2026年中考数学压轴题专项训练—正方形中的探究类问题类型及解决策略

正方形中的探究类问题类型及解决策略 在一线教学中，教师不难发现学生对正方形的性质、判定掌握得不够，极易和其他特殊平行四边形的性质、定理混淆．另外，由于在学习一些基础知识点时不够扎实，因此学生在解决与正方形有关的问题时总感觉异常困难．正方形中的探究类问题时常出现，是中考命题的热点，但因其综合程度强、难度大，学生始终难解决好这类问题．基于这种现状，本文中先简要分析正方形中探究类问题的主要类型，然后探究其解决策略，希望对一线教师的教学带来实质性的帮助． 一、正方形中探究类问题的主要类型 在初中阶段，特别是中考复习阶段，正方形中的探究类问题特别多，综合程度、难易程度不尽相同．综合来看，正方形中的探究类问题主要有以下几种不同的类型： 1、结论猜想类 所谓结论猜想类，就是根据题中给定的条件对结论进行猜想并证明．这样的猜想类似于正规的证明题，只是需要对结论进行猜想，而不是题目直接给出要证明的结论． 例1 如图1所示，已知正方形ABCD，动点E在AC上，，垂足为A，． （1）BF和DE有怎样的数量关系?请证明你的结论． （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形?请说明理由． 解：（1）． 理由如下： 在正方形ABCD，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形．理由如下： ∵点E运动到AC的中点，， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵，， ∴四边形AFBE是正方形． 2、条件猜想类 所谓条件猜想类，与结论猜想类正好相反，就是根据题目给出的结论猜想需要怎样的条件，并说明理由．这种问题往往要先根据题意给出的结论提出条件猜想，然后根据猜想证明结论的正确性． 例2 如图2中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢?如图3，在正方形ABCD各边上分别取点，，，，使，依次连接它们，得 到四边形，再在四边形各边上分别取点，，，，使，依次连接它们，得到四边形，……如此继续下去，得到四条螺旋折线． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的值； （3）请研究螺旋折线中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明． 分析：结合本文，重点分析第（3）小题．这样的结论比较容易写出，但关键在于抓住相邻线段之间有怎样的关系，继而根据这一关系进行证明．另外，通过仔细观察图形不难发现，尽管各螺旋折线之间的位置有不同情况，但它们必然存在一定的联系或规律．在解决该问题时，抓住这一联系或规律，推导出所需条件或结论都至关重要． 下面是第（3）问的解答过程： （3）结论1：螺旋折线中相邻线段的比均为或． 证明：∵， ∴， 同理可得，…… ∴，…… 结论2：螺旋折线中相邻线段夹角的度数不变． 证明：∵，， ∴， ∴， 同理得， ∵， ∴， 同理，得， 故螺旋折线中相邻线段夹角的度数不变． 二、正方形中探究类问题的解决策略总结 在本文中，无论是结论猜想题，还是条件猜想题，均属于正方形中的探究类问题，都是在猜想的基础上展开探究． 对于结论猜想类问题，只需充分分析题中的已知条件，根据已知条件一步步“靠近”结论，与传统的探究题方法类似． 对于条件猜想类问题，需要解题者从题中所给的结论出发，结合题意探究使得结论成立的条件．往往需要从结论出发，逆推寻找条件，对解题者的要求更高． 综上所述，结论猜想类和条件猜想类是正方形探究类问题最主要的两种类型．前者根据条件猜想结论，后者根据结论猜想条件，解题思路和方法类似，都离不开已知条件或隐含条件的充分运用．所以，一线教师一方面要指导学生不断夯实基础知识点，另一方面要指导学生善于发现并运用题中的隐含条件． 同步检测 1．（2025秋•白云区校级期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．，将绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到．易证：，从而得． 【实践探究】 （1）在图①条件下，补全图形．若，，求正方形ABCD的边长． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且．点E、F分别在BM、DN上，，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． 2．（2025•千山区模拟）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，是 三角形． （2）迁移探究：如图②，若，且，求正方形ABCD的边长． （3）拓展应用：如图③，若，直接写出的值为 ． 3．（2025•梓潼县开学）已知正方形ABCD，点P是其内部一点． （1）如图1，点P在边AD的垂直平分线l上，将△DAP绕点D逆时针旋转，得到△DA1P1，当点P1落在DC上时，恰好点A1落在直线l上，求∠ADP的度数； （2）如图2，点P在对角线AC上，连接PB，若将线段BP绕点P逆时针旋转90°后得到线段B1P，试问点B1是否在直线CD上，请给出结论，并说明理由． 4．（2025•东莞市校级一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平； 操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE； 操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF． 把正方形纸片展平，得图④，折痕BE，BF与AC的交点分别为G、H． （1）根据以上操作，得∠EBF＝　 　 ； 【探究证明】 （2）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明； 【深入研究】 （3）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB，CD，EF于点P、Q、M．请写出EM与MF的数量关系，并说明理由． 5．（2025春•玉溪期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是线段AB上一点，点F在对角线AC上，∠ADF＝∠BEF，EF的延长线交BC的延长线于点G，连接BF． （1）∠ACG＝　 　 °； （2）求证：EF＝DF； （3）若AE＝CG，以下与线段AD、线段CG、线段AF有关的三个结论：AD+CG＝AF，，，你认为哪个正确？请说明理由． 6．（2024秋•禹城市期末）如图1，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在边DG和DE上，连接AE，BG． （1）探索线段BG与AE的数量关系，直接写出你的结论 　 　 ； （2）将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于0°，小于或等于360°时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； （3）已知BC＝2，DE＝3，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 7．（2025春•清原县校级月考）【问题初探】 已知点O是正方形ABCD对角线AC的中点，点E在直线AC上（不与A，B重合），连接ED，线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，过点F作FG∥DC交OD的延长线于点G． （1）如图1，当点E在线段OA上时，求证：； 思路一：小红从结论出发给出了如下解题思路：易得，将线段AD与DG，EO的数量关系转化为AD与OA之间的数量关系． 思路二：小明从线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF这个条件出发，给出另一个解题思路：连接CF，将线段ED绕点D逆时针旋转90°得到线段DF这个条件出发，利用旋转的思想把问题转化为△ADE与△CDF之间的关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）如图2，当点E在线段OC上时，是否仍存在（1）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请写出新的结论并证明； （3）连接EF、CF，△DEF的面积记为S1，正方形ABCD的面积记为S2，当时，请直接写出的值． 8．（2025春•景德镇期末）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本P113的一个数学问题出发，问题如下： 如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合．在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到边EF与AB垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为　 　 ； 【深入探究】当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分的面积； 【拓展应用】将n个边长都为1cm的正方形按如图3所示的方式摆放，点A1，A2，A3，⋯，An分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之和． 9．（2025春•西城区校级期末）如图，M为正方形ABCD内一点，∠AMB＝90°，其中45°＜∠ABM＜90°，过点B作BE⊥BM，且BE＝BM，连接CE，作直线EM交对角线AC于点F． （1）∠CEB的度数为　 　 ． （2）用等式表示FM，BE，AM的数量关系，并证明． （3）如果∠ABM＝60°，AB＝2，过点A作AN∥BM且AN＝BM，点M与点N在AB异侧，连接BN，把线段AN沿线段AB平移，点A点N的对应点分别为A′，N′，连接MA′、MN′，直接写出MA′+MN′的最小值为　 　 ． 10．（2025春•青秀区校级期末）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规律．如图1，正方形ABCD中，点P是BC边上的一个动点，E是边BC延长线上一点，连接AP，过点P作AP⊥PF，与∠DCE的平分线CF相交于点F，求证：AP＝PF． 【问题解决】（1）小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在AB上截取AG＝PC，连接GP，易得BG＝BP，∠AGP＝∠PCF＝135°，∠　 　 ＝∠　 　 ，可证得△AGP≌△PCF（ 　 　 ），∴AP＝PF． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，连接AC，过点P作PQ⊥AC，垂足为点Q，连接QF，如图2，当时，证明：四边形PCFQ是平行四边形． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展，如图3，过点F作AP的平行线交直线CD于点H，以CH为斜边向右作等腰直角三角形HCM，点M在直线CF上． ①试探究PC与FM的数量关系，并说明理由； ②若AB＝5，P在射线BC上运动，当CP＝2时，直接写出线段DH的长． 11．（2025•孝感模拟）已知正方形ABCD，点E为AD上一点，将正方形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处．延长EF与CD交于点G，连接BG． （1）如图1，求证：BG平分∠CBF； （2）连接AC，与BE交于点H，与BG交于点K，连接EK． ①如图2，请探究△BEK的形状，并说明理由； ②如图3，若点E为AD的中点，请直接写出AH：HK：CK的值． 12．（2025春•吴兴区期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E，F，G分别是正方形ABCD的边AB，AD及对角线BD上的点，H是正方形ABCD内一点，满足四边形EFGH是正方形． （1）如图1，若AF＝1，求此时FG的长． （2）如图2，连结BH，求证：BH＝EH． （3）如图3，延长EH交射线BC于点J，取线段DJ的中点K，连结HK．设AF＝t，在0＜t＜3范围内是否存在t的值，使△HJK是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 13．（2025春•张店区期中）已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）如图1，若；求线段CE的长度； （3）探究：当线段DE与正方形ABCD的边AD、DC的夹角分别是30°时，∠EFC的度数是多少？直接写出结果． 14．（2025•临邑县模拟）【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF． （1）求∠EBF的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结EF，作BF的中垂线分别交BE，BC于点P，H，连结PF，PA． （2）求证：2PE2+BF2＝2EF2． （3）若AE•BH＝10，求△EPF的面积． 15．（2025•沈丘县校级模拟）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题． 问程情境： 已知正方形ABCD中，点O是线段BC的中点，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D'（点A'，B'，C'，D'分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析： （1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B，B'，C，C'得到四边形BB'CC'，求证：四边形BB'CC'是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图2．在旋转过程中，当点B'落在对角线BD上时，设A'B'与CD交于点M．求证：四边形OB'MC是正方形． 深入探究： （3）“好问”小组提出问题：如图3．若点O是线段BC的三等分点且OB＝2OC，在正方形ABCD旋转的过程中，当线段A'D'经过点D时，请直接写出的值． 16．（2025•扬州模拟）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接AF，DF．求∠ADF的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，且BE＞DE，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，DF．判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，以AE为边在AE的右边作直角△AEF，∠AEF＝90°，∠AFE＝30°，连接CE，FD，若△CEF是以CF为腰的等腰三角形，求BE的长度． 17．（2024秋•贵阳期末）小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为BD上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为DE中点，过点E作EF⊥BC交BC边于点F，延长FE交AD于点H． （1）问题探究： 如图①，连接HG，则HG与DE的位置关系为 　 　 ，HG与DE的数量关系为 　 　 ； （2）问题解决： 如图②，连接AG，FG，求证∠AGH＝∠FGE； （3）拓展延伸： 如图③，连接AG并延长交CD于点M，连接FM，探究线段DM，FM，BF之间的数量关系，并说明理由． 18．（2024秋•高陵区期中）如图，已知正方形ABCD中，边长为20cm，点E在AB边上，BE＝12cm． （1）如果点P在线段BC上以8cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动，设运动的时间为ts． ①CP的长为 　 　 cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？ 19．（2024春•李沧区校级月考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF． （1）请你按照小明展示的思路作图并给出证明； （2）在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 20．（2024•槐荫区三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　 ； （2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG． ①判定四边形ABEG是否为“神奇四边形”　 　 （填“是”或“否”）； ②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．证明四边形MNPQ是“神奇四边形”； （3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长 . 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正方形中的探究类问题类型及解决策略 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2025秋•白云区校级期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN． 【实践探究】 （1）在图①条件下，补全图形．若CN＝6，CM＝8，求正方形ABCD的边长． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，补全图形如图②即为所求； 12； （2）BE2+DF2＝EF2；理由如下： 如图②，四边形ABCD是正方形，过点D作DP⊥DF，且DP＝BE，连接PF、AP，则∠PDA+∠ADF＝∠ADF+∠NDM＝90°， ∴BN∥DM，∠PDA＝∠NDM， ∵BN＝DM， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∴∠EBA＝∠NDM， ∴∠PDA＝∠EBA， 在△APD与△AEB中 ， ∴△APD≌△AEB（SAS）， ∴AP＝AE，∠PAD＝∠EAB， ∵∠EAP＝∠EAD+∠PAD＝∠EAD+∠EAB＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠PAF＝∠EAF＝45°， 在△APF与△AEF中， ， ∴△APF≌△AEF（SAS）， ∴EF＝FP， 在Rt△PDF中，由勾股定理得：PD2+DF2＝FP2， 即BE2+DF2＝EF2． 【解答】解：（1）将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，补全图形如图②即为所求； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°， ∵将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE， ∴△ABE≌△ADM， ∴∠ABE＝∠D＝90°，∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，BE＝DM， ∴∠ABE+∠ABC＝180°， ∴E、B、N在同一直线上， ∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAN+∠MAD＝45°， ∴∠BAN+∠EAB＝45°，即∠EAN＝45°， ∴∠EAN＝∠MAN， 在△ANM与△ANE中， ， ∴△ANM≌△ANE（SAS）， ∴MN＝EN， ∵EN＝BE+BN＝DM+BN， ∴MN＝DM+BN， ∴MN+CM+CN＝DM+BN+CM+CN＝CD+BC＝2BC， 在Rt△CMN中，CN＝6，CM＝8， 由勾股定理得：， ∴10+8+6＝2BC， 解得：BC＝12， 即正方形ABCD的边长为12； （2）BE2+DF2＝EF2；理由如下： 如图②，四边形ABCD是正方形，过点D作DP⊥DF，且DP＝BE，连接PF、AP，则∠PDA+∠ADF＝∠ADF+∠NDM＝90°， ∴BN∥DM，∠PDA＝∠NDM， ∵BN＝DM， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∴∠EBA＝∠NDM， ∴∠PDA＝∠EBA， 在△APD与△AEB中 ， ∴△APD≌△AEB（SAS）， ∴AP＝AE，∠PAD＝∠EAB， ∵∠EAP＝∠EAD+∠PAD＝∠EAD+∠EAB＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠PAF＝∠EAF＝45°， 在△APF与△AEF中， ， ∴△APF≌△AEF（SAS）， ∴EF＝FP， 在Rt△PDF中，由勾股定理得：PD2+DF2＝FP2， 即BE2+DF2＝EF2． 2．（2025•千山区模拟）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作EF∥BC交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，△PMN是 　等边　 三角形． （2）迁移探究： 如图②，若BE＝5，且ME•MF＝10，求正方形ABCD的边长． （3）拓展应用： 如图③，若（n＞1），直接写出的值为 　　 ． 【答案】（1）等边； （2）正方形ABCD的边长为； （3）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， 根据折叠的性质可得，∠APB＝∠MPB，∠A＝∠BMP＝90°， ∵EF∥BC， ∴EF∥AD， ∴∠APN＝∠PNM， ∴∠MPN＝∠PNM， ∴MN＝MP， ∵E为AB的中点，EN∥AP， ∴N为BP的中点，PNBP， ∴MN， ∴PN＝MN＝MP， △PMN为等边三角形； 故答案为：等边； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝90°， 根据折叠的性质可得，AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， ∵BQ＝BQ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴MQ＝CQ， ∵EF∥BC， ∴四边形EBCF为矩形， ∴BE＝CF＝5，BC＝EF，∠MFQ＝∠BEM＝90°， ∴∠FMQ+∠FQM＝90°， ∵∠BMQ＝90°， ∴∠FMQ+∠EMB＝90°， ∴∠FQM＝∠EMB， ∴△MFQ∽△BEM， ∴， ∴BE•FQ＝MF•EM， ∵ME•MF＝10， ∴BE•FQ＝10， ∴5FQ＝10，即FQ＝2， ∴CQ＝CF﹣FQ＝5﹣2＝3， ∴MQ＝CQ＝3， 在Rt△MFQ中，MF， ∴ME2， ∴EF＝ME+MF， ∴BC＝EF，即正方形ABCD的边长为； （3）设MN＝a， ∵若， ∴BC＝n•MN＝na， ∴PA＝PM＝MN＝a，PD＝（n﹣1）a， 设CQ＝x，则DQ＝na﹣x， ∵S四边形ABMP+S四边形BCQM+S△PDQ＝S正方形ABCD， ∴2S△ABP+2S△BCQ+S△PDQ＝S正方形ABCD， ∴（na）2， 整理得：na+nx+x＝n2a， ∴x， ∴CQ， ∴． 故答案为：． 3．（2025•梓潼县开学）已知正方形ABCD，点P是其内部一点． （1）如图1，点P在边AD的垂直平分线l上，将△DAP绕点D逆时针旋转，得到△DA1P1，当点P1落在DC上时，恰好点A1落在直线l上，求∠ADP的度数； （2）如图2，点P在对角线AC上，连接PB，若将线段BP绕点P逆时针旋转90°后得到线段B1P，试问点B1是否在直线CD上，请给出结论，并说明理由． 【答案】（1）30°； （2）点B1在直线CD上；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝45°， 作PQ⊥PB交CD于点Q，过点P作EF//AD，交AB于点E，交CD于点F，则四边形EFCB为矩形，如图2， ∴∠BPQ＝90°，∠PEB＝∠QFP＝90°，EF＝BC＝AB， ∴∠EBP+∠EPB＝∠FPQ+∠EPB＝90°， ∴∠EBP＝∠FPQ， ∵P在对角线AC上， ∴∠PAE＝45°＝∠APE， ∴AE＝EP， ∵AE+EB＝EP+PF， ∴BE＝PF， 在△BEP和△PFQ中， ， ∴△BEP≌△PFQ（ASA）， ∴BP＝PQ＝B1P， 即将线段BP绕点P逆时针旋转90°后得到线段B1P，点B1在直线CD上． 【解答】解：（1）连接AA1，如图1， ∵点A1在边AD的垂直平分线l上， ∴AA1＝DA1， ∵将△DAP绕点D逆时针旋转，得到△DA1P1， ∴AD＝DA1，∠PDP1＝∠ADA1， ∴AA1＝DA1＝AD， ∴△AA1D是等边三角形， ∴∠ADA1＝60°， ∵将△DAP绕点D逆时针旋转，得到△DA1P1， ∴∠PDP1＝∠ADA1＝60°， ∴∠ADP＝90°﹣∠PDP1＝30°． （2）点B1在直线CD上；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝45°， 作PQ⊥PB交CD于点Q，过点P作EF//AD，交AB于点E，交CD于点F，则四边形EFCB为矩形，如图2， ∴∠BPQ＝90°，∠PEB＝∠QFP＝90°，EF＝BC＝AB， ∴∠EBP+∠EPB＝∠FPQ+∠EPB＝90°， ∴∠EBP＝∠FPQ， ∵P在对角线AC上， ∴∠PAE＝45°＝∠APE， ∴AE＝EP， ∵AE+EB＝EP+PF， ∴BE＝PF， 在△BEP和△PFQ中， ， ∴△BEP≌△PFQ（ASA）， ∴BP＝PQ＝B1P， 即将线段BP绕点P逆时针旋转90°后得到线段B1P，点B1在直线CD上． 4．（2025•东莞市校级一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平； 操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE； 操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF． 把正方形纸片展平，得图④，折痕BE，BF与AC的交点分别为G、H． （1）根据以上操作，得∠EBF＝　45°　 ； 【探究证明】 （2）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明； 【深入研究】 （3）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB，CD，EF于点P、Q、M．请写出EM与MF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）45°； （2）△GBF为等腰直角三角形； （3）EM＝FM． 【解答】解：（1）如图③， 由题意可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ABC＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°， ∴∠EBF＝45°， 故答案为：45°； （2）△BFG为等腰直角三角形； 证明：方法一：由（1）可得∠EBF＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠ACD＝45°， ∵∠EBF＝45°， ∴△BHG∽△CHF， ∴， ∴， ∵∠GHF＝∠BHC， ∴△BHC∽△GHF， ∴∠BCH＝∠GFH＝45°， ∴∠BGF＝90°， ∴△BFG为等腰直角三角形； 方法二：∵∠GBF＝∠GCF＝45°， ∴B、C、F、G四点共圆， ∴∠BFG＝∠BCG＝45°， ∴∠BFG＝∠GBF＝45°， 即∠BGF＝90°， ∴△GBF为等腰直角三角形； （3）EM＝MF； 证明：∵△GBF为等腰直角三角形， ∴∠BGF＝90°，BG＝FG， ∴∠PBG＝90°﹣∠PGB＝∠QGF， ∵PQ⊥AB，PQ⊥CD， ∴∠BPG＝∠GQF＝90°， 在△PBG和QGF中， ， ∴△PBG≌QGF（AAS）， ∴∠PGB＝∠GFQ， ∵PQ∥AD， ∴∠PGB＝∠AEB， 由折叠的性质得：∠AEB＝∠BEF， ∵∠PGB＝∠EGQ， ∴∠BEF＝∠EGQ， ∴ME＝MG， ∵∠BEF+∠EFG＝∠EGQ+∠FGQ＝90°， ∴∠EFG＝∠FGQ， ∴EM＝MG＝MF． 5．（2025春•玉溪期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是线段AB上一点，点F在对角线AC上，∠ADF＝∠BEF，EF的延长线交BC的延长线于点G，连接BF． （1）∠ACG＝　135　 °； （2）求证：EF＝DF； （3）若AE＝CG，以下与线段AD、线段CG、线段AF有关的三个结论：AD+CG＝AF，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）135； （2）∵四边形ABCD是正方形，线段AC是正方形的对角线， ∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF． 在△AFB和△AFD中， ∴△AFB≌△AFD（SAS）， ∴BF＝DF，∠ADF＝∠ABF． ∵∠ADF＝∠BEF， ∴∠ABF＝∠BEF， ∴EF＝BF， ∴EF＝DF； （3）我认为正确；理由如下： 如图，四边形ABCD是正方形，E是线段AB上一点，点F在对角线AC上，∠ADF＝∠BEF，延长AD使得DM＝AE，连接FM， ∵∠FDM＝180°﹣∠FDA，∠AEF＝180°﹣∠BEF，∠FDA＝∠BEF， ∴∠FDM＝∠FEA． 在△AEF和△MDF中， ∴△AEF≌△MDF（SAS）， ∴AF＝MF，∠AFE＝∠MFD ∵∠AEF+∠BEF＝180°，∠ADF＝∠BEF， ∴∠AEF+∠ADF＝180°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠EFD＝360°﹣∠AEF﹣∠ADF﹣∠BAD＝360°﹣180°﹣90°＝90°， ∴∠AFE+∠AFD＝90°． ∵∠AFE＝∠MFD， ∴∠MFD+∠AFD＝90°， ∴∠AFM＝90°， ∴△AFM是等腰直角三角形，且AF＝MF， 由勾股定理得：， ∴， 又∵DM＝AE＝CG， ∴． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，线段AC是正方形的对角线， ∴， ∴∠ACG＝180°﹣∠ACB＝180°﹣45°＝135°， 故答案为：135； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，线段AC是正方形的对角线， ∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF． 在△AFB和△AFD中， ∴△AFB≌△AFD（SAS）， ∴BF＝DF，∠ADF＝∠ABF． ∵∠ADF＝∠BEF， ∴∠ABF＝∠BEF， ∴EF＝BF， ∴EF＝DF； （3）解：我认为正确；理由如下： 如图，四边形ABCD是正方形，E是线段AB上一点，点F在对角线AC上，∠ADF＝∠BEF，延长AD使得DM＝AE，连接FM， ∵∠FDM＝180°﹣∠FDA，∠AEF＝180°﹣∠BEF， ∴∠FDM＝∠FEA． 在△AEF和△MDF中， ∴△AEF≌△MDF（SAS）， ∴AF＝MF，∠AFE＝∠MFD ∵∠AEF+∠BEF＝180°，∠ADF＝∠BEF， ∴∠AEF+∠ADF＝180°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠EFD＝360°﹣∠AEF﹣∠ADF﹣∠BAD＝360°﹣180°﹣90°＝90°， ∴∠AFE+∠AFD＝90°． ∵∠AFE＝∠MFD， ∴∠MFD+∠AFD＝90°， ∴∠AFM＝90°， ∴△AFM是等腰直角三角形，且AF＝MF， 由勾股定理得：， ∴， 又∵DM＝AE＝CG， ∴． 6．（2024秋•禹城市期末）如图1，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在边DG和DE上，连接AE，BG． （1）探索线段BG与AE的数量关系，直接写出你的结论 BG＝AE ； （2）将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于0°，小于或等于360°时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； （3）已知BC＝2，DE＝3，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 【答案】（1）BG＝AE； （2）（1）中的结论仍然成立；理由见解答过程； （3）5． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点， ∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD＝BD， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE＝DG， ∴△BDG≌△ADE（SAS）， ∴BG＝AE． 故答案为：BG＝AE； （2）如图2，连接AD， 由（1）得：∠ADB＝∠ADC＝90°， 根据旋转可得：∠CDE＝∠ADG， ∴∠ADE＝∠BDG， 又∵AD＝BD，DE＝DG， ∴△BDG≌△ADE（SAS）， ∴BG＝AE． 即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3， 当A、D、E三点共线，AE＝AD+DE，取得最大值， ∵BC＝2， ∴AD＝BDBC＝1， 又∵DE＝3， ∴AE＝1+3＝4， 在Rt△AEF中，AE＝4，EF＝3， ∴AF5， ∴当AE为最大值时，AF的值为5． 7．（2025春•清原县校级月考）【问题初探】 已知点O是正方形ABCD对角线AC的中点，点E在直线AC上（不与A，B重合），连接ED，线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，过点F作FG∥DC交OD的延长线于点G． （1）如图1，当点E在线段OA上时，求证：； 思路一：小红从结论出发给出了如下解题思路：易得，将线段AD与DG，EO的数量关系转化为AD与OA之间的数量关系． 思路二：小明从线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF这个条件出发，给出另一个解题思路：连接CF，将线段ED绕点D逆时针旋转90°得到线段DF这个条件出发，利用旋转的思想把问题转化为△ADE与△CDF之间的关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）如图2，当点E在线段OC上时，是否仍存在（1）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请写出新的结论并证明； （3）连接EF、CF，△DEF的面积记为S1，正方形ABCD的面积记为S2，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解答； （2）（DG﹣OE）＝AD，证明见解答； （3）的值为或． 【解答】（1）证明：思路一：∵点O是正方形ABCD的对角线AC的中点， ∴OD⊥AC，∠OAD＝∠ODA＝∠ODC＝45°， ∴OA＝AD， ∵DE＝DF，GF∥CD， ∴∠G＝∠ODC＝45°，∠F＝∠CDF， ∵∠EDF＝∠ADC＝90°，∠ADC＝∠ADE+∠EDO+∠ODC，∠EDF＝∠EDO+∠ODC+∠CDF， ∴∠ADE＝∠CDF＝∠F， ∴△ADE≌△GFD（AAS）， ∴AE＝DG， ∵AO＝AE+EO， ∴OA＝DG+OE， ∴（DG+OE）＝AD； 思路二：连接CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠CAD＝∠ODC＝45°， ∵线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°＝∠ADC， ∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF，∠ADC＝∠ADE+∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴CF＝AE，∠DCF＝∠DAE＝45°＝∠ODC， ∴OD∥GF， ∵CD∥GF， ∴四边形DGFC是平行四边形， ∴CF＝DG＝AE， ∵AE+EO＝OA， ∴DG+EO＝OA， ∵OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴ADOA， ∴（DG+EO）＝AD； （2）解：结论：（DG﹣OE）＝AD，证明如下： 由（1）知：ADOA， ∵DE＝DF，GF∥CD， ∴∠G＝∠ODC＝∠OAD＝45°，∠F＝∠CDF，∠CDF+∠EDC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF＝∠F， ∴△ADE≌△GFD（AAS）， ∴AE＝DG， ∵AO＝AE﹣OE， ∴AO＝DG﹣OE， ∴AO（DG﹣OE）， 即（DG﹣OE）＝AD； （3）当点E在线段AC上时，如图，过点F作FH⊥CD于点H， 则∠CHF＝∠DHF＝90°， 由（1）知：△ADE≌△CDF， ∴∠DCF＝∠DAE＝45°， ∴△CFH是等腰直角三角形， ∴CH＝FHCF， 设CH＝FH＝m，则CFm， ∵， ∴CDCF＝3m， ∴DH＝2m， ∴DF2＝DH2+FH2＝（2m）2+m2＝5m2， ∴； 当点E在线段CA的延长线上时，如图， 同理可得△CFH是等腰直角三角形，设CH＝FH＝m，则CFm， ∵， ∴BC＝CDCF＝3m， ∴DH＝CD+CH＝4m， ∴DF2＝DH2+FH2＝（4m）2+m2＝17m2， ∴； 综上所述，的值为或． 8．（2025春•景德镇期末）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本P113的一个数学问题出发，问题如下： 如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合．在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到边EF与AB垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为　　 ； 【深入探究】当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分的面积； 【拓展应用】将n个边长都为1cm的正方形按如图3所示的方式摆放，点A1，A2，A3，⋯，An分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之和． 【答案】【初步思考】； 【深入探究】； 【拓展应用】． 【解答】解：【初步思考】如图2，连接AC，BD，设EF，AB交点为I， ∵正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合， ∴点E为AC，BD的交点， ∴AE＝BE， ∵EF⊥AB， ∴∠AIE＝∠BIE＝90°， ∵∠FEH＝90°，∠AEB＝90°， ∴∠AEI+∠BEI＝∠BEI+∠BEH＝90°，即∠AEI＝∠BEH， ∵∠EIB+∠ABC＝180°， ∴EF∥BC， ∴∠EMB＝90°， ∴∠EMB＝∠AIE＝90°， ∵AE＝BE， 在△AEI和△BEM中， ， ∴△AEI≌△BEM（AAS）， ∴S△AEI＝S△BEM， ∴， 故答案为：； 【深入探究】过点E分别作EK⊥CD，ET⊥BC，垂足分别为K，T，设EH，CD交点N，如图1， ∵正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合， ∴点E到CD，BC的距离相等，即ET＝EK， ∵EK⊥CD，ET⊥BC， ∴∠KET＝90°，∠ETM＝∠EKC＝90°， ∵∠FEH＝90°， ∴∠TEM+∠TEH＝∠KEH+∠TEH＝90°，即∠TEM＝∠KEH， 在△MET和△NEK中， ， ∴△MET≌△NEK（ASA）， ∴S△MET＝S△NEK， ∴S重叠部分＝S△MET+S四边形TENC＝S△NEK+S四边形TENC＝S四边形TEKC， 同理初步思考得：， 故答案为：； 【拓展应用】由初步思考和深入探究得： A1，A2重叠部分面积为， A2，A3重叠部分面积为， A3，A4重叠部分面积为， ⋯⋯； An﹣1，An重叠部分面积为， 则n个这样的正方形重叠部分的面积之和为． 9．（2025春•西城区校级期末）如图，M为正方形ABCD内一点，∠AMB＝90°，其中45°＜∠ABM＜90°，过点B作BE⊥BM，且BE＝BM，连接CE，作直线EM交对角线AC于点F． （1）∠CEB的度数为　90°　 ． （2）用等式表示FM，BE，AM的数量关系，并证明． （3）如果∠ABM＝60°，AB＝2，过点A作AN∥BM且AN＝BM，点M与点N在AB异侧，连接BN，把线段AN沿线段AB平移，点A点N的对应点分别为A′，N′，连接MA′、MN′，直接写出MA′+MN′的最小值为　　 ． 【答案】（1）90°． （2）AMFM+BE，证明见解答． （3）． 【解答】解：（1）∵∠ABM+∠CBM＝∠CBE+∠CBM＝90°， ∴∠ABM＝∠CBE． 在△ABM和△CBE中，， ∴△ABM≌△CBE（SAS）． ∴∠CEB＝∠AMB＝90°． 故答案为：90°． （2）结论：AMFM+BE． 证明：过点C作CG⊥CE交EF于点G． 根据题意△EBM为等腰直角三角形，∠BEM＝45°， 由（1）知∠CEB＝90°，则∠CEG＝90°﹣∠BEM＝45°，△ECG也是等腰直角三角形． ∴CG＝CE． ∵△ABM≌△CBE， ∴AM＝CE， ∴CG＝AM， ∵∠AMB＝∠EBM＝90°， ∴AM∥BE， ∵∠ECG＝∠BEC＝90°， ∴CG∥BE， ∴AM∥CG， ∴，即GF＝FM． ∵MEBE，GM＝2FM，GECGAM，GE＝ME+GM， ∴AM＝2FMBE， 即：AMFM+BE． （3）作点B关于NN′的对称点B′，连接BN′，B′N′． 根据题意，AN∥BM，AN＝BM，则四边形AN′BM是平行四边形． ∴A′M＝N′B， 根据轴对称的性质，NN′是线段BB′的垂直平分线． ∴N′B′＝N′B． ∴MA′+MN′＝N′B+MN′≥MB′． ∴MA′+MN′的最小值为线段MB′的长度． 过点M作BC的垂线，H为垂足． 在Rt△BHM中，BM＝ABcos60°＝1，MH＝BMcos60°，BH＝BMsin60°， 根据轴对称的性质，BB′＝2ANsin60°＝2BMsin60°＝2BH，则B′H． 在Rt△B′HM中，MB′． 故答案为：． 10．（2025春•青秀区校级期末）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规律．如图1，正方形ABCD中，点P是BC边上的一个动点，E是边BC延长线上一点，连接AP，过点P作AP⊥PF，与∠DCE的平分线CF相交于点F，求证：AP＝PF． 【问题解决】（1）小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在AB上截取AG＝PC，连接GP，易得BG＝BP，∠AGP＝∠PCF＝135°，∠GAP ＝∠CPF ，可证得△AGP≌△PCF（ ASA ），∴AP＝PF． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，连接AC，过点P作PQ⊥AC，垂足为点Q，连接QF，如图2，当时，证明：四边形PCFQ是平行四边形． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展，如图3，过点F作AP的平行线交直线CD于点H，以CH为斜边向右作等腰直角三角形HCM，点M在直线CF上． ①试探究PC与FM的数量关系，并说明理由； ②若AB＝5，P在射线BC上运动，当CP＝2时，直接写出线段DH的长． 【答案】（1）GAP；CPF；ASA； （2）证明见解答过程； （3）①，理由见解析； ②线段DH的长为3或7；理由见解答过程． 【解答】（1）解：正方形ABCD中，在AB上截取AG＝PC，连接GP，如图1， ∴AB＝BC， ∴BG＝BP， ∴∠BGP＝∠BPG＝45°， ∵CF是∠DCE的平分线， ∴∠FCE＝45°， ∴∠AGP＝∠PCF＝135°， ∵∠BAP＝90°﹣∠APB＝∠CPF， ∴∠BAP＝∠CPF， 在△AGP和△PCF中， ， ∴△AGP≌△PCF（ASA）， ∴AP＝PF， 故答案为：GAP；CPF；ASA； （2）证明：作FH⊥CE于点H，如图2， ∵， ∴设BP＝a，则CP＝2a， ∵PQ⊥AC， ∴△BPG和△QPC都是等腰直角三角形， 由勾股定理得：，， 由（1）得△AGP≌△PCF， ∴，∠QPC＝∠FCE＝45°， ∴PQ∥CF，， ∴四边形PCFQ是平行四边形； （3）解：①； 证明：在HM上截取MN＝MF，连接FN，如图3， 则∠FNM＝∠NFM＝45°， ∵△HCM是等腰直角三角形， ∴HM＝CM， 则HN＝CF，∠HNF＝∠PCF＝180°﹣45°＝135°，∠FHN＝90°﹣∠HFM＝∠PFC， ∴△HNF≌△FCP（ASA）， ∴； ②线段DH的长为3或7；理由如下： 当P 在线段BC上时， ∵CP＝2，， ∴， ∴， ∴； ∵△HCM是等腰直角三角形， ∴， ∴DH＝8﹣5＝3； 当 P 在BC延长线上时，延长HM使MG＝FM，连接FG，如图4， 则△FMG是等腰直角三角形， ∴∠G＝∠FCP＝45°，HG＝HM+MG＝CM+MF＝CF， 又∵∠GHF＝90°﹣∠HFM＝∠HFP﹣∠HFM＝∠CFP， ∴△HFG≌△FPC（ASA）， ∴HF＝PF； 又∵，， ∴； ∵△HCM是等腰直角三角形， ∴， ∴DH＝12﹣5＝7； 综上，DH＝3或 7． 11．（2025•孝感模拟）已知正方形ABCD，点E为AD上一点，将正方形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处．延长EF与CD交于点G，连接BG． （1）如图1，求证：BG平分∠CBF； （2）连接AC，与BE交于点H，与BG交于点K，连接EK． ①如图2，请探究△BEK的形状，并说明理由； ②如图3，若点E为AD的中点，请直接写出AH：HK：CK的值． 【答案】（1）证明见解答 （2）①等腰直角三角形．，理由见解答；②4：5：3． 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°， ∵△ABE沿BE折叠得到△FBE， ∴∠ABE＝∠FBE，BF＝AB，∠BFE＝90°， ∴BF＝BC，∠BFG＝∠C＝90°， 又∵BG＝BG， ∴△BFG≌△BCG（HL）， ∴∠GBF＝∠CBG， 即BG平分∠CBF； （2）①△BEK的形状为等腰直角三角形． 理由如下： 由（1）知BG平分∠CBF，结合∠ABE＝∠FBE， ∴∠EBG＝∠EBF+∠GBF∠ABC＝45°， ∴∠EBG＝∠CAD＝45°， ∴A、B、K、E四点共圆， ∵∠BAK＝45°， ∴∠BEK＝∠BAK＝45°， ∴△BEK的形状为等腰直角三角形． ②根据题意BC＝2AE． 由AE∥BC，得． 设BC＝a，则AEa，BEa，ACa， ∴AHACa，EHBEa，BHBEa． 由①知∠BEK＝∠BAK＝45°， 又∵∠AHB＝∠EHK， ∴△AHB∽△EHK，则， ∴HKa，CK＝AC﹣AH﹣HKa． 故AH：HK：CK＝4：5：3． 12．（2025春•吴兴区期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E，F，G分别是正方形ABCD的边AB，AD及对角线BD上的点，H是正方形ABCD内一点，满足四边形EFGH是正方形． （1）如图1，若AF＝1，求此时FG的长． （2）如图2，连结BH，求证：BH＝EH． （3）如图3，延长EH交射线BC于点J，取线段DJ的中点K，连结HK．设AF＝t，在0＜t＜3范围内是否存在t的值，使△HJK是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）证明见解答． （3）或或2． 【解答】解：（1）如图，过点G作 GP⊥AD 于点P， ∵四边形ABCD、四边形EFGH均是正方形， ∴∠EFA+∠AEF＝90°，∠EFA+∠PFG＝90°，EF＝FG， ∴∠AEF＝∠PFG． 在△FPG和△EAF中，， ∴△FPG≌△EAF（AAS）． ∴PG＝AF＝1， ∵∠ADB＝45°， ∴∠PGD＝45°， ∴PD＝PG＝1， ∴FP＝AD﹣AF﹣PD＝4， ∴． （2）证明：如图，过点G作 GP⊥AD于点P，过H作 HQ⊥AB 于点Q， ∵四边形ABCD、四边形EFGH均是正方形， 同理（1）可证△HQE≌△FPG≌△EAF（AAS）， ∴EQ＝AF＝PG＝PD，AE＝PF， ∵AB＝AD， ∴BQ＝AB﹣AQ＝AD﹣AP＝PD＝EQ， 即HQ是EB的垂直平分线． ∴BH＝EH． （3）如图，过H作 HQ⊥AB于点Q，连结DE， 由（2）知BH＝EH， ∴∠HEB＝∠HBE， ∵∠HBJ+∠HBE＝∠HEB+∠HJB＝90°， ∴∠HBJ＝∠HJB， ∴BH＝HJ， ∴EH＝HJ，即H是EJ的中点， ∴QH是△EBJ的中位线， ∴， ∵K是DI的中点， ∴HK是△EDJ 的中位线， ∴． ∵AB＝6，AF＝t， ∴BQ＝EQ＝AF＝t，QH＝AE＝6﹣2t， ∴BJ＝12﹣4t， ∴JC＝|4t﹣6|， ∴， ， ． 当 HJ＝JK 或 HJ＝KH或IK＝KH 时，△HKJ是等腰三角形， 情况1：HJ＝JK， t2+（6﹣2t）2＝（2t﹣3）2+9，解得； 情况2：HJ＝KH， t2+（6﹣2t）2＝（3﹣t）2+9，解得或3； 情况3：JK＝KH， （2t﹣3）2+9＝（3﹣t）2+9，解得 t＝0或2． ∵0＜t＜3， 故所有符合条件的t的值是或或2． 13．（2025春•张店区期中）已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）如图1，若；求线段CE的长度； （3）探究：当线段DE与正方形ABCD的边AD、DC的夹角分别是30°时，∠EFC的度数是多少？直接写出结果． 【答案】（1）证明见解答； （2）线段CE的长度为2； （3）∠EFC的度数是120°或30°． 【解答】（1）证明：如图1，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N， 则∠EMC＝∠DME＝∠ENC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形CMEN是矩形， ∵△CEN是等腰直角三角形， ∴CN＝EN， ∴四边形CMEN是正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∴∠MEF+∠FEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠MEF+∠DEM＝90°， ∴∠FEN＝∠DEM， 在△FEN和△DEM中， ， ∴△FEN≌△DEM（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2，过点G作GH⊥BC，交BF的延长线于点H，作GK⊥CD于点K，过点E作EN⊥BC于点N， 则∠GKD＝∠GKC＝∠GHF＝∠DCF＝90°， ∴四边形CHGK是矩形， ∴∠KGH＝90°， ∴∠FGH+∠FGK＝90°， ∵矩形DEFG是正方形， ∴GD＝GF＝EF，∠DGK+∠FGK＝∠DGF＝90°， ∴∠DGK＝∠FGH， 在△DGK和△FGH中， ， ∴△DGK≌△FGH（AAS）， ∴GK＝GH，DK＝FH， ∴矩形CHGK是正方形， ∴∠GCH＝45°，∠EFG＝90°， ∴△CGH是等腰直角三角形， ∵，四边形ABCD是正方形， ∴CD＝5，∠ACB＝45°， ∴CHCG33＝CK＝GH， ∴DK＝CD﹣CK＝5﹣3＝2＝FH， ∵∠FNE＝∠GHF＝∠EFG＝90°， ∴∠EFN+∠FEN＝∠EFN+∠GFH＝90°， ∴∠FEN＝∠GFH， 在△FEN和△GFH中， ， ∴△FEN≌△GFH（AAS）， ∴FN＝GH＝3，EN＝FH＝2， ∵△CEN是等腰直角三角形， ∴CEEN＝2； （3）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴∠ADC＝∠DEF＝∠BCD＝∠DCF＝∠EFG＝90°，DE∥FG， 当线段DE与正方形ABCD的边AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3，设FG与CD交于点P， 则∠CDE＝90°﹣30°＝60°， ∵DE∥FG， ∴∠FPC＝∠CDE＝60°， ∴∠PFC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠EFC＝∠EFG+∠PFC＝90°+30°＝120°； 当线段DE与正方形ABCD的边DC的夹角是30°时，即∠PDE＝30°，如图4，设EF与CD交于点P， ∵∠PDE+∠DPE＝∠EFC+∠FPC＝90°，∠DPE＝∠FPC， ∴∠EFC＝∠PDE＝30°； 综上所述，∠EFC的度数是120°或30°． 14．（2025•临邑县模拟）【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF． （1）求∠EBF的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结EF，作BF的中垂线分别交BE，BC于点P，H，连结PF，PA． （2）求证：2PE2+BF2＝2EF2． （3）若AE•BH＝10，求△EPF的面积． 【答案】（1）∠EBF的度数为45°． （2）证明见解答； （3）△EPF的面积为5． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， 由折叠得：∠ABE＝∠EBG∠ABG，∠CBF＝∠FBG∠CBG， ∴∠EBF＝∠EBG+∠FBG （∠ABG+∠CBG） ∠ABC＝×90° ＝45°， 故∠EBF的度数为45°． （2）证明：如图，由（1）知∠EBF＝45°， ∵PH垂直平分BF， ∴PF＝PB， ∴∠PFB＝∠PBF＝45°， ∴∠BPF＝∠EPF＝90°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BF2＝2PF2， 在Rt△EFP中，PE2+PF2＝EF2， ∴2PE2+2PF2＝2EF2， ∴2PE2+BF2＝2EF2． （3）解：如图3，过点P作BC的平行线分别交AB、CD于点M、N， 则MN⊥AB，MN⊥CD， ∴∠PMB＝∠FNP＝90°， ∴∠MBP+∠MPB＝90°， ∵∠BPF＝90°， ∴∠NPF+∠MPB＝90°， ∴∠MBP＝∠NPF， ∵PB＝PF， ∴△BPM≌△PFN（AAS）， ∴BM＝PN， 在正方形ABCD中，AB∥CD，BC＝AB， ∴四边形MBCN是平行四边形，∠AEP＝∠PBH， ∴MN＝BC＝AB， ∴MN﹣NP＝AB﹣MB， 即MP＝AM， ∵∠AMP＝90°， ∴△APM是等腰直角三角形， ∴∠APM＝∠PAM＝45°， ∴∠EAP＝∠BAD﹣∠PAM＝90°﹣45°＝45°， ∵PH⊥BF，∠PBF＝45°， ∴∠BPH＝45°， ∴∠EAP＝∠BPH， ∴△EAP∽△BPH， ∴， ∴AE•BH＝PE•PB， ∵AE•BH＝10， ∴PE•PB＝10， ∵PB＝PF， ∴PE•PF＝10， ∴S△EPFPE•PF10＝5． 15．（2025•沈丘县校级模拟）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题． 问程情境： 已知正方形ABCD中，点O是线段BC的中点，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D'（点A'，B'，C'，D'分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析： （1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B，B'，C，C'得到四边形BB'CC'，求证：四边形BB'CC'是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图2．在旋转过程中，当点B'落在对角线BD上时，设A'B'与CD交于点M．求证：四边形OB'MC是正方形． 深入探究： （3）“好问”小组提出问题：如图3．若点O是线段BC的三等分点且OB＝2OC，在正方形ABCD旋转的过程中，当线段A'D'经过点D时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）2． 【解答】（1）证明：由旋转性质可得OB＝OB′，OC＝OC'， ∵点O是线段BC的中点， ∴OB＝OC， ∴OB'＝OC'，OB＝OC， ∴四边形BB'CC'是平行四边形， 又∵BC＝B'C'， ∴平行四边形BB'CC'是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠C＝90°， ∴， 由旋转可知，OB＝OB′， ∴∠OB'B＝∠OBB'＝45°， ∴∠B'OC＝∠OB'B+∠OBB'＝45°+45°＝90°， ∵四边形A'B'C'D'是正方形， ∴∠OB'M＝90°， ∴四边形OB'MC是矩形， ∵OB＝OC，OC＝OC′，OB′＝OB， ∴OC＝OB′， ∴矩形OB'MC是正方形； （3）解：如图，过D作DN⊥B′C′交于N，连接DO， ∴∠A′＝∠B′＝∠B′ND＝90°，∠D′＝∠C′＝∠C′ND＝90°， ∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形， 在Rt△DNO与Rt△DCO中， ∵OD＝OD，DN＝DC， ∴Rt△DNO≌Rt△DCO（HL）， 设OC＝a，则OB＝2OC＝2a， ∴ON＝OC＝OC′＝a， ∴BC＝OB+OC＝3a，DD′＝NC′＝ON+OC′＝2a， ∴2． 16．（2025•扬州模拟）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接AF，DF．求∠ADF的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，且BE＞DE，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，DF．判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，以AE为边在AE的右边作直角△AEF，∠AEF＝90°，∠AFE＝30°，连接CE，FD，若△CEF是以CF为腰的等腰三角形，求BE的长度． 【答案】（1）60°； （2）点C，点D，点F三点共线，理由见解析过程； （3）BE的长度为3或1． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴∠ABD＝60°， ∵将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF， ∴AE＝EF，∠AEF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠EAF＝60°＝∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△BAE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABD＝∠ADF＝60°； （2）点C，点D，点F三点共线，理由如下： 连接AC交BD于O，过点F作FH⊥直线BD于H，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝OD，∠ADB＝45°， ∵将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF， ∴∠AEF＝90°＝∠AOE＝∠FHE，AE＝EF， ∴∠AEO+∠FEH＝90°＝∠AEO+∠EAO， ∴∠EAO＝∠FEH， ∴△AEO≌△EFH（AAS）， ∴AO＝EH，FH＝OE， ∴OD＝OA＝EH， ∴OE＝DH＝FH， ∵∠FHE＝90°， ∴∠FDH＝45°＝∠DFH， ∴∠ADF＝90°， ∴∠ADF+∠ADC＝180°， ∴点C，点D，点F三点共线； （3）如图，过点A作AG⊥BD于G，过点E作EH⊥BC于H，则∠AGB＝∠BHE＝90°， ∵矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°， ∴BD＝2AB＝4，∠ABD＝60°， ∴AD2BC， ∵∠AFE＝∠ADE＝30°， ∴四边形AEDF是圆内接四边形， ∴∠ADF＝∠AEF＝90°， ∴∠ADF+∠ADC＝90°+90°＝180°， ∴C、D、F在同一条直线上， ∵∠FAE＝∠DAG＝60°， 即∠FAD+∠DAE＝∠EAG+∠DAE， ∴∠FAD＝∠EAG， ∵∠ADF＝∠AGE＝90°， ∴△AFD∽△AEG， ∴sin∠AFE＝sin30°， ∴FD＝2EG， 在Rt△ABG中，BG＝AB•cos∠ABD＝2cos60°＝1，AG＝AB•sin∠ABD＝2sin60°， 设BE＝x，则EG＝x﹣1，FD＝2（x﹣1）， ∴CF＝CD+FD＝2+2（x﹣1）＝2x， 在Rt△AEG中，AE， ∴EFAE•， ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝30°， ∴EHx，BHx， ∴CH＝2x， ∴CE， 当CF＝EF时，2x•， 解得：x3或x3（舍去）， ∴BE3； 当CF＝CE时，2x， 解得：x1或x1（舍去）， ∴BE1； 综上所述，BE的长度为3或1． 17．（2024秋•贵阳期末）小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为BD上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为DE中点，过点E作EF⊥BC交BC边于点F，延长FE交AD于点H． （1）问题探究： 如图①，连接HG，则HG与DE的位置关系为 HG⊥DE ，HG与DE的数量关系为 DE＝2HG ； （2）问题解决： 如图②，连接AG，FG，求证∠AGH＝∠FGE； （3）拓展延伸： 如图③，连接AG并延长交CD于点M，连接FM，探究线段DM，FM，BF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）HG⊥DE，DE＝2HG； （2）证明见解答； （3）DM+BF＝FM，证明见解答． 【解答】（1）解：如图①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠ADB＝∠CBD＝45°， ∵EF⊥BC， ∴EF⊥AD， ∴∠DHE＝90°， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∵点G是DE的中点， ∴HG＝DG＝EG，HG⊥DE， ∴DE＝2HG， 故答案为：HG⊥DE，DE＝2HG； （2）证明：如图②， 由（1）知：△DEH是等腰直角三角形， ∴∠DEH＝45°， ∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°， ∵∠BFE＝90°，∠EBF＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF＝EF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAH＝∠ABF＝90°， ∴∠BFH＝∠BAH＝∠ABF＝90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴AH＝BF， ∴AH＝EF， 由（1）得HG＝EG＝DG， ∴∠DHG＝45°， ∴∠AHG＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AHG＝∠FEG， 在△AHG和△FEG中， ， ∴△AHG≌△FEG（SAS）， ∴∠AGH＝∠FGE； （3）解：结论：DM+BF＝FM，理由如下： 如图③，连接AF、HG、FG，将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN， 则AN＝AM，BN＝DM，∠NAB＝∠MAD， 由（2）知：△AHG≌△FEG， ∴∠AGH＝∠FGE，AG＝FG， ∵HG⊥DE， ∴∠AGH+∠AGB＝90°， ∴∠FGE+∠AGB＝90°，即∠AGF＝90°， ∴△AFG是等腰直角三角形， ∴∠FAM＝45°， ∴∠FAB+∠MAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAN＝∠FAB+∠NAB＝∠FAB+∠MAD＝45°， ∴∠FAN＝∠FAM， 在△AFN和△AFM中， ， ∴△AFN≌△AFM（SAS）， ∴FN＝FM， ∵FN＝BN+BF＝DM+BF， ∴DM+BF＝FM． 18．（2024秋•高陵区期中）如图，已知正方形ABCD中，边长为20cm，点E在AB边上，BE＝12cm． （1）如果点P在线段BC上以8cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动，设运动的时间为ts． ①CP的长为 　（20﹣8t）　 cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？ 【答案】（1）①（20﹣8t）； ②8或9.6； （2）点P与点Q会相遇；经过37.5秒点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇． 【解答】解：（1）①已知正方形ABCD中，边长为20cm，点P在线段BC上以8cm/s的速度由B点向C点运动，运动的时间为ts， ∴BP＝8t cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（20﹣8t）cm， 故答案为：（20﹣8t）； ②当△BPE≌△CPQ时，BP＝CP，BE＝CQ， 即8t＝20﹣8t，at＝12， 解得：a＝9.6， 当△BPE≌△CQP时，BP＝CQ，BE＝CP， 即8t＝at，20﹣8t＝12， 解得：a＝8， 综上所述，以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等时，a的值为8或9.6； （2）点P与点Q会相遇；理由如下： 当a＝9.6时， 由题意得：9.6t﹣8t＝60， 解得：t＝37.5， ∴点P共运动了37.5×8＝300（cm）， ∵点P一圈运动了20×4＝80（cm）， ∴300÷80＝3⋯⋯60， ∴点P与点Q在点A相遇； 当a＝8时，点P与点Q的速度相等， ∴点P与点Q不会相遇， 综上所述，经过37.5秒点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇． 19．（2024春•李沧区校级月考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF． （1）请你按照小明展示的思路作图并给出证明； （2）在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）小颖的观点正确，见解析； （3）小华的观点正确，见解析． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，如图1，取AB的中点M，连接ME， ∴AB＝BC， ∴AM＝EC，BM＝BE， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∴∠AME＝135°， ∵CF是∠DCG的平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AME＝∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：小颖的观点正确； 证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME． ∴BM＝BE， ∴∠BME＝45°， ∴∠AME＝135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AME＝∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （3）小华的观点正确； 证明：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE． ∴BN＝BE， ∴∠N＝∠NEC＝45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE＝45°， ∴∠N＝∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE＝∠BEA， 即∠DAE+90°＝∠BEA+90°， ∴∠NAE＝∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 20．（2024•槐荫区三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　④　 ； （2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG． ①判定四边形ABEG是否为“神奇四边形”　是　 （填“是”或“否”）； ②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．证明四边形MNPQ是“神奇四边形”； （3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长 . 【答案】（1）④； （2）①是； ②证明见解答过程； （3）线段OF的长为． 【解答】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④； （2）①解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABG+∠CBG＝90°， ∵BG⊥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝90°， ∴∠BAE＝∠CBG， 在△ABE和△BCG中， ， ∴△ABE≌△BCG（ASA）， ∴AE＝BG， 又∵BG⊥AE， ∴四边形ABEG是“神奇四边形”， 故答案为：是； ②证明：∵M，N为AB，AG的中点， ∴MN为△ABG的中位线， ∴MN∥BG，MNBG， 同理：PQ∥BG，PQBG，MQ∥AE，MQAE，NP∥AE，NPAE， ∴MN＝PQ，MQ＝NP， ∴四边形MNPQ为平行四边形， ∵AE＝BG， ∴MN＝MQ， ∴平行四边形MNPQ为菱形， ∵BG⊥AE，MQ∥AE， ∴MQ⊥BG， ∵MN∥BG， ∴MQ⊥MN， ∴∠QMN＝90°， ∴四边形MNPQ为正方形， ∴四边形MNPQ是“神奇四边形”； （3）解：如图3，延长AO交BC于S， 由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B， ∵四边形ABCD是正方形，边长为6， ∴AB＝6，∠B＝90°， ∴AS2，∠B'＝∠B＝90°， ∴AOAS， 设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x， 在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2， ∴x， ∴AF， ∵AO⊥FR， ∴∠AOF＝90°， ∴OF， 即线段OF的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $正方形中的探究类问题类型及解决策略 在一线教学中，教师不难发现学生对正方形的性质、判定掌握得不够，极易和其他特殊平 行四边形的性质、定理混淆.另外，由于在学习一些基础知识，点时不够扎实，因此学生在解决 与正方形有关的问题时总感觉异常困难.正方形中的探究类问题时常出现，是中考命题的热点， 但因其综合程度强、难度大，学生始终难解决好这类问题.基于这种现状，本文中先简要分析 正方形中探究类问题的主要类型，然后探究其解决策略，希望对一线教师的教学带来实质性的 帮助. 一、正方形中探究类问题的主要类型 在初中阶段，特别是中考复习阶段，正方形中的探究类问题特别多，综合程度、难易程度 不尽相同.综合来看，正方形中的探究类问题主要有以下几种不同的类型： 1、结论猜想类 所谓结论猜想类，就是根据题中给定的条件对结论进行猜想并证明.这样的猜想类似于正 规的证明题，只是需要对结论进行猜想，而不是题目直接给出要证明的结论， 例1如图1所示，已知正方形ABCD,动点E在AC上，AF⊥AC,垂足为A,AF=AE. （1)BF和DE有怎样的数量关系？请证明你的结论 （2)当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？ 请说明理由、 解：(1)BF=DE. 理由如下： 在正方形ABCD,AB=AD,∠BAD=90°， ,AF⊥AC, .∠EAF=90°， ∴.∠BAF=∠EAD, 又AD=AB,AE=AF, ∴.△ADE=△ABF(SAS), ∴BF=DE; 第1页共14页 (2)当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.理由如下： ,点E运动到AC的中，点，AB=BC, ·BE⊥AC,BE=AE=AC, .AF=AE, ∴.BE=AF=AE, 又BE⊥AC,∠FAE=∠BEC=90°， .BE‖AF, .BE=AF, ∴.四边形AFBE是平行四边形， .∠AE=90°，AF=AE, .四边形AFBE是正方形. 2、条件猜想类 所谓条件猜想类，与结论猜想类正好相反，就是根据题目给出的结论猜想需要怎样的条件， 并说明理由.这种问题往往要先根据题意给出的结论提出条件猜想，然后根据猜想证明结论的 正确性. 例2如图2中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图3，在正方形ABCD 各边上分别取点B,C,D,4,使AB=BC=CD,=DA=5AB,依次连接它们，得 到四边形AB,CD，再在四边形AB,CD各边上分别取点B,,C,，D,,A,使 4B,=BC,=CD,=D4,=44公，依次连接它们，得到四边形4，B,C,D,…如此继续下去， 得到四条螺旋折线 (1)求证：四边形AB,CD是正方形； (2)求4B的值： AB (3)请研究螺旋折线BBB,B,…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明. 分析：结合本文，重点分析第(3)小题.这样的结论比较容易写出，但关键在于抓住相 邻线段之间有怎样的关系，继而根据这一关系进行证明.另外，通过仔细观察图形不难发现， 尽管各螺旋折线之间的位置有不同情况，但它们必然存在一定的联系或规律.在解决该问题时， 抓住这一联系或规律，推导出所需条件或结论都至关重要， 第2页共14页 下面是第（3)问的解答过程： (3)结论1：螺旋折线BB,B中相邻线段的比均为57或7 17 证明：：AB=44B, 5 1 ∴.BB1=÷AB, 1 同理可得BB2=AB,… 5 .B.B AB 57BB2-5w17 BB2 AB -17’B,B,17 结论2：螺旋折线BB,B,B,中相邻线段夹角的度数不变. 证明：：BB-B￡-1 BC BC,44BC=∠ABC=90, ∴.△BBC1~△BB,C2, ∴.∠BB,C1=∠BB,C2, 同理得∠BB,C2=∠B2B,C,, ,∠C1BB2=∠C2B2B3=90°， ∴.∠BBB2=∠BB2B3, 同理，得∠BB2B=∠B2B,B4, 故螺旋折线BBB,B,…中相邻线段夹角的度数不变. 二、正方形中探究类问题的解决策略总结 在本文中，无论是结论猜想题，还是条件猜想题，均属于正方形中的探究类问题，都是在 猜想的基础上展开探究. 对于结论猜想类问题，只需充分分析题中的已知条件，根据已知条件一步步“靠近”结论， 与传统的探究题方法类似. 对于条件猜想类问题，需要解题者从题中所给的结论出发，结合题意探究使得结论成立的 条件.往往需要从结论出发，逆推寻找条件，对解题者的要求更高. 综上所述，结论猜想类和条件猜想类是正方形探究类问题最主要的两种类型.前者根据条 第3页共14页 件猜想结论，后者根据结论猜想条件，解题思路和方法类似，都离不开已知条件或隐含条件的 充分运用.所以，一线教师一方面要指导学生不断夯实基础知识点，另一方面要指导学生善于 发现并运用题中的隐含条件， 同步检测 1。(2025秋·白云区校级期中)如图①，在正方形ABCD中，，点N、M分别在边BC、CD上， 连结AM、AN、N.∠MAN=45°，将△AMD绕，点A顺时针旋转90°，点D与，点B重合，得 到△ABE.易证：△AM三△ANE,从而得DM+BN=MN. 【实践探究】 (1)在图①条件下，补全图形.若CN=6,CM=8,求正方形ABCD的边长 (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN=DM.点E、F分别在BM、DN上，∠EAF=45°， 连接EF,猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由. D D M 图① 图② 2。(2025千山区模拟)折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形， 折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠” 为主题开展了数学活动 (1)操作判断： 在AD上选一，点P,沿BP折叠，使，点A落在正方形内部的，点M处，把纸片展平，过M作EF‖BC 交AB、CD、BP于点E、F、N,连接PM并延长交CD于点Q,连接BQ,如图①，当E为 AB中点时，△PMN是 三角形 （2)迁移探究：如图②，若BE=5,且ME·MF=10,求正方形ABCD的边长， (3)拓展应用：如图③，若N-1>1),直接写出C2的值为 BC BC D A N 之次 B 图① 图② 图③ 第4页共14页 3.（2025梓潼县开学)已知正方形ABCD,点P是其内部一点， （1)如图1，点P在边AD的垂直平分线1上，将△DAP绕，点D逆时针旋转，得到△DA1P1, 当点PI落在DC上时，恰好点A1落在直线1上，求∠ADP的度数； (2)如图2，点P在对角线AC上，连接PB,若将线段BP绕，点P逆时针旋转90°后得到线段 B1P,试问，点B1是否在直线CD上，请给出结论，并说明理由. P P B B 图1 图2 4. (2025·东莞市校级一模)在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活 动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD,得到折痕AC,把纸片展平； 操作二：如图②，在边AD上选一点E,沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE: 操作三：如图③，在边CD上选一点F,沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF. 把正方形纸片展平，得图④，折痕BE,BF与AC的交点分别为G、H. (1)根据以上操作，得∠EBF= D H 图① 图② 图③ 图④ 【探究证明】 (2)如图⑤，连接GF,试判断△BFG的形状并证明： 【深入研究】 (3)如图⑥，连接EF,过点G作CD的垂线，分别交AB,CD,EF于点P、Q、M.请写出 EM与MF的数量关系，并说明理由. 第5页共14页 A E D A E D IG Q 公 B 图⑤ 图⑥ 5.（2025春·玉溪期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是线段AB上一点，点F在对角线 AC上，∠ADF=∠BEF,EF的延长线交BC的延长线于点G,连接BF. (1)∠ACG= (2)求证：EF=DF: (3)若AE=CG,以下与线段AD、线段CG、线段AF有关的三个结论：AD十CG=AF,AD+CG= V2AF,AD+CG=V5AF,你认为哪个正确？请说明理由. A D E B C G 6.（2024秋·禹城市期末)如图1，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC 的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在边DG和DE上，连接AE,BG (1)探索线段BG与AE的数量关系，直接写出你的结论 (2)将正方形DEFG绕，点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于0°，小于或等于360° 时（如图2)，（1)的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知BC=2,DE=3,在（2)的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值. F G A B D C E B D C 图1 图2 7.(2025春·清原县校级月考)【问题初探】 第6页共14页 已知，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，点E在直线AC上（不与A,B重合)，连接ED, 线段ED绕，点D逆时针旋转90°，得到线段DF,过点F作FG∥DC交OD的延长线于点G. （1)如图1，当点E在线段OA上时，求证：V2(DG+OE)=AD: 思路一：小红从结论出发给出了如下解题思路：易得V2OA=AD,将线段AD与DG,EO的 数量关系转化为AD与OA之间的数量关系， 思路二：小明从线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF这个条件出发，给出另一个解 题思路：连接CF,将线段ED绕点D逆时针旋转90°得到线段DF这个条件出发，利用旋转的 思想把问题转化为△ADE与△CDF之间的关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2)如图2，当点E在线段OC上时，是否仍存在（1)中的结论？若存在，请证明；若不存 在，请写出新的结论并证明； (3)连接EF、CF,△DEF的面积记为S1,正方形ABCD的面积记为S2,当CF:BC=√2：3 时，请直接写出的值. S2 G D D A E O E B 图1 图2 备用图 8.（2025春•景德镇期末)【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本P113 的一个数学问题出发，问题如下： 如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶，点E与正方形ABCD的中心重合.在 正方形EFGH绕，点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到边EF与AB垂直的位置，此 时两个正方形重叠部分的面积为 【深入探究】当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分 的面积： 第7页共14页 【拓展应用】将n个边长都为1cm的正方形按如图3所示的方式摆放，点A1,A2,A3,…, An分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之 A H 和 图1 图2 图3 9. （2025春西城区校级期末)如图，M为正方形ABCD内一，点，∠AMB=90°，其中45°< ∠ABM<90°，过，点B作BE⊥BM,且BE=BMM,连接CE,作直线EMM交对角线AC于点F. (1)∠CEB的度数为 (2)用等式表示FM,BE,AM的数量关系，并证明 (3)如果∠ABM=60°，AB=2,过，点A作AN∥BM且AN=BM,,点M与，点N在AB异侧， 连接BN,把线段AN沿线段AB平移，点A点N的对应点分别为A',W,连接MA'、MW,直 接写出MA+W的最小值为 D M M E E 备用图 10.（2025春青秀区校级期末)综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规 律.如图1，正方形ABCD中，，点P是BC边上的一个动，点，E是边BC延长线上一点，连接 AP,过点P作AP⊥PF,与∠DCE的平分线CF相交于点F,求证：AP=PF, 【问题解决】(1)小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在 AB上截取AG=PC,连接GP,易得BG=BP,∠AGP=∠PCF=I35°，∠ ∠ 可证得△AGP≌△PCF（ )..AP=PF. 【问题探究】(2)在(1)的条件下，连接AC,过点P作PQ⊥AC,垂足为，点Q,连接QF, 第8页共14页 如图2，当-时，证明：四边形PCPQ是平行四边形. 【拓展延伸】（3)创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展，如图3，过点F作AP的平 行线交直线CD于点H,以CH为斜边向右作等腰直角三角形HCM,点M在直线CF上. ①试探究PC与FM的数量关系，并说明理由； ②若AB=5,P在射线BC上运动，当CP=2时，直接写出线段DH的长. H B P B P (图1) (图2) (图3) (备用图 11.(2025·孝感模拟)已知正方形ABCD,点E为AD上一点，将正方形ABCD沿BE折叠， 点A落在，点F处.延长EF与CD交于点G,连接BG. (1)如图1，求证：BG平分∠CBF: (2)连接AC,与BE交于点H,与BG交于点K,连接EK. ①如图2，请探究△BEK的形状，并说明理由： ②如图3，若点E为AD的中点，请直接写出AH:HK:CK的值. E D 图1 图2 图3 12.（2025春·吴兴区期末)如图，四边形ABCD是正方形，AB=6,E,F,G分别是正方形 ABCD的边AB,AD及对角线BD上的，点，H是正方形ABCD内一点，满足四边形EFGH是正 方形 （1)如图1，若AF=1,求此时FG的长. (2)如图2，连结BH,求证：BH=EH. (3)如图3，延长EH交射线BC于点J,取线段DJ的中，点K,连结HK.设AF=t,在0<t <3范围内是否存在t的值，使△HK是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值： 若不存在，请说明理由. 第9页共14页 AF D D F D G E H H C 图1 图2 图3 13.（2025春·张店区期中)已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接 DE,过点E作EF⊥DE,交BC延长线于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形： (2)如图1，若AB=5,CG=3V√2：求线段CE的长度； (3)探究：当线段DE与正方形ABCD的边AD、DC的夹角分别是30°时，∠EFC的度数是 多少？直接写出结果 D A D B 图1 备用图 14.（2025临邑县模拟)【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A 的对应点为点G,折痕为BE,再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为 BF. (1)求∠EBF的度数. 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2，连结EF,作BF的中垂线分别交BE,BC于 点P,H,连结PF,PA. （2)求证：2PE2+BF2=2EF2, (3)若AEBH=10,求△EPF的面积. 第10页共14 页