变化量Δy＝f（x2）－f（x1）； （3）求平均变化率 ＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　〔多选〕已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间 上的平均变化率的情况是（　　） A. 在区间 上的平均变化率最小 B. 在区间 上的平均变化率大于0 C. 在区间 上的平均变化率比 上的大 D. 在区间 上的平均变化率最大 √ √ 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　函数f（x）在区间上的平均变化率为 ，由函数图象可 得，在区间 上， ＜0，即函数f（x）在区间 上的平均变 化率小于0，即选项D错误；在区间 ， ， 上时， ＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间 上的 最大，故选项A错 误，B、C正确. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 导数的概念 02 PART 目 录 问题2　（1）平均速度和瞬时速度有什么关系？ 提示：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值. （2）类比平均速度与瞬时速度的关系，你认为瞬时变化率的定义是什 么？ 提示：瞬时变化率为 ＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有 ，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫 做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）. 2. 写法：记作f'（x0）或y' ，即f'（x0）＝ ＝ . 　　提醒：对导数概念的再理解：①函数应在x＝x0的附近有定义，否则 导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及 其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值. 极限　 可导　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（1）已知f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝k，则 ＝ 　 　； 解析： ＝ ＝ f'（x0）＝ . 　 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求函数y＝x－ 在x＝1处的导数. 解：因为Δy＝（1＋Δx）－ －（1－ ）＝Δx＋ ，所以 ＝ ＝1＋ ， 所以 ＝ （1＋ ）＝2， 所以y' ＝2，即函数y＝x－ 在x＝1处的导数为2. 数学·选择性必修第二册 目 录 变式　若本例（1）条件不变，则 ＝ ⁠. 解析：∵ ＝f'（x0）＝k， ∴ ＝2 ＝2k. 2k　 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率 ＝ ； （3）取极限，得导数f'（x0）＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　（1）设f（x）是可导函数，且 ＝2，则f' （x0）＝（　A　） A. 2 B. －1 C. 1 D. －2 解析： f'（x0）＝ ＝ ＝2. A 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）函数y＝ 在x＝1处的导数为 　 　. 解析：∵Δy＝ －1， ＝ ＝ ， ＝ ，∴y' ＝ . 　 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 导数在实际问题中的意义 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P65例2、P66例3）某机械厂生产一种木材旋切机， 已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c （x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义. 解：根据导数的定义， ＝ ＝ ＝－2Δx ＋3， 所以c'（1）＝ ＝ （－2Δx＋3）＝3， 同理可得c'（2）＝－1. c'（1）的实际意义：当产量在1千台附近时，多生产1千台旋切机可多获利 3万元； c'（2）的实际意义：当产量在2千台附近时，多生产1千台旋切机少获利1 万元. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限； （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬 时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　一只昆虫爬行的位移s（单位：米）关于时间t（单位：分）的关 系为s（t）＝ 求s'（1）与s'（4），并解释它 们的实际意义. 解：当0≤t＜3时，s（t）＝3t2， ＝ ＝ ＝6 ＋3Δt， ∴s'（1）＝ ＝ （6＋3Δt）＝6. 当t≥3时，s（t）＝15＋3（t－1）2， 数学·选择性必修第二册 目 录 ＝ ＝ ＝18＋3Δt， ∴s'（4）＝ ＝ （18＋3Δt）＝18. s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分， s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 如图，函数y＝f（x）在 上的平均变化率为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析：　 ＝ ＝ ＝－1. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知函数f（x）可导，且满足 ＝2，则函数y＝f （x）在x＝3处的导数为（　　） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 解析：　由题意，知f'（3）＝ ＝－2，故选B. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. （2025·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝ （　　） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 解析：　∵f'（1）＝ ＝ ＝a，又f'（1）＝3，∴a＝3. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 4. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时 爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关 系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度 为 m/s. 解析：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值. 因为 ＝ ＝4.9－4.9Δt，所以h'（1）＝ ＝ （4.9－4.9Δt）＝4.9. 4.9　 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）函数的平均变化率； （2）导数的概念； （3）导数在实际问题中的意义. 2. 应体会 利用导数的概念求导数值时，利用了极限思想. 3. 避易错 用定义求导时，对Δy与Δx的对应关系理解不到位. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 函数f（x）＝x2－1在区间 （m＞1）上的平均变化率为3，则实 数m＝（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 解析：　由已知得 ＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　f'（1）＝ ＝ ＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　） A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 直线 解析：　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量 x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常函数，所以这个函数的图象 是x轴或平行于x轴的一条直线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则 ＝（　　） A. －f'（x0） B. 3f'（x0） C. －3f'（x0） D. －4f'（x0） 解析：　 ＝－4 ＝－4f'（x0）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 若可导函数f（x）的图象过原点，且满足 ＝－1，则f' （0）＝（　　） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 解析：　∵f（x）的图象过原点，∴f（0）＝0，∴f'（0）＝ ＝ ＝－1，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　） A. Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量 B. ＝ 叫做函数从x0到x0＋Δx的平均变化率 C. y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y' D. y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　A中，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量，A 正确；B中， ＝ 叫做函数f（x）从x0到x0＋Δx的平 均变化率，B正确；由导数的定义知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数记为 f'（x0）或y' ，故C错误，D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示， 那么下列说法正确的是（　　） A. f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率 B. f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率 C. 对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬 时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 D. 存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬 时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 对于A、B，∵f（x）在[a，b]上的平均变化率是 ，g（x）在[a，b]上的平均变化率是 ，由题图可知，f（b）＝g（b），f（a）＝g（a），∴ ＝ ，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数f（x）（g（x））在x＝x0处的瞬时变化率即为函数f（x）（g（x））在x＝x0处的导数，即函数f（x）（g（x））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 已知y＝f（x）＝ ，且f'（m）＝－ ，则m＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＝ ＝ ，所以f' （m）＝ ＝－ ，所以－ ＝－ ，m2＝4，解得m＝ ±2. ±2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f （x0）＝ ⁠. 解析：由题知－8＝ ＝ ＝4x0，得x0 ＝－2，所以f（x0）＝2×（－2）2＋1＝9. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. （1）求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数； 解： Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）＝12Δx＋2 （Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，∴ ＝ ＝2Δx＋16. ∴y'｜x＝3＝ ＝ （2Δx＋16）＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求函数f（x）＝ 在x＝x0（x0＞－1）处的导数. 解： f（x）＝ ，则f'（x0）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 〔多选〕对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在 下列式子中无限趋近于2的式子有（　　） A. B. C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　因为 ＝f'（x0）＝2，故A正确；因为 ＝f'（x0）＝2，故B正确；因为 ＝2f'（x0）＝4，故C错误；因为 ＝f'（x0）＝2，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别 为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ ⁠； ＝ .（用数字作答） 2 －2　 解析：由于f（0）＝4，f（4）＝2，所以f（f（0））＝2.易求得直线AB的方程为y＝－2x＋4，所以 ＝ ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞0，且 对于任意实数x，有f（x）≥0，则 的最小值为 ⁠. 解析：由导数的定义，得f'（0）＝ ＝ ＝ [a·（Δx）＋b]＝b＞0.又 ∴ac≥ ，∴c＞0.∴ ＝ ≥ ≥ ＝2，当且仅当a＝c＝ 时等号成立. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青 加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度（单位： ℃）为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，求f'（0.25），并说明它的实际 意义. 解：因为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝40＋80Δx.所以f'（0.25）＝ （40＋80Δx）＝40. 它表示在第0.25 h附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝ －a处的导数之间的关系. 解：设f（－x）＝g（x），则f（－x）在x＝a处的导数为g'（a），于 是g'（a）＝ ＝ . 而f'（－a）＝ ，令x＝－t，则当x→－a时，t→a， 所以f'（－a）＝ ＝－ ＝－g'（a）. 这说明f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数互为相反数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $