5.1.2 第2课时 导数的几何意义（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．1 导数的概念及其意义 5．1．2　导数的概念及其几何意义 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 第2课时　导数的几何意义 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十四） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 P0(x0，f(x0)) 点P0 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 切线的斜率． 导函数 y′ 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十四) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．了解割线的斜率与平均变化率的关系． 2．理解导数的几何意义． 3．会求曲线的切线方程． 1．通过割线的斜率与平均变化率的关系的学习，培养数学抽象、直观想象的核心素养． 2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　导数的几何意义 [问题1]　函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)，其中点P0(x0，f(x0))，点P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，你能说出它的几何意义吗？ [问题2]　当Δx变化时，直线如何变化？ [问题3]　当Δx→0时，直线变化到哪里？ 答：表示过P0(x0，f(x0))和P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的割线P0P的斜率． 答：直线P0P绕点P0转动． 答：直线过点P0与曲线y＝f(x)相切位置． ►知识填空 1．切线的定义 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点_______________时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在__________处的切线． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是____________ 知识点二　导数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数．当x变化时，f′(x) 就是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的_______(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作 _____，即f′(x)＝y′＝____________________eq^\o(,\s\do4(Δx→0))___． limeq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (3)若f′(x)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在．(　　) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(　　) A．4　　　　　　 B．16 C．8 D．2 答案：C 3．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：选B　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，故选B． 4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq \f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________． 解析：由在M处的切线方程y＝eq \f(1,2)x＋2， 得f(1)＝eq \f(1,2)×1＋2＝eq \f(5,2)，f′(1)＝eq \f(1,2)． ∴f(1)＋f′(1)＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)＝3． 答案：3 题型一　求曲线在某点处切线的方程 [例 1]　已知曲线C：y＝x3，求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； 解：将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1，1)． ∴y′＝limeq^\o(,\s\do4(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx)＝limeq^\o(,\s\do4(Δ x→0)) eq \f(（1＋Δx）3－1,Δx) ＝limeq^\o(,\s\do4(Δ x→0)) [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3． ∴k＝3． ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0． 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．　　 [提醒]　若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为eq \f(π,2)，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0． 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个． 1．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________． 解析：∵切线的斜率为k＝－1． ∴点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0． 答案：x＋y－3＝0 2．求曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程． 解：由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的导数． 故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0． 题型二　求切点坐标 [例 2]　已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标． 解：设切点P的坐标为(x0，y0)． 所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0． 因为切线与直线4x－y－3＝0平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝xeq \o\al(2,0)＋6＝10，即切点为(2，10)． 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． 　　 直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为______，切点坐标为______． 解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)， 解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,3)． 当x0＝1时，y0＝xeq \o\al(3,0)－xeq \o\al(2,0)＋1＝1， 又(x0，y0)在直线y＝x＋a上， 将x0＝1，y0＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x0＝－eq \f(1,3)时， y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) eq \s\up12(3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＋1＝eq \f(23,27)， 则切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27)))， 将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27)))代入直线y＝x＋a中得 a＝eq \f(32,27)． 答案：eq \f(32,27)　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27))) 题型三　求曲线过某点的切线方程 [例 3]　已知曲线f(x)＝eq \f(1,x)． (1)求曲线过点A(1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－eq \f(1,3)的曲线的切线方程． 解： 设过点A(1，0)的切线的切点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，① 则f′(x0)＝－2,0)eq \f(1,x) ，即该切线的斜率为k＝－2,0)eq \f(1,x) ． 因为点A(1，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))在切线上， 所以eq \f(\f(1,x0)－0,x0－1)＝－2,0)eq \f(1,x) ， 解得x0＝eq \f(1,2)．故切线的斜率k＝－4． 故曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)， 即4x＋y－4＝0． (2)设斜率为－eq \f(1,3)的切线的切点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))， 由(1)知，k＝f′(a)＝－eq \f(1,a2)＝－eq \f(1,3)，得a＝±eq \r(3)． 所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(3),3)))． 故满足斜率为－eq \f(1,3)的曲线的切线方程为 y－eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(1,3)(x－eq \r(3))或y＋eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(1,3)(x＋eq \r(3))， 即x＋3y－2eq \r(3)＝0或x＋3y＋2eq \r(3)＝0． (1)注意区分“在点A”与“过点A”，“过点A”其切点未必是点A． (2)“过点A(a，b)”时，设出切点坐标M(x0，y0)，利用切点M既在曲线上，又在切线上，联立方程组，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,y0－a＝f′（x0）（x0－b）)) 求出切点M．　　 求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程． 解：设切点为Q(a，a2＋1)，eq \f(f（a＋Δx）－f（a）,Δx)＝eq \f(（a＋Δx）2＋1－（a2＋1）,Δx)＝2a＋Δx，所以所求切线的斜率为k＝limeq^\o(,\s\do4(Δ x→0)) (2a＋Δx)＝2a．因此，eq \f(（a2＋1）－0,a－1)＝2a，解得a＝1±eq \r(2)，所求的切线方程为y＝(2＋2eq \r(2))x－(2＋2eq \r(2))或y＝(2－2eq \r(2))x－(2－2eq \r(2))． [课堂小结] 1．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程 已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线过点(x0，y0)的切线方程 已知点(x0，y0)不论在不在曲线上都不一定是切点，故先设出切点坐标，写出切线方程，然后利用已知点(x0，y0)在切线上，求出切点坐标，进而求出切线方程． 3．根据导数的几何意义知，f′(x0)能反应曲线在x＝x0处的升降及升降快慢程度，f′(x0)为正值，曲线在该点处上升，f′(x0)为负值，曲线在该点处下降，|f′(x0)|越大，曲线在该点升降速度越快． $$