期末复习03 解答题压轴十一大类型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

期末复习03 解答题压轴十一大类型 目录 典例详解 类型一、化简绝对值求最值问题 类型二、数轴上的动点问题 类型三、有理数运算的规律问题 类型四、有理数运算的实际应用 类型五、代数式的化简求值 类型六、解特殊的一元一次方程 类型七、与一元一次方程有关的新定义问题 类型八、与线段有关的定值问题 类型九、与线段有关的动点问题 类型十、三角板中的角度计算 类型十一、实际问题中的角度计算 压轴专练 类型一、化简绝对值求最值问题 1．二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 2．科技改变生活，许多农户用网络销售的方式销售农产品．家住河南灵宝市的小王在网络上销售自家种的苹果，计划每天销售，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划销售量的部分记为正数，不足计划销售量的部分记为负数，下表是小王第一周苹果的销售情况． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 销售量/ (1)小王这一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)求小王这一周实际销售苹果的总质量； (3)若苹果的销售价为每千克7元，运费为每千克2元，运费由小王承担，求小王这一周销售苹果的总收入是多少元．（不计其他成本，除去运费） 3．随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也与某直播平台合作销售自己家种植的橙子，经过一段时间的试运营，小李发现每天能销售100千克左右的橙子．下表为小李12月份第一周销售橙子的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，回答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_________，销售量是_________千克． (2)这一周中，销量最多的一天比最少的一天多_________千克． (3)小李与该直播平台合作销售，费用结算规则如下：每天需支付基础服务费300元；若当天销量不足100千克，每少1千克，额外支付2元；若当天销量超过100千克，超过部分每千克奖励1元（从基础服务费中扣除），求小李这一周需要支付给直播平台的费用． 4．某公司股票上周五股市收盘价（当天收市时的价格）为每股25元，老何上星期五以收盘价买进该公司股票1000股（股市周六、周日休市），在接下来的一周交易日内，老何记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况（记上涨为正，下跌为负．单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时该股票每股多少元？ (2)本周内收盘价每股最高价比最低价高多少元？ (3)已知老何买进股票时付了（千分之）的手续费，卖出时须付总金额的手续费和的交易税，如果他在本周五收盘前以收盘价将这支股票全部卖出，他的收益情况如何？ 类型二、数轴上的动点问题 5．若代数式的值和代数式的值相等，求代数式的值． 6．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果； (2)设当输入的值为时输出的值为，当输入的值为时输出的值为，求的值． 7．如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 8．请根据图示的对话解答下列问题 “我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是．” 我告诉你：“、互为相反数，、互为倒数，是绝对值等于3的负数．” (1)__________，__________，__________； (2)计算：的值． 9．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 类型三、有理数运算的规律问题 10．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 11．某物流公司负责将甲、乙两个仓库的赈灾物资运往丙、丁两个灾区．甲仓库有物资40箱，乙仓库有物资50箱；丙灾区需要物资30箱，丁灾区需要物资60箱．已知从甲、乙两仓库到丙、丁两灾区的运费如下表： 到丙灾区 到丁灾区 甲仓库 每箱20元 每箱18元 乙仓库 每箱15元 每箱12元 设从甲仓库运到丙灾区的物资为箱． (1)从甲仓库运到丁灾区的物资为___________箱；从乙仓库运到丁灾区的物资为___________箱； (2)如果从甲仓库运到丙灾区的物资为15箱，那么总运费为多少元？ 12．科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升秒后进行拍照，然后以米秒的速度匀速下降秒后进行第二次拍照． (1)用含的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； (2)当时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以米秒的速度匀速落回台面所用的时间． 13．某中学课程丰富，设有劳动课程基地，基地内有两种长方形菜地A，B，菜地的长均为a米，宽均为b米，菜地分两部分，如图，一部分为作物种植区（阴影部分），另一部分为蓄水池，A菜地的蓄水池是半径为x米的四分之一圆形，B菜地的蓄水池是边长为x米的正方形．（π取3） (1)若A菜地有3块，B菜地有2块，求作物种植区的总面积；（用含a，b，x的式子表示） (2)在（1）的条件下，在作物成熟之际，用收割机收割每平方米作物的费用为6元，当，，时，求作物种植区全部收割完所需的总费用． 14．学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 类型四、有理数运算的实际应用 15．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 16．在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 17．一个四位正整数，其百位数字与个位数字的和是5，十位数字比千位数字大1，则称这个四位正整数为“五一数”．例如：3441是“五一数”，∵，，∴3441是“五一数”；6172不是“五一数”，∵，∴6172不是“五一数”． (1)试判断8194是否是“五一数”，并说明理由； (2)直接写出最小的“五一数”； (3)若“五一数”能被14整除，求出所有符合条件的“五一数”N． 18．如图，在某月的日历中，用一个“＋”形阴影涂出5个数． (1)涂出的5个数字的和为______； (2)移动“”形阴影，当位于“”形阴影最中间的一个数为时，试证明：涂出的5个数的和一定能被5整除． 类型五、代数式的化简求值 19．如图，将6个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y． (1)请用含x，y的代数式分别表示空余部分G，H的周长，直接写出化简后的结果：G的周长为_______，H的周长为_______； (2)将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n之间有什么数量关系？请计算并加以说明． 20．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n． (1)请用含m，n的代数式表示：正方形与正方形的面积差为 ； (2)填写表格： m n 图③中大正方形与图②中小正方形的周长差 3 2 4 2 (3)观察表格，写出你关于图③中大正方形与图②中小正方形的周长差的发现，并用所学知识进行解释． 21．小东同学用若干长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4个长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9个长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 22．下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形（宽度为，高为），阴影区域是空下来的地方，若大长方形的长比宽多5厘米． (1)大长方形的宽为________；（用题目中的已知字母的关系式表示） (2)比较图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 23．如图，长为50cm，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影部分，外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为． (1)每个小长方形较长的一边长是___________(用含的式子表示),阴影部分的较短的一边长是___________(用含,的式子表示)； (2)请说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 类型六、解特殊的一元一次方程 24．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 25．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 26．在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 27．方程可以有多种不同的解法，其中有一种解法为换元法．观察此方程，设． (1)原方程可变形为：，解方程得： ，从而可得 ； (2)利用上述方法解方程：； (3)利用上述方法解方程：． 28．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 类型七、与一元一次方程有关的新定义问题 29．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 30．用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：． (1)_________； (2)若，求a的值． 31．定义：使成立的一对有理数a，b称为“共生有理数对”，记作．例如：因为，所以是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若5是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为________． 32．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 类型八、与线段有关的定值问题 33．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【问题探究】 在一条数轴上，为原点，点对应的数为4，点对应的数为． （1）直接写出：的中点对应的数为 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒．求当为何值时，的中点所对应的数为5.5？ 【拓展延伸】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为； 若数轴上点的对应数为，点的对应数为，点为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为． 以此类推…… （3）在（2）的条件下，若点为最靠近的五等分点，点为的中点，是否存在，使得为定值？若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 34．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 35．若数轴上两点所表示的数分别为和，则有①两点的中点表示的数为；②两点之间的距离． (1)若直接写出： ． (2)在（1）的条件下，点在数轴上对应的数是，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点，使成立，若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由． (3)若数轴上两点所表示的数分别为和（其中），点以每秒1个单位的速度从原点出发向右运动，同时点从点出发以每秒7个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒10个单位的速度向右运动，、分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否为定值？并说明理由． 36．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 类型九、与线段有关的动点问题 37．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 38．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 39．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 40．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 41．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 类型十、三角板中的角度计算 42．借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转___________度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 44．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 45．如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 46．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 类型十一、实际问题中的角度计算 47．在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 48．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 49．大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 50．自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．    (1)填空：___________； (2)如图2，若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动．在转动过程中，灯射线与交于点，灯射线与交于点．在灯射线到达之前，设灯转动秒． ①当时，则___________，___________（用含的式子表示）． ②当灯转动 ___________秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 1．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 2．定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 3．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 4．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 5．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 6．【发现问题】 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．我们知道，超市里的收费是扫码枪是通过扫描商品上的条形码来收款的，如图①．售货员通过输入条形码上的数字也可以获取商品的信息．爱思考的小丽发现条形码上的数字存在某种运算关系． 【提出问题】 ①超市商品条形码大多是13位数字组成，它们代表什么含义？ ②这些数字之间存在怎样的运算关系？ 【查阅资料】 课本第9页阅读部分曾对商品条形码进行了简单介绍，通过查找资料，明晰：商品条形码由国际商品编码协会分配的，我国商品条形码国家代码范围是690-699，其中690-693为常见使用范围，696-699尚未启用．通过商品条形码的前缀码可快速识别商品的编码组织归属，助力全球供应链中的商品追溯与管理．商品的条形码共有13位数字，前12位数字表示“国家代码、厂商代码和产品代码”相关信息，第13位数字为“校验码”．其中校验码是用来校验条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．具体算法如下（以图②为例）： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和：即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和：即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 【解决问题】 (1)如图③，某条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，用只含有的代数式表示_____．当校验码时，_____； (2)若某甲商品的条形码为692015246102Y，则校验码的值是_____； (3)若乙商品条形码数字为6903244672483，利用上述检验码的算法，判断此条形码的真伪，并说明理由； (4)如图④，某条形码中被污染的两个数字的和为13，请直接写出被污染的两个数字中右边的数字是_____； (5)若小丽在超市买到我国国产商品条形码（条形码在常见使用范围）如图⑤，条形码中有两位数字被墨水污染了，设这两位数字分别为，．请分别求出，的值． 7．李军同学打算寒假骑一辆新自行车从家里到韶山，然后去拉萨． (1)若他以每小时8千米的速度骑车，中午12点到达韶山，若以每小时12千米的速度骑车，那么10点到达韶山，李军准备几点从家里出发？ (2)李军发现，一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废，若安装在后轮，则行驶3000千米后报废，李军骑自行车行驶多少千米时，应互换前后轮胎，让自行车走更多的路？ 8．【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2760度及以下部分 0.57 0.29 第二档 年用电2761～4800度部分 0.62 0.36 第三档 年用电4801度及以上部分 0.86 0.58 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算， 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1～6 7 8 用电量（度） 3400 600 900 【问题解决】 (1)若该用户在7月份所用的高峰电量为500度，求该用户7月份应缴电费． (2)已知该用户在8月份第二档所用低谷电是第三档所用低谷电的5倍，缴纳电费471.4元，求该用户8月份所用的第三档低谷电的度数． 9．已知数轴上有两点、，点表示的数是，点表示的数是，点是数轴上一动点． (1)如图1，若点在点的左侧，且，直接写出点到原点的距离 ． (2)如图2，若点在、两点之间时，以点为折点，将此数轴向右对折，当、两点之间的距离为时，求点在数轴上对应的数是多少？ (3)如图3，在（1）的条件下，动点、两点同时从、出发向右运动，同时动点从点向左运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度的倍少个单位长度/秒．经过秒，点、之间的距离是点、之间距离的一半，求动点的速度． 10．已知是的平分线，是的平分线，射线在外部，且在下方． (1)如图（1），当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图（2），当，，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），当，，与，有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 11．如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 12．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，． (1)图1中________． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值； ②在转动过程中，若，请直接写出满足要求的所有旋转角度α的值． 13．如图1，点C是线段上一点，若（），我们称m为点C在线段上的“分割值”，记为． 例如：点C在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足． ①求出________；________； ②请在图2的数轴上画出A、B两点． ③C为数轴上一个动点，从A点向终点B匀速运动．若C点表示的数为，则________． (2)如图3，在四边形中，，，，，点P，Q同时从点B出发向终点C匀速运动，点P沿折线运动，点Q沿线段运动．设点P，Q的速度分别为x和y且满足，若，当点P运动到线段上时，求的值．（用含有m的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 解答题压轴十一大类型 目录 典例详解 类型一、化简绝对值求最值问题 类型二、数轴上的动点问题 类型三、有理数运算的规律问题 类型四、有理数运算的实际应用 类型五、代数式的化简求值 类型六、解特殊的一元一次方程 类型七、与一元一次方程有关的新定义问题 类型八、与线段有关的定值问题 类型九、与线段有关的动点问题 类型十、三角板中的角度计算 类型十一、实际问题中的角度计算 压轴专练 类型一、化简绝对值求最值问题 1．二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【答案】(1)2412072813 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 小丽同学的准考证号为：2412072813； （2）W 的暗码是23，对应的数值m为4，用二进制表示为； F的暗码是6，对应的数值m为21，用二进制表示为； L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为； M的暗码是13，对应的数值m为14，用二进制表示为； S的暗码是19，对应的数值m为8，用二进制表示为； 二维码如下图所示： 2．科技改变生活，许多农户用网络销售的方式销售农产品．家住河南灵宝市的小王在网络上销售自家种的苹果，计划每天销售，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划销售量的部分记为正数，不足计划销售量的部分记为负数，下表是小王第一周苹果的销售情况． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 销售量/ (1)小王这一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)求小王这一周实际销售苹果的总质量； (3)若苹果的销售价为每千克7元，运费为每千克2元，运费由小王承担，求小王这一周销售苹果的总收入是多少元．（不计其他成本，除去运费） 【答案】(1)19 (2)701 (3)3505 【分析】 【详解】（1）解：由表知，小王星期三销售最多，超过计划销售量9千克，星期四销售最少，比计划销售量少10千克， 故（千克）； 答：一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售19千克； （2）解： （千克）； 答：小王这一周实际销售苹果701千克； （3）解：（元）； 答：这一周销售苹果的总收入是3505元． 3．随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也与某直播平台合作销售自己家种植的橙子，经过一段时间的试运营，小李发现每天能销售100千克左右的橙子．下表为小李12月份第一周销售橙子的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，回答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_________，销售量是_________千克． (2)这一周中，销量最多的一天比最少的一天多_________千克． (3)小李与该直播平台合作销售，费用结算规则如下：每天需支付基础服务费300元；若当天销量不足100千克，每少1千克，额外支付2元；若当天销量超过100千克，超过部分每千克奖励1元（从基础服务费中扣除），求小李这一周需要支付给直播平台的费用． 【答案】(1)三，102， (2)19 (3)元 【分析】 【详解】（1）解：，， 这一周中，销售量最接近100千克的是星期三，该天的销售量为：（千克）， 故答案为：三，； （2）解：销量最多的一天比最少的一天多千克； 故答案为：； （3）解：星期一：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期二：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期三：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期四：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期五：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期六：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期日：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 一周的总费用为：（元）． 4．某公司股票上周五股市收盘价（当天收市时的价格）为每股25元，老何上星期五以收盘价买进该公司股票1000股（股市周六、周日休市），在接下来的一周交易日内，老何记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况（记上涨为正，下跌为负．单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时该股票每股多少元？ (2)本周内收盘价每股最高价比最低价高多少元？ (3)已知老何买进股票时付了（千分之）的手续费，卖出时须付总金额的手续费和的交易税，如果他在本周五收盘前以收盘价将这支股票全部卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)27元 (2)本周内收盘价每股最高价比最低价高4.5元 (3)老何的收益为1396.25元 【分析】 【详解】（1）解：星期三收盘时股价为：（元）， 答：星期三收盘时该股票每股元； （2）解：周一收盘价：（元）； 周二收盘价：（元）； 周三收盘价：（元）； 周四收盘价：（元）； 周五收盘价：（元）, 最高价为27元，最低价为22.5元，（元）， ∴本周内收盘价每股最高价比最低价高元； （3）解：周五收盘价为：（元）， 老何收益为：（元）． 类型二、数轴上的动点问题 5．若代数式的值和代数式的值相等，求代数式的值． 【答案】7 【分析】 【详解】解：∵代数式的值和代数式的值相等， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果； (2)设当输入的值为时输出的值为，当输入的值为时输出的值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据框图步骤得 （2）解：， 当时， 当时， ， 则． 7．如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】 【详解】（1）解：由，，得， ∴ ； （2）解：当时， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ∴，符合题意； 综上可得的值为． 8．请根据图示的对话解答下列问题 “我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是．” 我告诉你：“、互为相反数，、互为倒数，是绝对值等于3的负数．” (1)__________，__________，__________； (2)计算：的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，是绝对值等于3的负数． ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 9．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3）解：，， ． 类型三、有理数运算的规律问题 10．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)； (2)，，当时，；当时，；当时， (3)方案一 【分析】 【详解】（1）解：∵， ， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）解：根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ，且， ， 从省料角度考虑，应选方案一． 11．某物流公司负责将甲、乙两个仓库的赈灾物资运往丙、丁两个灾区．甲仓库有物资40箱，乙仓库有物资50箱；丙灾区需要物资30箱，丁灾区需要物资60箱．已知从甲、乙两仓库到丙、丁两灾区的运费如下表： 到丙灾区 到丁灾区 甲仓库 每箱20元 每箱18元 乙仓库 每箱15元 每箱12元 设从甲仓库运到丙灾区的物资为箱． (1)从甲仓库运到丁灾区的物资为___________箱；从乙仓库运到丁灾区的物资为___________箱； (2)如果从甲仓库运到丙灾区的物资为15箱，那么总运费为多少元？ 【答案】(1)；． (2)总运费为1395元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，从甲仓库运到丁灾区的物资为箱，从乙仓库运到丙灾区的物资为箱，从乙仓库运到丁灾区的物资为箱． 故答案为：；． （2）解：计算总运费（含的代数式）根据运费表，各部分运费如下： 甲仓库到丙灾区：元； 甲仓库到丁灾区：元， 乙仓库到丙灾区：元， 乙仓库到丁灾区：元， ∴元， 当时，（元）． 答：总运费为1395元． 12．科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升秒后进行拍照，然后以米秒的速度匀速下降秒后进行第二次拍照． (1)用含的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； (2)当时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以米秒的速度匀速落回台面所用的时间． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：无人机第二次拍照时距地面的高度为初始高度加上升距离减下降距离初始高度为， ∴上升距离为，下降距离为， 因此高度为 ， ∴无人机第二次拍照时距地面的高度为； （2）解：当时，第二次拍照时的高度为 ∴台面高度为下降距离为， ∵下降速度为， 下降时间为， 所以落回台面所用的时间为． 13．某中学课程丰富，设有劳动课程基地，基地内有两种长方形菜地A，B，菜地的长均为a米，宽均为b米，菜地分两部分，如图，一部分为作物种植区（阴影部分），另一部分为蓄水池，A菜地的蓄水池是半径为x米的四分之一圆形，B菜地的蓄水池是边长为x米的正方形．（π取3） (1)若A菜地有3块，B菜地有2块，求作物种植区的总面积；（用含a，b，x的式子表示） (2)在（1）的条件下，在作物成熟之际，用收割机收割每平方米作物的费用为6元，当，，时，求作物种植区全部收割完所需的总费用． 【答案】(1)平方米 (2)2298元 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得菜地作物种植区的面积为平方米，菜地作物种植区的面积为平方米． 所以作物种植区的总面积为平方米． （2）解：当时，（平方米）． （元）． 答：作物种植区全部收割完所需的总费用为2298元． 14．学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)； (2)第②种合算，计算见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；则方案①需付款； ②买一只文具盒送一本笔记本．则方案②需付款； 故答案为：；． （2）把分别代入（1）中两个代数式： 方案①：元；方案②：元； ， 故第②种合算． 类型四、有理数运算的实际应用 15．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：能被6整除，理由如下： ， 为正整数， 是正整数， 能被6整除， 即减去的差能被6整除． 16．在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 【答案】(1)123（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：能被3整除的三位数为123．（答案不唯一） （2）证明：设三位数， ∵， 又∵和都能被3整除， ∴如果能被3整除，那么能被3整除，即三位数能被3整除． （3）解： ， ∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∵和能被3整除， ∴能被3整除． 17．一个四位正整数，其百位数字与个位数字的和是5，十位数字比千位数字大1，则称这个四位正整数为“五一数”．例如：3441是“五一数”，∵，，∴3441是“五一数”；6172不是“五一数”，∵，∴6172不是“五一数”． (1)试判断8194是否是“五一数”，并说明理由； (2)直接写出最小的“五一数”； (3)若“五一数”能被14整除，求出所有符合条件的“五一数”N． 【答案】(1)8194是“五一数”，理由见解析 (2)1025 (3)6174，5362，4550 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴8194是“五一数”； （2）最小的“五一数”是1025； 理由：千位最小为1，所以十位为2， ∵其百位数字与个位数字的和是5， ∴百位最小为0， 所以个位为5， ∴最小的“五一数”是1025； （3）∵“五一数”能被14整除， ∴个位的数可能是：0、2、4、6、8， 设千位上的数是x， 当个数是0时，百位是5，所以； 当个数是2时，百位是3，所以； 当个数是4时，百位是1，所以； 当个数是6或8时，百位的数不存在． 把分别代入代数式中， 解得：6174，5362，4550能被14整除， ∴符合条件的“五一数”N为：6174，5362，4550． 18．如图，在某月的日历中，用一个“＋”形阴影涂出5个数． (1)涂出的5个数字的和为______； (2)移动“”形阴影，当位于“”形阴影最中间的一个数为时，试证明：涂出的5个数的和一定能被5整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得，涂出的5个数字的和为： ， 故答案为：； （2）证明：当位于“”形阴影最中间的一个数为n时，其它四个数分别为：，，，， 这五个数的和为： ， n为正整数， 为正整数， 一定能被5整除， 涂出的5个数的和一定能被5整除． 类型五、代数式的化简求值 19．如图，将6个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y． (1)请用含x，y的代数式分别表示空余部分G，H的周长，直接写出化简后的结果：G的周长为_______，H的周长为_______； (2)将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n之间有什么数量关系？请计算并加以说明． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：G的周长是：，H的周长是：， 的周长为，H的周长为； （2），理由是： ， ， ， ． 20．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n． (1)请用含m，n的代数式表示：正方形与正方形的面积差为 ； (2)填写表格： m n 图③中大正方形与图②中小正方形的周长差 3 2 4 2 (3)观察表格，写出你关于图③中大正方形与图②中小正方形的周长差的发现，并用所学知识进行解释． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：观察可知，直角三角形的边长两条直角边分别为， ∴图③中大正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 正方形的面积为， ∴正方形与正方形的面积差为； （2）由题意，图③中大正方形的边长为，图②中小正方形的边长为， ∴图③中大正方形的周长为，图②中小正方形的周长为， ∴图③中大正方形与图②中小正方形的周长差为， ∴当时，周长差为； 当时，周长差为； 填表如下： m n 图③中大正方形与图②中小正方形的周长差 3 2 8 4 2 8 （3）由表格可知，图③中大正方形与图②中小正方形的周长差与的值无关； 理由：由题意，图③中大正方形的边长为，图②中小正方形的边长为， ∴图③中大正方形的周长为，图②中小正方形的周长为， ∴图③中大正方形与图②中小正方形的周长差为， 故图③中大正方形与图②中小正方形的周长差与的值无关． 21．小东同学用若干长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4个长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9个长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【答案】(1) (2) (3)190 【分析】 【详解】（1）解：根据图2可知：与之间满足的关系式为； （2）解：根据图3可知：， ， 长方形的周长为； （3）解：图3中5个阴影图形的周长和为： ， 把代入得： ． 22．下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形（宽度为，高为），阴影区域是空下来的地方，若大长方形的长比宽多5厘米． (1)大长方形的宽为________；（用题目中的已知字母的关系式表示） (2)比较图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】(1) (2)图（1）中阴影区域的周长大，大10厘米 【分析】 【详解】（1）解：由图）可知：大长方形的长为， ∴宽为； 故答案为； （2）解：由（1）及图可知： 图1阴影部分的周长为； 图2阴影部分的周长为， ∴； 答：图（1）中阴影区域的周长大，大10厘米． 23．如图，长为50cm，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影部分，外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为． (1)每个小长方形较长的一边长是___________(用含的式子表示),阴影部分的较短的一边长是___________(用含,的式子表示)； (2)请说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见详解 【分析】 【详解】（1）解：（1）由图可得：每个小长方形较长一边长是,则阴影部分B的较短的边长是, 故答案为：，； （2）（2）由条件可知：阴影B的宽为，长为， 则阴影A，B的周长和为： ∵代数式中无字母a， ∴阴影部分，的周长之和与的取值无关． 类型六、解特殊的一元一次方程 24．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】 【详解】（1）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，解得， 方程的解是或， 故答案为：或； （2）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，它的解是， 方程的解为或； （3）①当时，， 原方程可化为，解得； ②当时，， 原方程可化为 ，化简得 ，该等式不成立，故方程在此范围内无解 ③当时，， 原方程可化为，解得； 综上，方程：的解为或． 25．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 26．在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 27．方程可以有多种不同的解法，其中有一种解法为换元法．观察此方程，设． (1)原方程可变形为：，解方程得： ，从而可得 ； (2)利用上述方法解方程：； (3)利用上述方法解方程：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）设，则原方程可变形为关于t的方程：， 去分母为：， 解得：， ∴， 解得：； （3）设，则原方程可变形为关于y的方程： ， ， ， ， ∴， ∴． 28．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 类型七、与一元一次方程有关的新定义问题 29．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 【详解】（1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 30．用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：． (1)_________； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原式 故答案为： （2） 根据题意可知 解得 31．定义：使成立的一对有理数a，b称为“共生有理数对”，记作．例如：因为，所以是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若5是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为________． 【答案】(1)数对不是“共生有理数对”，理由见解析 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：数对不是“共生有理数对”，理由如下： ， ， 数对不是“共生有理数对”． （2）解：设另一个有理数为b， ∵5是“共生有理数对”中的一个有理数， ∴或，解得：或． ∴这个“共生有理数对”为或． 32．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 类型八、与线段有关的定值问题 33．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【问题探究】 在一条数轴上，为原点，点对应的数为4，点对应的数为． （1）直接写出：的中点对应的数为 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒．求当为何值时，的中点所对应的数为5.5？ 【拓展延伸】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为； 若数轴上点的对应数为，点的对应数为，点为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为． 以此类推…… （3）在（2）的条件下，若点为最靠近的五等分点，点为的中点，是否存在，使得为定值？若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）存在，定值为 【分析】 【详解】解：（1）的中点对应的数为：， 故答案为：1； （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 中点为5.5， ， 解得； （3）存在这样的，使得为定值，理由如下： 点为最靠近的五等分点， 点表示的数为， 点表示的数为， ， ， 表示数到数和之间的距离之和， 当时， 【点睛】本题考查中点公式，列代数式，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义及两点间距离公式，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 34．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 35．若数轴上两点所表示的数分别为和，则有①两点的中点表示的数为；②两点之间的距离． (1)若直接写出： ． (2)在（1）的条件下，点在数轴上对应的数是，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点，使成立，若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由． (3)若数轴上两点所表示的数分别为和（其中），点以每秒1个单位的速度从原点出发向右运动，同时点从点出发以每秒7个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒10个单位的速度向右运动，、分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)8 (2)存在，或 (3)是定值，2 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8； （2）解：∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， 设点P对应的数为p， 则，，， ∵， ∴， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴（舍去）． 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴（舍去）． ∴点P对应的数为或． 综上所述，点P对应的数为或； （3）解：在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点， ∴Q点对应的数是， ∴， ∴， ∴在运动过程中，的值不变，定值为2． 36．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为， ， 点对应的数为； （2）解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， ，（）， ， ， 当，即时， ， （舍去）， 当，即时， ， ， ， ∴所以t为时，； （3）解：（点在点左侧，）， ， ， 为定值， ， 解得， ∴存在常数使得为定值． 类型九、与线段有关的动点问题 37．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 38．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 39．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 40．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    41．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 类型十、三角板中的角度计算 42．借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转___________度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：由题意，当边与边首次重合时，旋转的角度为的度数，即为， 此时． 43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 44．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【分析】 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 45．如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解：∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ②如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，． （3）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ②如图，当在射线的上方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，． （4）①如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． ②如图，当在射线的下方，上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴； ③如图，当在下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． 综上所述，． 46．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 类型十一、实际问题中的角度计算 47．在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 48．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 【答案】轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【详解】解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷15=24°． ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈． ∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【点睛】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键． 49．大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【分析】 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：①平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 50．自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．    (1)填空：___________； (2)如图2，若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动．在转动过程中，灯射线与交于点，灯射线与交于点．在灯射线到达之前，设灯转动秒． ①当时，则___________，___________（用含的式子表示）． ②当灯转动 ___________秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；，②30 (3)不发生变化， 【分析】 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60； （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 1．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 2．定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【答案】(1)7 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，n的值为5或7 (4) 【分析】 【详解】（1）解：点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 则称点为点、的“7格距点”， 故答案为：7； （2）解：由整点为、的“5格距点”，可知整点点到的距离与点到点的距离之和为5， 由数轴可知，此时点所表示的整数可能为，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）解点到点的距离为1， 点表示的数为或， 当点表示的数为2时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 当点表示的数为4时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 答：点表示的数为2或4，的值为5或7； （4）解：∵点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍， ∴， 点表示的数为：， 此时， 答：的值为． 3．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 4．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 5．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【分析】 【详解】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 6．【发现问题】 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．我们知道，超市里的收费是扫码枪是通过扫描商品上的条形码来收款的，如图①．售货员通过输入条形码上的数字也可以获取商品的信息．爱思考的小丽发现条形码上的数字存在某种运算关系． 【提出问题】 ①超市商品条形码大多是13位数字组成，它们代表什么含义？ ②这些数字之间存在怎样的运算关系？ 【查阅资料】 课本第9页阅读部分曾对商品条形码进行了简单介绍，通过查找资料，明晰：商品条形码由国际商品编码协会分配的，我国商品条形码国家代码范围是690-699，其中690-693为常见使用范围，696-699尚未启用．通过商品条形码的前缀码可快速识别商品的编码组织归属，助力全球供应链中的商品追溯与管理．商品的条形码共有13位数字，前12位数字表示“国家代码、厂商代码和产品代码”相关信息，第13位数字为“校验码”．其中校验码是用来校验条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．具体算法如下（以图②为例）： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和：即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和：即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 【解决问题】 (1)如图③，某条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，用只含有的代数式表示_____．当校验码时，_____； (2)若某甲商品的条形码为692015246102Y，则校验码的值是_____； (3)若乙商品条形码数字为6903244672483，利用上述检验码的算法，判断此条形码的真伪，并说明理由； (4)如图④，某条形码中被污染的两个数字的和为13，请直接写出被污染的两个数字中右边的数字是_____； (5)若小丽在超市买到我国国产商品条形码（条形码在常见使用范围）如图⑤，条形码中有两位数字被墨水污染了，设这两位数字分别为，．请分别求出，的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)此条形码是假的，见解析 (4)4或9 (5)①当，；②当，；③当，；④当， 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，； ； ； 当校验码时，， 则， 是大于或等于且为10的整数倍的最小数， ， 即． ， 故答案为：；； （2）由题意得，； ； ； 是大于或等于且为10的整数倍的最小数， ， 校验码， 故答案为：0． （3）条形码是假的，理由如下： 由题意得，； ； ； 是大于或等于且为10的整数倍的最小数， ， 校验码， 条形码是假的； （4）设左边污染的数字为e，右边污染的数字为f，则， 由题意得，； ； ； 校验码为5， ， 则， 是大于或等于且为10的整数倍的最小数， 或110， 当时，． 解得， 当时，． 解得， 故答案为：4或9； （5）由题意得，； ； ； 校验码为2， ， 则， 是大于或等于且为10的整数倍的最小数， 或170， 当时，， 当，；当，； 当时，， 我国商品条形码国家代码范围是690-699，其中690-693为常见使用范围， 当，；当，； 综上所述：当，；当，；当，；当，． 7．李军同学打算寒假骑一辆新自行车从家里到韶山，然后去拉萨． (1)若他以每小时8千米的速度骑车，中午12点到达韶山，若以每小时12千米的速度骑车，那么10点到达韶山，李军准备几点从家里出发？ (2)李军发现，一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废，若安装在后轮，则行驶3000千米后报废，李军骑自行车行驶多少千米时，应互换前后轮胎，让自行车走更多的路？ 【答案】(1)6点 (2)1875千米 【分析】 【详解】（1）解：设李军准备x点从家里出发， 由题意得：， 解得：； 答：李军准备6点从家里出发； （2）解：设自行车换轮胎时行驶了x千米，轮胎的寿命为1，要使行驶里程最长，交换轮胎后两轮胎应同时报废； 此时前轮的寿命为，后轮的寿命为， 前轮换到后轮再行驶千米就报废，后轮换到前轮再行驶千米就报废， 由题意得：， 解得：； 答：李军骑自行车行驶1875千米时，应互换前后轮胎，让自行车走更多的路． 8．【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2760度及以下部分 0.57 0.29 第二档 年用电2761～4800度部分 0.62 0.36 第三档 年用电4801度及以上部分 0.86 0.58 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算， 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1～6 7 8 用电量（度） 3400 600 900 【问题解决】 (1)若该用户在7月份所用的高峰电量为500度，求该用户7月份应缴电费． (2)已知该用户在8月份第二档所用低谷电是第三档所用低谷电的5倍，缴纳电费471.4元，求该用户8月份所用的第三档低谷电的度数． 【答案】(1)346元 (2)70度 【分析】 【详解】（1）解：∵（度），， ∴该用户7月份的用电量在第二档， 根据题意得： （元）； 答：该用户7月份应缴电费346元． （2）解：∵（度），（度），， ∴该用户8月份的用电量在第二档的有800度，在第三档的有100度； 设该用户8月份第三档所用低谷电的度数为度，则第三档高峰电的度数为度； 第二档所用低谷电的度数为度，第二档高峰电的度数为度； 根据题意得：， ， ， 解得；                                              答：该用户8月份所用第三档低谷电的度数为70度． 9．已知数轴上有两点、，点表示的数是，点表示的数是，点是数轴上一动点． (1)如图1，若点在点的左侧，且，直接写出点到原点的距离 ． (2)如图2，若点在、两点之间时，以点为折点，将此数轴向右对折，当、两点之间的距离为时，求点在数轴上对应的数是多少？ (3)如图3，在（1）的条件下，动点、两点同时从、出发向右运动，同时动点从点向左运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度的倍少个单位长度/秒．经过秒，点、之间的距离是点、之间距离的一半，求动点的速度． 【答案】(1) (2)点在数轴上对应的数是或 (3)动点的速度为个单位长度/秒 【分析】 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴点到原点的距离为； 故答案为：； （2）设点表示的数为，根据题意得： ，或， ∴或， ∴点在数轴上对应的数是或； （3）设点的速度为个单位长度/秒，则点的速度个单位长度/秒，点的速度是个单位长度/秒，由题意得： ， 解得：或， ∴或（不符合题意，舍去）． 答：动点的速度为个单位长度/秒． 10．已知是的平分线，是的平分线，射线在外部，且在下方． (1)如图（1），当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图（2），当，，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），当，，与，有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与无数量关系，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：，与无数量关系，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴． 11．如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒， 则， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动时间为， 依题意，分以下两种情况： ①点未到达点时， ，即， 解得， 点刚到达点时，则，则，即此时； ②当点到达点后，则点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为， 综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， ， 点E、F分别为和的中点， ，， ， 则． 12．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，． (1)图1中________． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值； ②在转动过程中，若，请直接写出满足要求的所有旋转角度α的值． 【答案】(1) (2)①旋转角度α的值为，，，②或 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：①当平分时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当平分时， ∵， ∴， ∴； 当平分时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，旋转角度α的值为，，． ②当在的左侧时， ，， ∵， ∴， ∴； 当在的右侧时， ，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当或时，． 13．如图1，点C是线段上一点，若（），我们称m为点C在线段上的“分割值”，记为． 例如：点C在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足． ①求出________；________； ②请在图2的数轴上画出A、B两点． ③C为数轴上一个动点，从A点向终点B匀速运动．若C点表示的数为，则________． (2)如图3，在四边形中，，，，，点P，Q同时从点B出发向终点C匀速运动，点P沿折线运动，点Q沿线段运动．设点P，Q的速度分别为x和y且满足，若，当点P运动到线段上时，求的值．（用含有m的代数式表示） 【答案】(1)①，4；②见解析；③ (2) 【分析】 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； ②点A和点B如图所示， ③， ∵C点表示的数为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设点P速度为，点Q速度为， 设运动时间为，则， ∴，即， ∴， ∴（点P的运动路程） ， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $