专题02 有理数的运算（期末复习讲义，知识必备+17大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义通过核心考点表格系统梳理了有理数运算的知识体系，涵盖加减乘除、乘方、科学记数法等12个核心考点，并用分层知识点模块呈现法则、运算律及易错点，突出符号处理等关键要点。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，设置17个题型如无人机飞行高度应用问题培养数据意识，拆项法等技巧提升运算能力。基础题巩固法则，综合题如程序流程图发展推理意识，支持学生自主复习和教师精准教学。

专题02 有理数的运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在解答题 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在小题中 近似数 掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 有理数加减法法则 有理数加法法则 【概念】同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 【注意】 1、异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2、绝对值相等时，两数之和为0； 3、一个数与0相加，仍得这个数； 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 【注意】有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 有理数加减混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 知识点02 有理数乘除法法则 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 倒数 【概念】乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 【注意】单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 【注意】1、两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. 2、有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【注意】在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点03 有理数的乘方运算 【概念】求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 有理数乘方的运算 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 【注意】 （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 知识点04 科学记数法 【概念】科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 知识点05 近似数 【近似数相关概念】 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【注意】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字. 题型一 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】（24-25六年级上·山东·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法运算法则是解答的关键． （1）先去括号和绝对值，再加减运算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行简便运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据加法交换律和结合律简便计算即可； （3）根据加法交换律和结合律简便计算即可； （4）先去绝对值，再根据加法交换律和结合律简便计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法．根据题意结合，，列式计算即可得解． 【详解】解：∵用符号表示，两数中的较大数，用符号表示，两数中的较小数，且，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，掌握利用运算律进行简便运算是解本题的关键； （1）去括号，运用加法交换律和加法结合律，再把符号相同的两数先加，再计算即可； （2）运用加法交换律和加法结合律，把分母相同的两数先加，再计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ． 【变式3】（23-24七年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型二 有理数加减法的应用 答｜题｜技｜巧 加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算； 【典例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）2024年12月15日，在福建安溪举行的2024百茶百戏文化周“百茶百戏奇妙游”演出中，百架无人机呈现出震撼的夜空灯光秀．其中一架无人机从场地内某一初始高度开始表演，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，其中五次飞行高度记录如下：，，，，（单位：米） (1)求无人机最后所在的位置比开始位置高还是低?高了或低了多少米? (2)无人机五次共飞行了多少米? 【答案】(1)无人机最后所在位置比开始位置高，高了37米 (2)103米 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算以及绝对值的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，列式计算，结果是，大于0，则无人机最后所在位置比开始位置高，即可作答． （2）读懂题意，列式，然后化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：（米）， 答：无人机最后所在位置比开始位置高，高了37米． （2）解： （米） 答：无人机五次共飞行了103米． 【典例2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）张掖七彩丹霞景区是张掖唯一的级景区，在今年“十一黄金周”（国庆期间）更是火热，若在9月30日的游客人数为3万人，如表为7天假期末每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 +0.2 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)“十一黄金周”（7天），丹霞景区共接待游客多少人？ 【答案】(1)七天内游客人数最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差1.8万人 (2)34.3万人 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际游客人数后进行判断并计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：10月1日的游客人数：（万人）； 10月2日的游客人数：（万人）； 10月3日的游客人数：（万人）； 10月4日的游客人数：（万人）； 10月5日的游客人数：（万人）； 10月6日的游客人数：（万人）； 10月7日的游客人数：（万人）； 则七天内游客人数最多的是10月3日，最少的是10月7日， （万人）， 即它们相差1.8万人； （2）解：（万人）， 即“十一黄金周”（7天），丹霞景区共接待游客34.3万人． 【变式1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）某校举办了“废纸回收、变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“+”、不足的记为“−”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小新不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得七（3）班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的废纸量相差． 班级 七（1）班 七（2）班 七（3）班 七（4）班 七（5）班 七（6）班 超过（不足）（） +2 −1 0 −1 (1)表格中七（6）班看不清的数据应为 ； (2)若七年级计划总共收集废纸，他们达到预期目标了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)达到了预期目标，理由见解析 【分析】本题主要考查正负数表示的意义、有理数的加法，熟练掌握正负数表示的意义、有理数的加法运算法则是解决本题的关键． （1）根据正负数表示的意义、有理数的加法法则解决此题． （2）根据正负数表示的意义、有理数的乘法运算法则解决此题． 【详解】（1）经分析，六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为，记为 六班收集废纸的质量为． 故答案为： （2）他们达到预期目标， 理由：， 答：他们达到预期目标； 【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·期末）元旦期间，小红与同学相约去公园游玩，妈妈通过微信红包给了她元零花钱，如图是她微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设她初始余额为元）：    (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)小红回家后想起来，她删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为元，请帮她计算出在蛋糕店的支出金额． 【答案】(1)截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为元 (2)小红在蛋糕店的支出金额为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算及正负数的应用，解题的关键是根据正数和负数表示的意义来解答． （1）根据负数为支出，再对负数的绝对值进行比较，绝对值大的支出费用就大； （2）先用200减去消费的钱数，再与43.5元相减，即得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为元． （2）解：（元）． （元）． 答：小红在蛋糕店的支出金额为元． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）某自行车厂计划平均每天生产180辆自行车，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周（7天）的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划平均每天生产数量的差值（单位：辆） (1)本周后三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆自行车？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得80元，若超额完成任务，则超过部分每辆再另奖20元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)539辆 (2)25辆 (3)101900元 【分析】本题考查了正数负数的意义，有理数加减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格分别计算后三天每天生产的自行车，然后相加即可得到答案； （2）用表格中最大数减去最小数即可得到答案； （3）先根据表格计算一周的生产总量，再根据实际生产的量乘以单价得到工资，由超出的部分或不足的部分乘以每辆的奖金可得总奖金，最后根据工资加奖金即可得到答案． 【详解】（1）解：（辆） 答：本周后三天共生产了539辆自行车． （2）解：（辆） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产了25辆自行车． （3）解：（辆） （辆） （元） 答：该厂工人这一周的工资总额是101900元． 题型三 有理数加减混合运算（提高） 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减法则计算即可得解； （4）根据有理数的加减法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（24-25七年级上·全国·期末）计算 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先去绝对值，然后运算加减解题即可． 【详解】解：原式． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得． 【详解】解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即 ， 即这个运算结果最大值是21， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）去括号，再将同分母的分数结合起来计算即可； （4）把小数化为分数并去括号，再将同分母的分数结合起来计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，解题关键是通过通分、运用加法交换律和结合律对式子分组，简化计算过程． （1）通分后，分组结合同分母数计算． （2）通分后，按顺序或分组计算． （3）统一小数为分数，通分后分组结合计算． （4）拆分带分数，整数与分数部分分别分组计算． 【详解】（1） ． （2） ． （3） （4） ． 题型四 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【典例2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【分析】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】考查有理数的减法法则、加法运算律（交换律、结合律）．解题关键是正确运用减法法则转化运算，利用运算律凑整简化计算；易错点是符号处理错误，或运算律应用时漏变符号． （1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． 故答案为：有理数的减法法则． （2）加法交换律：． 故答案为：． （3）从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误． 故答案为：二；写成了． （4）原式 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 【变式3】（2025七年级上·全国·期末）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用拆项法将原式变形，然后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型五 省略加法和括号的形式 解｜题｜技｜巧 省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号； 【典例1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 【典例2】（24-25七年级上·广西防城港·期末）为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）把写成省略括号和加号的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号． 【详解】解：把写成省略括号和加号的形式为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）将式子写成省略加号的形式 ． 【答案】 【分析】根据有理数去括号法则化简每个括号内的符号，然后写成省略加号的形式即可，注意若括号前为减号，去括号时需改变括号内各项的符号；本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握省略加法及括号的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 则原式 ； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·四川泸州·期末）把算式转化为只含加法的形式，并用交换律和结合律计算其结果，步骤为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是正确解答的关键． 根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： 题型六 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算法则进行求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【典例2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算中，乘除混合运算的运用，熟练掌握乘除混合运算是解题关键，注意符号问题．利用有理数混合运算计算即可，注意符号问题． 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式1】（23-24七年级上·吉林松原·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可． （2）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算加法，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，乘法，乘法和除法混合运算，乘法分配律，根据相关运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 题型七 有理数乘除法的实际应用 解｜题｜技｜巧 找到数量关系进行求解； 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用等知识点，读懂题意，根据“路程速度时间”正确列出算式是解题的关键． 先将换算成，然后根据“路程速度时间”列式计算即可． 【详解】解：， ， 故说法正确，说法错误； ， 故说法正确，说法错误； 综上，正确的说法有：， 故选：． 【典例2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算） 通话时间t/分钟 1 2 3 4 … 电话费y/元 … 若小明通话6分钟，则需要付电话费（   ） A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元 【答案】B 【分析】题目主要考查有理数的乘除法的运算，理解题意，得出通话每分钟的电话费为0.15元是解题关键 【详解】解：根据题意得：， ∴小明通话6分钟，则需要付电话费元， 故选：B 【变式1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换 瓶啤酒． 【答案】6 【分析】本题考查了除法的应用．先把一箱啤酒共12瓶喝完，共得到12个空瓶，可以换瓶啤酒，再喝完，可以得4个空瓶，可以换，即得到1瓶啤酒余1个空瓶，喝完1瓶啤酒再加原来的1个空瓶，这时候剩2个空瓶，可以再借一个瓶子，换完啤酒后，喝掉一瓶，再还回去，由此即可求解． 【详解】解： (瓶) (瓶)…1(个) (瓶) (瓶) (瓶) 他们还可以再兑换6瓶啤酒． 故答案为：6． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用； 分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）恩格尔系数是国际上通用的衡量居民家庭生活水平高低的指标之一．具体计算公式为：恩格尔系数，恩格尔系数达到以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕．为了了解自己家的生活水平，闻文对自己家8月份的收支情况进行了整理和记录，如下表： 项目 收支情况／元 爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元 _____________ 水，电，煤气，手机，宽带等共支出1400元 文化教育支出元 食物支出1800元 _____________ 合计支出 (1)将表格中横线部分补充完整，并根据闻文家本月合计支出7200元，求出的值； (2)根据以上信息，对闻文家的生活水平进行评价． 【答案】(1)；；支出4000元 (2)最富裕 【分析】本题考查正数和负数，有理数的运算． （1）根据题目给出的正数和负数的意义填表即可，再用总支出减去除文化教育外支出即可得出的值； （2）根据恩格尔系数公式计算闻文家的恩格尔系数，根据结果进行评价即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以文化教育支出4000元，即的值为4000； 填表如下： 项目 收支情况／元 爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元 水，电，煤气，手机，宽带等共支出1400元 文化教育支出元 食物支出1800元 合计支出 故答案为：；； （2）解：恩格尔系数， ∴闻文家的生活水平属于最富裕． 题型八 有理数乘法运算律 解｜题｜技｜巧 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【典例1】计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3)2 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算，约分即可得解； （3）利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】15 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算．解题的关键是将数统一形式后，提取相同公因数，运用乘法分配律简化计算． 将带分数和小数统一形式，再提取公因数，运用乘法分配律简化计算． 【详解】解：原式 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)348 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，熟练掌握乘法的分配律是解题关键． （1）根据有理数乘法的分配律将原式变形为，计算括号内的加法，再计算乘法即可得； （2）根据有理数乘法的分配律将原式变形为，计算括号内的减法，再计算乘法即可得； （3）根据有理数乘法的分配律将原式变形为，计算括号内的加法，再计算乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算法则．先用乘法分配律计算，再算括号内，后算加减即可． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）根据逆向使用乘法分配律计算即可； （4）先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型九 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内，再进行乘除法计算即可． 【详解】解：原式 ． 【典例2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘法，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则对各式计算，即可作出判断，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的有理数运算；根据“幻生有理数对”的定义，逐一计算每对有理数的和的值，并判断是否相等即可． 【详解】解：对于： ， ∴，故是幻生有理数对． 对于 ： =， +=， =，故是幻生有理数对． 对于：， ，故是幻生有理数对． 对于：， ，故不是幻生有理数对． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·云南玉溪·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)30 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数四则运算法泽和运算顺序计算即可； （2）先根据乘法分配律去括号，再计算乘法，最后算加减运算，即可得到结果； 【详解】（1）解：      （2）解： ． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值单位：件 (1)这周共加工了______件小麦收割机配件． (2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件． (3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入． 【答案】(1)2020 (2)110 (3)20300元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）先计算这5天超出或不足标准的总量，再加上这5天一共的标准量即可； （2）直接用表格中最大的数减去最小的数计算即可； （3）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： 件， 即这周共加工了2020件小麦收割机配件． 故答案为：2020． （2）（件）， 即这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了110件． 故答案为：110． （3） 元， 即该车间这周的总收入为20300元． 【典例2】根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：露营基地在家的西边处；任务2：14元；任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：先求出水果店到奶茶店的原价费用和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券进行计算即可． 【详解】解：任务1：由题意可得：， 答：露营基地在家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：炸鸡店到面包店所需费用14元； 任务3：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元），奶茶店到露营基地的原价费用为（元），， 则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券， （元） 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费元． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 3 2 1 -0.5 -1.5 5 6 (1)该生周三使用电子产品用了多少个小时? (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时? (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时? 【答案】(1)该生周三使用电子产品用了3小时； (2)该生使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多7.5小时； (3)该生这一周使用电子产品共用了29小时． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：该生周三使用电子产品的时间，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多的时间，然后进行计算即可解答； （3）把表格中的这些正数和负数全部相加，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：（小时）， 该生周三使用电子产品共用了3小时； （2）解：由题意得：（小时）， 该生使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多7.5小时； （3）由题意得：（小时）， （小时）， 该生这一周使用电子产品共用了29小时． 【变式2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 【答案】(1) (2)这4天的总载客人数为人 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，理解题意，正确计算是解题的关键． （1）根据题意，可得答案； （2）根据图中信息，把每一天的载客人数算出，相加即可． 【详解】（1）解：根据题意可得12月7日的数据可记作； 故答案为：； （2）解：人， 答：这4天的总载客人数为人． 【变式3】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，电费0.6元度，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了403千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省141.05元钱 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，正数和负数，熟记有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）根据表格中的数据列式计算即可； （2）根据（1）中汽车行驶的路程进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知， （千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了403千米； （2）解：由（1）知，小明家的新能源汽车这七天一共行驶了403千米， 汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，电费0.6元度， （元）． 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省141.05元钱． 题型十一 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3)0.99 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键： （1）根据加减运算法则进行计算即可； （2）根据混合运算法则进行计算即可； （3）根据混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ． 【典例2】（24-25六年级上·上海虹口·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先把带分数转化为假分数，并计算乘方，再算乘除，然后算括号内的运算，最后算加减． 【详解】解： ． 【变式1】（23-24七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)40 (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再利用乘法分配律去括号，接着计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（23-24六年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握各运算法则及运算顺序是解题的关键，按照运算顺序分别计算乘方与括号内的内容，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算步骤是解题的关键． （1）先进行乘方运算，同时对括号内进行计算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行乘方运算，再对括号内进行计算，最后进行加减运算，即可求解 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十二 程序流程图与算24点 【典例1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 【典例2】（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，找到规律是关键；求出部分输出结果，发现输出的结果以，，2循环，据此求解即可． 【详解】解：第1次输入，则输出的结果， 第2次输入，则输出的结果， 第3次输入，则输出的结果， … 输出的结果以，，2循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为， 故选：B． 【变式1】有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题，能通过计算发现输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 当输入x的值是3时， 第一次输出的结果是10； 第二次输出的结果是5； 第三次输出的结果是16； 第四次输出的结果是8； 第五次输出的结果是4； 第六次输出的结果是2； 第七次输出的结果是1； 第八次输出的结果是4； 第九次输出的结果是2； 第十次输出的结果是1； 第十一次输出的结果是4； …， 依次类推，输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现， 又因为余1， 所以第2024次输出的结果为4． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·山东济南·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为 ．    【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据输出的结果发现从第3次输出的结果开始按，循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 开始输入的的值为， 所以第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； ， 依次类推，从第3次输出的结果开始按，循环出现， 又 ， 所以第2024次输出的结果为； 故答案为：． 【变式3】定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴含了次数、结果规律探索问题，解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，从而求出答案． 【详解】解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8， 故答案为：8． 题型十三 科学记数法 解｜题｜技｜巧 1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 【典例1】（24-25七年级上·重庆·期末）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的 倍（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，关键是熟练准确的进行计算； 从级到级，震级差为4级，根据每增加两级能量释放增加倍，计算增加倍数． 【详解】根据题意，级地震释放的能量大约是级地震的倍，从级地震到级地震，震级差为级，即增加了两次两级，故能量释放增加倍数为，用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 【典例2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）2021年7月1日，中国共产党建党100周年，党员数量从建党初期的50余人发展到如今的余人，将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期末）随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“121万亿元”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：121万亿元． 故选D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型十四 近似数 解｜题｜技｜巧 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 【典例1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【答案】B 【分析】本题考查了有效数字、精确度和科学记数法等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有效数字、精确度和科学记数法等知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、数精确到千分位是，故A选项错误； B、将数精确到千位是，故B选项正确； C、按科学记数法表示的数，其原数是，故C选项错误； D、近似数精确到，故D选项错误； 故选：B． 【典例2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿亿（精确到个位） D．（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A．2.604≈2.6（精确到十分位），所以A选项不符合题意； B．（精确到0.1位），所以B选项符合题意； C．39.37亿37000000（精确到个位），所以C选项不符合题意； D．（精确到0.0001），所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数精确的条件是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：根据四舍五入， 取近似数精确到十分位是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）2021年5月15日，“祝融号”火星车登陆火星．火星与地球最近距离约54000000千米，横线上的数读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿千米． 【答案】 五千四百万 0.54 【分析】根据整数的改写和求近似数求解即可． 【详解】解：54000000读作五千四百万，54000000≈0.54亿． 故答案为五千四百万，0.54亿． 【点睛】本题主要考查了整数的改写和求近似数，改写成用“亿”作单位的数就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字；再把十分位上的数进行四舍五入即可． 【变式3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）用四舍五入法，按括号中的要求取近似数：1.5046（精确到0.01）≈ 【答案】1.50 【分析】把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：1.5046≈1.50（精确到0.01）． 故答案为：1.50． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字． 题型十五 有理数中规律计算问题 解｜题｜技｜巧 有理数的规律计算问题，主要掌握计算公式： 【典例1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 【典例2】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出的末位数字，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】∵，，，，，，，，， ∴， ∴末位数字是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，第个等式为； （3）由（2）可得，原式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知： ， ， 故答案为：，； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； （3）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·贵州安顺·期末）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，，… (1)第10个算式是__________=__________； (2)第n个算式是__________=__________； (3)根据以上规律计算下面各题： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案； （3）①根据（2）中的规律进行求解即可；②结合前面的规律易得，，根据此规律对原式进行变形，对括号内的式子加减相消，再计算即可． 【详解】（1）第10个算式是， 故答案为：； （2）第个算式为， 故答案为：； （3）① ． ② ． 【变式3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【答案】(1)55； (2)595 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据题目中的算式，总结得到规律是解题的关键． （1）根据所给的4个算式的规律，可知，求解即可；根据所给的算式总结得到规律，即可获得答案； （2）用的值减去的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据所给的4个算式的规律，可得； 根据所给的算式，总结得到规律为： ． 故答案为：55；； （2）原式 ． 题型十六 有理数运算中的新定义问题 【典例1】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ，； ，， ；，． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算_____________，异号两数运算_____________，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍_____________． 【用数学的思维思考】 （2）计算写出最后化简结果： ①__________； ②____________； （3）若，，求的值． 【答案】（1）结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 （2）①；② （3） 【分析】本题主要考查有理数的加法与减法运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算法则． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】解：（1）两数进行运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 （2）①； ②． 故答案为：①；② （3） ， ∴与同号，即， ． ， ∴与异号，即， ． ． 答：的值为． 【典例2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期末）定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为（　 　） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义．根据可依次推导出，，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是根据新定义运算得到数字的基本规律．根据题中所给新定义运算进行求解，即当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环，据此问题可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环下去， ∵； ∴第2024次“”运算的结果为92； 故选：B． 【变式3】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2) (3)加法的交换律仍然适用，结合律不适用，例子见解析 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，新定义： （1）首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）先计算出，再计算即可得到答案； （3）加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可； （4）根据（1）的结论可得m与同号，且，据此可得答案． 【详解】（1）解：归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． （4）解：∵， ∴， 故答案为：． 题型十七 二进制计算 【典例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）二进制只用0和1两个数字，例如就是二进制数101的简单写法，将其转化为十进制数为：（规定），则下列选项的二进制数中转化为十进制后等于11的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，理解二进制与十进制之间的转化方法是解题的关键．根据二进制数化十进制数的方法：二进制数的右起第1位的权值为2的0次方，第2位的权值为2的1次方，第3位的权值为2的2次方，计算出各项的结果并判断即可． 【详解】解：A、. ，不符合题意； B、. ，不符合题意； C、. ，不符合题意； D、. ，符合题意 故选：D． 【典例2】（24-25七年级上·河南信阳·期末）进位制的认识与探究是新教材重要的综合实践活动．进位制是人们为记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：，即十进制的数21对应二进制的数10101；，即六进制的数345对应十进制的数137根据上述规则，解答下列问题： (1)二进制的数对应的十进制的数是_______； (2)计算：，（结果用十进制表示）．（规定当时，） 【答案】(1)27 (2) 【分析】本题主要考查了进制转换的运用，理解不同进制之间的转换法则是解题关键． （1）根据十进制转换为二进制的法则，列式求解即可； （2）分别将和转换为十进制，然后求和即可 【详解】（1）解：二进制的数对应的十进制的数是， 故答案为：27； （2）解：， ， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 【答案】11 【分析】本题考查二进制数与十进制数换算方法，将变形为，根据有理数的运算法则计算可得答案． 【详解】解：， 故答案为：11． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，如二进制数1011转化成十进制数是11（提示：）．人们根据一周有七天，约定逢七进一，即七进制，是以7作为进位基数的数字系统．将七进制2025换算成十进制数是 ．（注：） 【答案】705 【分析】本题考查了七进制数转化为十进制数，熟练掌握七进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 根据七进制数转化为十进制数的方法计算即可． 【详解】解：将七进制2025换算成十进制数是， 故答案为705 【变式3】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）由于计算机的计算与记忆元件，只有“开”和“关”两种状态，因此，计算机上通用的是二进位制．二进位制的数只有两个数字0、1，它的进位规则是“逢二进一”，其一般形式为：（a取0、1，n取正整数）． 加数 加数 和 表1 (1)将化为十进制数得 ． (2)如图，将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用2去除，直到商为0为止．将余数倒序书写，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数．但二进制也有它们缺点，那就是书写起来并不方便．特别是一个较大的数，用二进制表示起来很长，容易出错．为了解决这个问题，在编制计算机程序时，往往采用八进制作为过渡，请你将75转化为八进制，并类比图1的过程说明理由． (3)八进制也能进行加法运算，请完善表1的内容，并描述两个八进制数相加的计算方法： ． 【答案】(1)25 (2)，理由见解析 (3)443；八进制数的加法运算规则是“逢八进一”．将两个八进制数按位相加，若结果大于等于8，则向高位进1 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用等知识，正确理解二进制与十进制的关系是解题关键． （1）根据二进制数转化为十进制数的公式计算即可得； （2）参照图1，不断地用8去除，直到商为0为止．将余数倒序书写，就是八进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的八进制数； （3）八进制数的加法运算规则是“逢八进一”．将两个八进制数按位相加，若结果大于等于8，则向高位进1． 【详解】（1）解：将化为十进制数为 ， 故答案为：25． （2）解：将75转化为八进制，类比图1的过程如下： 则将75转化为八进制为． （3）解：完善表1的内容如下： 加数 加数 和 两个八进制数相加的计算方法：八进制数的加法运算规则是“逢八进一”．将两个八进制数按位相加，若结果大于等于8，则向高位进1． 故答案为：443；八进制数的加法运算规则是“逢八进一”．将两个八进制数按位相加，若结果大于等于8，则向高位进1． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）将十进制数2025转成八进制数是（    ） A．2751 B．2752 C．3751 D．3752 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，将十进制转化为八进制，利用除以8取余法，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 十进制数2025转成八进制数是3751， 故选：C． 2．（24-25六年级下·上海静安·期末）若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义结合，得到，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或； 故选A． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末）如果，，，那么a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式、零指数幂、有理数的混合运算，有理数大小比较，正确计算是解题的关键．先根据零指数幂、平方差公式、有理数的乘方、乘法法则计算，再比较大小即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期末）按如图所示的程序计算，当输入x 的值为时，则输出的值为（  ） A．7 B．8 C．17 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算的结果，再把这个结果与5比较，若比5大，则输出，若比5小则把计算的结果作为新数输入，据此求解即可． 【详解】解：， ∴输出的结果为8， 故选：B． 5．（24-25七年级上·山东·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，需运用减去一个数等于加上它的相反数的法则进行转化，再结合有理数加法法则计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 【答案】2 【分析】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图形如何转化成常见运算的形式．根据题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：2． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如果与互为相反数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数乘方，绝对值和偶次幂非负性，由相反数定义可得，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，之后按甲、乙、丙、丁的顺序继续轮流．丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ． 【答案】三 【分析】本题考查了周期性问题的应用，解题的关键在于确定丁每次义诊的周期规律． 由题知丁第八次去的时候是第31天，再结合第一次义诊时间和周期规律即可求解． 【详解】丁第1次去是星期四说明甲第一次去是星期一，由于丙那一次没去， 所以丁第八次去的时候是第（天），（天）， 所以是星期三． 故答案为：三． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）每年的4月23 日是“世界读书日”，老师倡导同学们多读书，读好书，要求每天读课外书30分钟，小明由于种种原因，实际每天读课外书的时间与老师要求时间相比有出入，下表是小明某周读课外书的情况（超过记为正，不足记为负） ． 星期 一 二 三 四 五 六 日 读书时间/分钟 (1)读课外书时间最长的一天是星期 ，读课外书时间最短的一天是星期 ，读课外书时间最长的一天比最短一天多分钟． (2)小明这周读课外书的总时间是多少分钟？ 【答案】(1)六，五，26 (2)219 【分析】本题考查了正、负数，有理数的加、减法在实际生活中的应用．利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键． （1）根据表格找出读课外书最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求出结果即可． （2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周实际读课外书的时间． 【详解】（1）解：根据表格可知：读课外书最多的一天是周六，最少的一天是周五． ∴读课外书最多的一天比最少的一天多（分钟）， 故答案为：六，五，26； （2）解： （分钟） 答：小明这周课外阅读的总时间是219分钟． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·山东滨州·期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键．分别求出每天的温差，然后进行比较即可． 【详解】解：12月10日的温差为， 12月11日的温差为， 12月12日的温差为， 12月13日的温差为， ∴温差最大的一天是12月13日， 故选：D． 12．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解题意，正确的列式是解题的关键；根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【详解】解：6个小棍正放表示，8个小棍斜放表示， 因此图2可列的算式为， 故选：B． 13．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h 2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道CCTV-1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是2025年元月6日 B．巴黎是2025年元月7日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键． 根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项A不符合题意； B、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间是2025年元月6日，故选项B符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：B． 14．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）若，则的取值不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的乘法，能够正确将的符号分类讨论，是解本题的关键． 根据，分两种情况进行讨论：①同号；②异号；然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当同号时，原式或原式； ②当异号时，原式， 故的值不可能是， 故选：B． 15．（24-25七年级上·辽宁·期末）绝对值小于的所有奇数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义和有理数的加法，根据题意先得出符合条件的所有奇数，再相加即可求解． 【详解】解：绝对值小于5.2的所有奇数是：，，， 故答案为：0． 16．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的除法与减法，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，逐步计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 17．（24-25七年级上·四川雅安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)53 (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）计算乘方，并利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（23-24六年级上·山东济南·期末）年国庆档电影《长津湖》以抗美援朝为背景，讲述了中国人民志愿军在极端严酷惨烈的环境下，凭借钢铁意志最终取得了长津湖战役的胜利，该电影也再次掀起了全民爱国热潮，国安民才安，有国才有家！据猫眼数据，截至月8日，《长津湖》累计票房超过亿，成为年全球票房冠军！该电影9月日在莱芜的票房为万元，接下来国庆假期7天的票房变化情况如表（正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）． 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 票房（万元） (1)国庆假期7天中，月4日的票房收入是 万元； (2)国庆假期7天中，票房收入最多的一天是月 日； (3)国庆假期7天中，求票房收入最多的一天比最少的一天多多少万元？ 【答案】(1) (2)5 (3)票房收入最多的一天比最少的一天多万元 【分析】本题考查了运用正负数的概念和有理数的加法运算解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解该知识和题意，进行正确的列式、计算和比较． （1）根据表格中数据进行列式运算可得此题结果； （2）先计算出这7天中每天的票房，再进行大小比较即可； （3）通过第（2）题所计算所得的7天中的最大值减去最小值即可． 【详解】（1）（万元）， 故答案为：； （2）（万元）， （万元）， （万元）， （万元）， （万元）， （万元）， （万元）， ， 国庆假期7天中，票房收入最多的一天是月5日， 故答案为：5； （3）根据第（2）题所得，国庆假期7天中，票房收入最多的一天是月5日的万元，最少的一天是月7日的万元， （万元）， 答：国庆假期7天中，票房收入最多的一天比最少的一天多万元． 19．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是根据题意把新定义题目转化为常规有理数的计算． （1）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)在“”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)，14； (2)行车电脑不会发出充电提示． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减应用，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，得，即可得“”处的数为；再比较，然后列式，即可作答． （2）理解题意，先算出总的路程，得，因为续航为，剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示，然后，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵该汽车第六天行驶了． ∴， ∴在“”处的数为； ∵， ∴， ∴这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： 则 ∴ ∴，故行车电脑不会发出充电提示． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知，且，则的积（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非零数 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法和乘法，根据，且，得到一定为正，一定为负，可能为正，可能为负也可能为0，进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴一定为正，一定为负，可能为正，可能为负也可能为0， 故的积也可能为正，可能为负，也可能为0． 故选：D 22．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算．根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解： ； 故选A． 23．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查数轴上动点及两点间距离，有理数的混合运算；根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案． 【详解】解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； ∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 故选：C． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将，，换算成十进制数应为： ，（规定当时，），按此方式，则（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．首先理解二进制的含义，再结合有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 25．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）已知，且，则 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的性质可得，，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，符合题意，则； 当，时，，符合题意，则； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上，的值为5或9， 故答案为：5或9． 26．（23-24七年级上·北京西城·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将这八个数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图所示，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，先设中间的四个的右上的数字为，左下的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设中间的四个的右上的数字为，左下的数字为， 由题意得，，， ∴，， 故答案为：，． 27．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ，将这n个等式相加得 ；阅读以上解题过程，计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，按照例题将分数裂项为两个分数的差的形式是解答本题的关键．仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 28．（24-25七年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序及乘法分配律的运用． （1）利用乘法分配律将分别与括号内的每一项相乘，再计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号内的运算，接着计算乘法，最后计算减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 29．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1)41千克 (2)760千克 (3)3618元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格提供的数据可知：销售数量最多的一天是第二天，销售数量最少的一天是第一天，故用表格中第二天的销售数量减去第一天的销售数量即可算出答案； （2）先计算出6天的销售数再加上因质量不佳无法继续售卖的即可得出答案． （3）先计算出前四天的销售额，再计算后两天打折后的销售额，把六天的销售额加起来再减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）解：（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）解：千克， 元 千克 元， 元， 元， 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 30．（23-24七年级上·浙江温州·期末）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（4），（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． （1）根据，再计算即可得出结论； （2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论； （3）根据，对于匹配的钥匙，则有，再根据当，时可得出的值； （4）根据，对于匹配的钥匙，则有，再由可得出匹配的钥匙（答案不唯一）． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∵能被1000整除， ∴被1000除的余数为， 即被1000除的余数为． （3）， 对于匹配的钥匙，则有， 当公钥为69，则匹配的私钥； 为两位整数， 当时，； （4）∵， ∴对于匹配的钥匙，则有， ∵， ∴匹配的钥匙． 故答案为：，（答案不唯一）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在解答题 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在小题中 近似数 掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 有理数加减法法则 有理数加法法则 【概念】同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 【注意】 1、异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2、绝对值相等时，两数之和为0； 3、一个数与0相加，仍得这个数； 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 【注意】有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 有理数加减混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 知识点02 有理数乘除法法则 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 倒数 【概念】乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 【注意】单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 【注意】1、两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. 2、有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【注意】在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点03 有理数的乘方运算 【概念】求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 有理数乘方的运算 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 【注意】 （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 知识点04 科学记数法 【概念】科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 知识点05 近似数 【近似数相关概念】 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【注意】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字. 题型一 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】（24-25六年级上·山东·期末）计算： (1)； (2) 【典例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算： (1)． (2)． 【变式3】（23-24七年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 题型二 有理数加减法的应用 答｜题｜技｜巧 加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算； 【典例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）2024年12月15日，在福建安溪举行的2024百茶百戏文化周“百茶百戏奇妙游”演出中，百架无人机呈现出震撼的夜空灯光秀．其中一架无人机从场地内某一初始高度开始表演，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，其中五次飞行高度记录如下：，，，，（单位：米） (1)求无人机最后所在的位置比开始位置高还是低?高了或低了多少米? (2)无人机五次共飞行了多少米? 【典例2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）张掖七彩丹霞景区是张掖唯一的级景区，在今年“十一黄金周”（国庆期间）更是火热，若在9月30日的游客人数为3万人，如表为7天假期末每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 +0.2 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)“十一黄金周”（7天），丹霞景区共接待游客多少人？ 【变式1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）某校举办了“废纸回收、变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“+”、不足的记为“−”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小新不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得七（3）班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的废纸量相差． 班级 七（1）班 七（2）班 七（3）班 七（4）班 七（5）班 七（6）班 超过（不足）（） +2 −1 0 −1 (1)表格中七（6）班看不清的数据应为 ； (2)若七年级计划总共收集废纸，他们达到预期目标了吗？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·期末）元旦期间，小红与同学相约去公园游玩，妈妈通过微信红包给了她元零花钱，如图是她微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设她初始余额为元）：    (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)小红回家后想起来，她删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为元，请帮她计算出在蛋糕店的支出金额． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）某自行车厂计划平均每天生产180辆自行车，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周（7天）的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划平均每天生产数量的差值（单位：辆） (1)本周后三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆自行车？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得80元，若超额完成任务，则超过部分每辆再另奖20元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 题型三 有理数加减混合运算（提高） 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】（24-25七年级上·全国·期末）计算 ． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【典例2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【变式3】（2025七年级上·全国·期末）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 题型五 省略加法和括号的形式 解｜题｜技｜巧 省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号； 【典例1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·广西防城港·期末）为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）把写成省略括号和加号的形式为 ． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）将式子写成省略加号的形式 ． 【变式3】（24-25七年级上·四川泸州·期末）把算式转化为只含加法的形式，并用交换律和结合律计算其结果，步骤为 ． 题型六 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【典例2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【变式1】（23-24七年级上·吉林松原·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型七 有理数乘除法的实际应用 解｜题｜技｜巧 找到数量关系进行求解； 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【典例2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算） 通话时间t/分钟 1 2 3 4 … 电话费y/元 … 若小明通话6分钟，则需要付电话费（   ） A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元 【变式1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换 瓶啤酒． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）恩格尔系数是国际上通用的衡量居民家庭生活水平高低的指标之一．具体计算公式为：恩格尔系数，恩格尔系数达到以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕．为了了解自己家的生活水平，闻文对自己家8月份的收支情况进行了整理和记录，如下表： 项目 收支情况／元 爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元 _____________ 水，电，煤气，手机，宽带等共支出1400元 文化教育支出元 食物支出1800元 _____________ 合计支出 (1)将表格中横线部分补充完整，并根据闻文家本月合计支出7200元，求出的值； (2)根据以上信息，对闻文家的生活水平进行评价． 题型八 有理数乘法运算律 解｜题｜技｜巧 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【典例1】计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：． 【典例2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算 (1) (2) 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 【变式3】（24-25七年级上·云南玉溪·期末）计算： (1)； (2) 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值单位：件 (1)这周共加工了______件小麦收割机配件． (2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件． (3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入． 【典例2】根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 3 2 1 -0.5 -1.5 5 6 (1)该生周三使用电子产品用了多少个小时? (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时? (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时? 【变式2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 【变式3】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，电费0.6元度，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 题型十一 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【典例2】（24-25六年级上·上海虹口·期末）计算：． 【变式1】（23-24七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【变式2】（23-24六年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【变式3】计算： (1)； (2) 题型十二 程序流程图与算24点 【典例1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【变式1】有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式2】（23-24七年级上·山东济南·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为 ．    【变式3】定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 题型十三 科学记数法 解｜题｜技｜巧 1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 【典例1】（24-25七年级上·重庆·期末）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的 倍（用科学记数法表示） 【典例2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）2021年7月1日，中国共产党建党100周年，党员数量从建党初期的50余人发展到如今的余人，将数据用科学记数法表示为 ． 【变式1】（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期末）随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 题型十四 近似数 解｜题｜技｜巧 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 【典例1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【典例2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿亿（精确到个位） D．（精确到0.0001） 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ． 【变式2】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）2021年5月15日，“祝融号”火星车登陆火星．火星与地球最近距离约54000000千米，横线上的数读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿千米． 【变式3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）用四舍五入法，按括号中的要求取近似数：1.5046（精确到0.01）≈ 题型十五 有理数中规律计算问题 解｜题｜技｜巧 有理数的规律计算问题，主要掌握计算公式： 【典例1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）观察算式：按规律填空： ． 【典例2】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【变式2】（24-25七年级上·贵州安顺·期末）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，，… (1)第10个算式是__________=__________； (2)第n个算式是__________=__________； (3)根据以上规律计算下面各题： ①； ②． 【变式3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 题型十六 有理数运算中的新定义问题 【典例1】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ，； ，， ；，． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算_____________，异号两数运算_____________，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍_____________． 【用数学的思维思考】 （2）计算写出最后化简结果： ①__________； ②____________； （3）若，，求的值． 【典例2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期末）定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为（　 　） A．1 B． C．4 D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 【变式3】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 题型十七 二进制计算 【典例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）二进制只用0和1两个数字，例如就是二进制数101的简单写法，将其转化为十进制数为：（规定），则下列选项的二进制数中转化为十进制后等于11的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·河南信阳·期末）进位制的认识与探究是新教材重要的综合实践活动．进位制是人们为记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：，即十进制的数21对应二进制的数10101；，即六进制的数345对应十进制的数137根据上述规则，解答下列问题： (1)二进制的数对应的十进制的数是_______； (2)计算：，（结果用十进制表示）．（规定当时，） 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，如二进制数1011转化成十进制数是11（提示：）．人们根据一周有七天，约定逢七进一，即七进制，是以7作为进位基数的数字系统．将七进制2025换算成十进制数是 ．（注：） 【变式3】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）由于计算机的计算与记忆元件，只有“开”和“关”两种状态，因此，计算机上通用的是二进位制．二进位制的数只有两个数字0、1，它的进位规则是“逢二进一”，其一般形式为：（a取0、1，n取正整数）． 加数 加数 和 表1 (1)将化为十进制数得 ． (2)如图，将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用2去除，直到商为0为止．将余数倒序书写，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数．但二进制也有它们缺点，那就是书写起来并不方便．特别是一个较大的数，用二进制表示起来很长，容易出错．为了解决这个问题，在编制计算机程序时，往往采用八进制作为过渡，请你将75转化为八进制，并类比图1的过程说明理由． (3)八进制也能进行加法运算，请完善表1的内容，并描述两个八进制数相加的计算方法： ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）将十进制数2025转成八进制数是（    ） A．2751 B．2752 C．3751 D．3752 2．（24-25六年级下·上海静安·期末）若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 3．（24-25七年级下·广东河源·期末）如果，，，那么a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期末）按如图所示的程序计算，当输入x 的值为时，则输出的值为（  ） A．7 B．8 C．17 D．25 5．（24-25七年级上·山东·期末） ． 6．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如果与互为相反数，那么的值为 ． 8．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，之后按甲、乙、丙、丁的顺序继续轮流．丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）每年的4月23 日是“世界读书日”，老师倡导同学们多读书，读好书，要求每天读课外书30分钟，小明由于种种原因，实际每天读课外书的时间与老师要求时间相比有出入，下表是小明某周读课外书的情况（超过记为正，不足记为负） ． 星期 一 二 三 四 五 六 日 读书时间/分钟 (1)读课外书时间最长的一天是星期 ，读课外书时间最短的一天是星期 ，读课外书时间最长的一天比最短一天多分钟． (2)小明这周读课外书的总时间是多少分钟？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·山东滨州·期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 12．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h 2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道CCTV-1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是2025年元月6日 B．巴黎是2025年元月7日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 14．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）若，则的取值不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 15．（24-25七年级上·辽宁·期末）绝对值小于的所有奇数的和为 ． 16．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则 17．（24-25七年级上·四川雅安·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24六年级上·山东济南·期末）年国庆档电影《长津湖》以抗美援朝为背景，讲述了中国人民志愿军在极端严酷惨烈的环境下，凭借钢铁意志最终取得了长津湖战役的胜利，该电影也再次掀起了全民爱国热潮，国安民才安，有国才有家！据猫眼数据，截至月8日，《长津湖》累计票房超过亿，成为年全球票房冠军！该电影9月日在莱芜的票房为万元，接下来国庆假期7天的票房变化情况如表（正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）． 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 票房（万元） (1)国庆假期7天中，月4日的票房收入是 万元； (2)国庆假期7天中，票房收入最多的一天是月 日； (3)国庆假期7天中，求票房收入最多的一天比最少的一天多多少万元？ 19．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 20．（24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)在“”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知，且，则的积（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非零数 D．不能确定 22．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 23．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将，，换算成十进制数应为： ，（规定当时，），按此方式，则（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 25．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）已知，且，则 ． 26．（23-24七年级上·北京西城·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将这八个数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图所示，则的值是 ，的值是 ． 27．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ，将这n个等式相加得 ；阅读以上解题过程，计算：= ． 28．（24-25七年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 29．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 30．（23-24七年级上·浙江温州·期末）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $