专题04 整式的加减（期末复习讲义，知识必备+14大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义以表格形式系统梳理整式加减的核心考点、复习目标与考情规律，涵盖单项式、多项式、合并同类项等八大考点，再分七个知识点细化概念内涵与易错点，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于14类分层题型设计，从基础概念辨析到规律探究、实际应用，如整式加减中的无关型问题通过合并同类项系数为0的技巧培养运算能力，应用题结合几何图形与生活情境发展模型意识。典例与变式搭配，适配不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题04 整式的加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 知识点01 单项式 【概念】如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 【概念】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 【概念】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 知识点02 多项式 【概念】多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 【概念】多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 【概念】多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 知识点03 整式 【概念】单项式与多项式统称为整式. 【注意】 1、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 2、分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点04 合并同类项 【概念】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 【注意】 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点05 添括号、去括号 【概念】去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. 【概念】添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点06 整式的加减 【基本步骤】利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 【注意事项】整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 整式加减的应用 （1）整式的化简求值 （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 知识点07 整式的化简求值 【求值技巧】求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型一 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 【典例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）单项式的系数是x，多项式的次数是y，则的值是（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数和多项式的次数，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据单项式的系数和多项式的次数的定义，可得x，y的值，即可求解． 【详解】解：∵单项式的系数是x，多项式的次数是y， ∴， ∴． 故选：B 【典例2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．25不是单项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．是三次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式系数和次数的定义，多项式次数的定义，理解定义是解题的关键．根据单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数解答． 【详解】解：A. 25是单独的数字，属于单项式，故A错误； B. 的系数为数字因数，而非，故B错误； C. 中，的指数为3，的指数为1，次数为，是四次单项式，故C正确； D. 由二次项、一次项和常数项组成，最高次数为2，是二次三项式，故D错误． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·湖北荆门·期末）是关于，的六次单项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式次数的定义，理解单项式次数的定义是解题的关键．根据单项式中所有字母指数的和是单项式的次数回答即可． 【详解】解：是关于的六次单项式， ， 解得， 当时，系数， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·广东梅州·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，n是单项式的系数． (1)填空：_____，_____，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)0，1，， (2) 【分析】本题主要考查代数式的值、相反数、倒数、绝对值及单项式，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据相反数、倒数、绝对值及单项式的系数可进行求解； （2）把（1）中的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为0，1，，； （2）解：∵，，，， ∴， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】8 【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解． 【详解】解：∵ 是六次四项式， ∴， 解得∶， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴，即， 解得∶， ． 【点睛】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数． 题型二 单项式规律题 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 【典例1】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 【典例2】（24-25七年级上·全国·期末）以下式子：按照其中的排列规律，第n个式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律．由所给的单项式可得系数是，x的次数均为1，y的次数为n的自然数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴第n个式子可以表示为． 故选：C 【变式1】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式规律探索，根据分子，…，可得出第n个单项式的分子，由分母3，5，9，17，…，可得出第n个单项式的分母，由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得出符号规律，即可求出结果． 【详解】解：由分子，…，可得第n个单项式的分子为； 由分母3，5，9，17，…，可得第n个单项式的分母为； 由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得符号规律为， 所以第n个单项式是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）下列单项式中，相同未知数的次数依次有规律变化：，  你认为第20个单项式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，的指数为从1开始连续的整数，的指数为从1开始连续的奇数，即可得出结果． 【详解】解：观察可知，第个单项式为：， ∴第20个单项式为； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 【答案】(1) (2)当时，前6项的和为；当时，前6项的和为 【分析】本题主要考查单项式的规律问题，解题的关键是得到单项式的一般规律； （1）由题意易得…；由此问题可求解； （2）根据（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，，然后分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由x，，，，…；可知：…； ∴第8个单项式为； （2）解：由（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，， ∴当时，前6项的和为； 当时，前6项的和为． 题型三 多项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 【典例1】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（  ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的系数是3 D．不是多项式 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断． 本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：A、是单项式，故本选项错误，不符合题意； B、当为负数或0时，表示正数或0，故本选项错误，不符合题意； C、的系数是，故本选项错误，不符合题意； D、不是多项式，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【典例2】下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式的概念，数字和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，正确理解单项式和多项式的概念是解题的关键. 【详解】解：A、是几个单项式的和，这是个多项式，故A不符合题意； B、是数字与字母的积，是一个单项式，故B不符合题意； C、是与的和，这是个多项式，故C不符合题意； D、是与的商，既不是单项式也不是多项式，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 【变式2】（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）下列式子①  ②  ③  ④  ⑤  ⑥（说明：填上式子的序号）其中单项式有： ，多项式有： ，整式有： ． 【答案】 ①④ ②⑥ ①②④⑥ 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：，是分式，不是整式； 单项式：，， 多项式：，； 整式：，，，， 故答案为：①④；②⑥；①②④⑥． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 【变式3】（24-25六年级下·上海杨浦·期末）在代数式、1、、、、、、、、，单项式有 个，多项式有 个． 【答案】 4 4 【分析】根据单项式与多项式的定义分析即可． 【详解】单项式：1， ，，共4个， 多项式：，，，共4个， ，不是整式． 故答案为：4，4． 【点睛】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或衣蛾字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式． 题型四 多项式系数、指数中字母求值 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如果是关于的二次三项式，那么应满足的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0． 根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． 【典例2】（23-24七年级上·江西宜春·期末）若是关于、的三次二项式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的概念，根据多项式的项数：“多项式中单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，进行求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，； 故选B． 【变式1】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）如果多项式是关于的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而求解即可． 【详解】解：依题意可得，， 解得，． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，掌握多项式次数的确定方法是解题关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）多项式是关于x的二次三项式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式首先根据二次三项式的定义得，由此解出的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的二次项系数相同，求的值． 【答案】6 【分析】根据多项式次数，单项式的次数列等式求出m，n，即可求解． 【详解】解：根据多项式是五次四项式， 有，解得， 根据单项式的次数与的二次项系数相同， 即有，解得， 则有：， 即值为6． 【点睛】本题主要考查多项式和单项式的次数，掌握多项式和单项式次数的求法是解题的关键． 题型五 多项式升幂（降幂）排列 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 【典例1】（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）下列说法正确的是（  ） A．单项式的次数是6 B．多项式是二次三项式 C．多项式是按字母的降幂排列 D．的系数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的次数，系数，多项式的次数、项，解题的关键是理解相关定义．根据单项式，多项式的次数、系数的相关定义进行解答即可． 【详解】解：A．单项式的次数是，故A错误； B．多项式是二次三项式，故B正确； C．多项式是按字母的降幂排列，故C错误； D．单项式的系数是，故D错误． 故选：B． 【典例2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先确定各项中的次数，再排列即可，弄清楚每项中的系数是解此题的关键． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目要求先按字母的降幂排列的出结果，然后选项． 【详解】多项式按字母的降幂排列：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 【变式2】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）把多项式按的降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的项的次数，能够熟练根据定义求出每项次数是解题关键． 多项式中每一项的次数都是该项所有字母的指数和，求出每项次数后降幂排列即可． 【详解】多项式的各项为，，，， 按的降幂排列：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知为自然数，且多项式是严格按字母的升幂排列的． (1)求的值； (2)将多项式按字母的升幂排列． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据多项式是按字母的升幂排列的定义可得，且为整数，即可求出的值； （2）结合（1）可得多项式，然后多项式按字母的升幂排列的定义排列即可． 【详解】（1）∵多项式是严格按字母的升幂排列的， ∴，且为整数， ∴， ∴． （2）当时，多项式为， ∴将多项式按字母的升幂排列为． 【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的次数，多项式的升(降)幂排列，理解定义是解题的关键． 题型六 整式的相关概念 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 【典例1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．单项式既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是，， D．是整式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项以及整式的判断．根据相关概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数和次数均为1，原说法错误，不符合题意； B、系数是，次数是3次，原说法错误，不符合题意； C、多项式的项是，，，原说法错误，不符合题意； D、是整式，正确，符合题意； 故选D． 【典例2】（24-25七年级上·江西吉安·期末）下列判断： ①单项式的次数是0；②单项式的系数是；③都是单项式； ④是二次三项式；⑤既不是单项式，又不是多项式的，一定也不是整式． 其中，不正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式次数和系数的定义，多项式次数和项的定义，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据单项式次数和系数的定义，多项式次数和项的定义，整式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①单项式的次数是1，故不正确； ②单项式的系数是，故不正确； ③都是单项式，正确； ④是三次三项式，故不正确； ⑤既不是单项式，又不是多项式的，一定也不是整式，正确． 故选C． 【变式1】（2024七年级上·全国·期末）在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断． 【详解】、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个， 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·期末）下列式子中：，，，，，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的概念，根据单项式和多项式统称为整式，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意：，，， 都是整式， ∴整式有4个． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有 ，多项式有 ，整式有 ．（填序号） 【答案】 ②④ ① ①②④． 【分析】根据单项式，单项式，整式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①是多项式，是整式，②是单项式，是整式，③，不是整式，④，是单项式，是整式， ∴单项式有②④；多项式有①；整式有①②④． 故答案为：②④；①；①②④． 【点睛】本题考查了单项式，单项式，整式的定义，掌握以上定义是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式），几个单项式的和叫做多项式，整式：单项式与多项式统称为整式． 题型七 合并同类项 解｜题｜技｜巧 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项；合并同类项的时候要注意合并完全，不能出现遗漏； 【典例1】（23-24七年级上·广东广州·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的原则是解题的关键． 根据合并同类项的原则逐一进行运算判断，即可求解． 【详解】A、，故A选项错误， B、，故B选项错误， C、，故C选项错误， D、，故D选项正确， 故选：D． 【典例2】（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列合并同类项，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，解题的关键是掌握同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 根据合并同类项的法则，逐一分析各选项是否正确，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数保持不变． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，不符合题意； B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项错误，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意． 故选D． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若与的和是单项式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．根据两个单项式的和是单项式，可知它们为同类项，从而相同字母的指数分别相等，由此求出和的值，再计算。 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，， ∴． 故答案为：5． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了合并同类项，通过合并同类项法则进行化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【变式3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握整式加减的混合运算法则是解题的关键． （1）合并同类项，即可得到结果； （2）先去括号，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型八 去括号与添括号 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例1】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）去括号填空： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号法则是解答本题的关键．如果括号外的因数是正数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 根据去括号法则将式子可以写成省略括号的形式，本题得以解决． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号法则及乘方的意义，掌握互为相反数的两个代数式，其乘方的符号法则是本题的解题关键． 按照添括号分法则和乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在等式（    ）中，括号里应填（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了添括号问题，根据减法的性质可知，减法后加括号去括号都是要变号的法则解答即可，熟练掌握添括号法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵ ∴括号里应填：， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号的规则，熟悉去括号规则是解题的关键．根据去括号的规则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·期末）化简： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型九 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）将看作整体，合并同类项后化简； （2）先去括号，再合并同类项化简． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【典例2】（24-25七年级上·陕西商洛·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，先去括号再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，且． (1)求多项式C． (2)当时，求C的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算—化简求值： （1）先把变形为，再把代入，然后化简即可； （2）把代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：当时， ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减的运算法则. （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知， (1)求代数式； (2)若a，b满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，绝对值和乘方的非负性．（1）中需注意去括号时不要搞错符号；（2）中理解两个非负数（式）的和为0，那么这两个非负数（式）都为0是解题关键． （1）直接利用整式的加减计算即可； （2）根据绝对值和乘方的非负性求得a和b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ， ． 题型十 整式的加减中的化简求值 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 【典例1】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项进行化简． 先去括号，然后合并同类项进行化简，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 【典例2】（24-25七年级上·广西梧州·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时 原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，绝对值和偶数次方的非负性，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． 先利用完全平方公式和多项式乘多项式对整式进行化简，然后根据非负性求出的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式 因为 所以 所以 当时，原式． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值；去括号、合并同类项即可得到最简结果，然后再代入，求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】（24-25七年级上·广东广州·期末）已知代数式，，，其中为常数，当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是，求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，见解析 【分析】本题考查了代入法解方程及分式化简，正确代入已知条件并简化复杂式子是解题的关键．首先利用已知条件求出a和b的值， （1）通过代入时建立方程； （2）利用方程解的条件求k的值，进而化简代数式； （3）需判断当时分式的值是否为定值，需代入计算并分析结果是否与m有关． 【详解】（1）解：当，，移项得; （2）解：把代入， 得． 由，即，代入上式: ， 化简得． ; （3）解：是定值，理由如下： 当时，代数式 的值为 5， 即：， 又当 时，代数式 的值为 m（）， 即： 当 时，代数式 的值为：， 代数式 A 的值为： ， 由①得，代入：， 分母， ， 当时，代数式的值为． 题型十一 整式的加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 【典例1】（24-25七年级上·湖南·期末）若关于x，y的多项式中不含三次项，则代数式的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的无关项问题，熟练掌握多项式项不含某项则系数为零是解题关键． 合并同类项后，令三次项的系数为零，解出m和n，再代入代数式计算即可． 【详解】解：， ∵多项式不含三次项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B 【典例2】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，先将多项式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为0，解方程即可． 【详解】解： ， 多项式化简后不含有的二次项， 令二次项系数为0，即， 解得， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期末）已知多项式的值与的取值无关，代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式合并后，根据多项式的值与字母x取值无关，确定出m与n的值即可． 【详解】解： 多项式的值与的取值无关， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若多项式与的差的值与x无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，计算多项式与的差，化简后，由于该式子的值与无关，故所有含字母的项的系数为，由此可求解的值，代入所求式子即可解答． 【详解】解： ； ∵该式子的值与无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 题型十二 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 【典例1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）在一个长方形中剪下两个大小相同的正方形，如图所示，留下一个“T”型阴影部分． (1)用含x，y的代数式表示的长度为________，阴影部分的周长为________． (2)“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏．若，，请计算整个施工所需的造价． 【答案】(1)； (2)480元 【分析】本题主要考查整式的加减的应用： （1）根据图形所给数据列出代数式，并合并同类项即可； （2）由（1）及题意可列出算式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 阴影部分的周长； （2）解：当，时， 施工所需的造价（元） 【典例2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）若表示一个三位数，其百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是． (1)试表示这个三位数为_____（用含字母、、的代数式表示）． (2)如果将三位数的个位上的数字与百位上的数字对换，十位上的数字不变，所得新数为，则的差能被11整除．试说明理由． 【答案】(1) (2)的差一定能被11整除，理由见解析 【分析】本题主要考查列代数式及整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）根据题意可直接列出代数式； （2）由题意先得出，然后算出的差，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：这个三位数s为； 故答案为； （2）解：由题意得： ， ； 和都能被11整除， 也能被11整除，即的差一定能被11整除． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克10元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格（元） (1)这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期_____． (2)从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价10元； 方式二：每千克售价12元，若购买超过5千克，则超过部分打8折． 若买（）千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？（用含的代数式表示） 【答案】(1)日 (2)方式一：需要元，方式二：需要元 【分析】本题考查列代数式以及用正负数的意义，整式的加减的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中数据负数中绝对值最大的即为最低价； （2）根据题意分别列出方式一和二的花费即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知星期日价格低于标准元，即星期日价格最低， 故答案为：日； （2）解： 当顾客买斤秋月梨， 按照方式一应花费：元， 按照方式二应花费：（元）． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为．    (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 【答案】(1)； (2)阴影部分的周长为，长方形的周长为 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）根据题意列式求出阴影部分的周长与长方形的周长即可． 【详解】（1）解：；； （2）阴影部分的周长． 长方形的周长， 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）为响应国家“乡村振兴”的号召，李峰回家乡承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示意图如图（图中长度单位：），请根据示意图回答下列问题： (1)用含，的式子表示出这片土地的总面积． (2)由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓，地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓，则李峰总共可种植多少株草莓?（用含，的式子表示） (3)在满足（2）问的条件下，当，时，李峰种植草莓的总数量为多少株? 【答案】(1)（平方米） (2)答：李峰总共可种植的草莓数量为株． (3)答：峰种植草莓的总数量为株 【分析】本题考查代数式，整式的加减的知识，解题的关键是根据题意和示意图，用含，的式子，进行解答，即可． （1）根据示意图，用长为米，宽为米的长方形面积减去长为米，宽为米的长方形面积，即可得到答案； （2）根据示意图，依次得到地块①，地块②，地块③，地块④的面积，再根据题意，即可求出李峰总共可种植的草莓数量； （3）把，，代入，进行计算，即可． 【详解】（1）解：这片土地的总面积为：（平方米）． （2）解：由示意图可得：地块①的面积为：（平方米）， 地块②的面积为：（平方米）， ∴地块①和地块②的总面积为：平方米， ∵地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓， ∴地块①和地块②种植的草莓数量为：（株）； 地块③的面积为：（平方米）， 地块④的面积为：（平方米）， ∴地块③和地块④的总面积为：平方米， ∵地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓， ∴地块③和地块④种植的草莓数量为：（株）； ∴李峰总共可种植的草莓数量为：（株）． 答：李峰总共可种植的草莓数量为株． （3）解：由（2）可得李峰总共可种植的草莓数量为株 ∴当，时，峰总共可种植的草莓数量为（株）． 答：峰种植草莓的总数量为株． 题型十三 带有绝对值的字母化简问题 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 【典例1】（24-25七年级上·河南商丘·期末）若，则的值为（   ） A．或 B． C．或0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，分类讨论是解答本题的关键．由得，代入，然后分两种情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式， 当时，原式． 故选B． 【典例2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)填空：______0，______0，______0(填“>”或<”)． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数大小比较等知识点，能根据数轴得出和是解此题的关键． （1）根据数轴得出，再根据有理数的加减法则得出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查绝对值，数轴上点的位置判断式子的正负，整式的加减运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）若，化简结果是 ． 【答案】4或0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据绝对值的性质，进行分类讨论． 根据绝对值的性质进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：∵， ∴负因数的个数有0个或2个． ①当负因数的个数有0个时，a，b，c均大于0，原式； ②当负因数的个数有2个时，a，b，c中只有一个大于0时，不妨设，则，原式． 故答案为：4或0． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，有理数在数轴上对应的点分别为． (1)____________________________________0（用“”“”或“”填空） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值，整式的加减，根据数轴正确判断出式子正负是解题关键． （1）由数轴可知，，，，进而判断式子正负即可； （2）根据（1）所得式子正负去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 则，，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）可知，，，， 则． 题型十四 整式加减中的新定义运算 【典例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义：在数轴上点所表示的数是，点所表示的数是，则称点是点的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点，…，以此类推，若点所表示的数为2，则点所表示的数为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，依次求出点所表示的数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了数字变化的规律及数轴，能通过计算发现这列数从点所表示的数开始按2，，循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵点所表示的数为2， ∴， 即点所表示的数为； ∴， 即点所表示的数为； ∴ 即点所表示的数为2； ∴ 即点所表示的数为； ∴， 即点所表示的数为； ∴ 即点所表示的数为2； 依次类推， 由此可见，这列数从点所表示的数开始按2，，循环出现， ∵， ∴点所表示的数为． 故选：B． 【典例2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）新定义运算“”如下：，例如，则 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则、弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据题中新定义的规则列式计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）定义一种新运算“△”，其规则为．当，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据新定义，列出式子，然后根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”，比如，则与是关于的“平衡数”，，则与是关于的“平衡数”．若，，则与的是关于 的“平衡数”． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，根据题意求出的值即可判断，弄清题中的新定义，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴与的是关于的“平衡数”， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河南开封·期末）下列各组中的两个项不属于同类项的是（） A．和 B．和 C．和14 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项．根据同类项的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵选项A中，和都含有字母和，且的指数均为2，的指数均为1，符合同类项定义； 选项B中，和都含有字母和，且指数均为1（与相同），符合同类项定义； 选项C中，和14都是常数项，符合同类项定义； 选项D中，含有字母，而是常数项9，没有相同的字母，因此不是同类项． ∴不属于同类项的是D． 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）单项式的系数和次数是（） A．系数是，次数是5 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是 【答案】A 【分析】本题考查单项式系数和次数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：∵单项式的数字因数为， ∴系数是． 又∵字母a的指数为2，b的指数为3， ∴次数为． 故选A． 3．（24-25七年级上·河南新乡·期末）对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 【答案】D 【分析】本题考查多项式的相关概念.多项式是几个单项式的和，每个单项式就是多项式的项；多项式的次数是次数最高项的次数；常数项是不含字母的项.据此对选项进行判断. 【详解】解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、最高次项是系数是2，故B不符合题意； C、的常数项是5，故C不符合题意； D、由三项构成分别为，，5，该选项将的符号漏掉写成了，故D符合题意. 故选：D. 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，理解两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项是解答本题的关键．单项式与的和仍是单项式，说明两个单项式是同类项，相同字母的指数相等，所以得到，，最后得到的值． 【详解】解：单项式与的和仍是单项式， 这两个单项式是同类项，相同字母的指数相同， ，， ． 故选． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．理解单项式的系数、次数的意义是正确解答的关键． 根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）已知和是同类项，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类项的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，然后即可求解； 【详解】解：由于和是同类项，因此的指数相等， 即， 故答案为：2； 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是 ，多项式是 次 项式． 【答案】 三 四 【分析】本题考查了单项式的系数，多项式的次数、项数，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键．根据单项式与多项式的相关概念即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，多项式是三次四项式． 故答案为：；三；四． 8．（24-25七年级上·福建南平·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了整式的化简； 先去括号，再合并同类项，将代数式化成最简形式，把代入得出答案． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式， 9．（24-25七年级上·全国·期末）小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知． (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，，求正确结果的代数式的值． 【答案】(1)多项式； (2)小强的说法对； (3)正确结果的代数式的值为． 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）由，可得多项式； （2）计算，若结果不含，则小强说的对，若结果含，则小强说的不对； （3）将，，代入正确结果的代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 答：多项式． （2）解：小强说法对，理由： ∵，， ∴， ∵不含， ∴正确结果的大小与的取值无关， 答：小强说法对． （3）解：∵，， ∴ 答：正确结果的代数式的值为． 10．（24-25七年级上·河南漯河·期末）对联的一种装裱形式如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要以这种装裱形式装裱一副对联，对联的长为，宽为，若左、右边的宽均为，求： (1)装裱后对联的天头长与地头长； (2)装裱后对联的长与宽的差． 【答案】(1)天关长为，地头长为 (2)装裱后对联长与宽的差为 【分析】本题考查的知识点是列代数式、整式加减的运用，解题关键是用代数式将天头长与地头长表示出来． （1）用代数式将天头长与地头长的和表示出来，再由天头长与地头长的比分别求出天头长和地头长即可； （2）先表示出装裱后对联的长和宽，再相减即可． 【详解】（1）解：左、右边的宽均为，且左、右边均为天头长与地头长的和的， 天头长与地头长的和是， 天头长与地头长的比是， 天头长为， 地头长为； （2）解：装裱后对联的长为， 装裱后对联的宽为， 装裱后对联长与宽的差为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．的系数、次数都是3 D．是4次单项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的概念，系数和次数的定义．单项式是数字与字母的乘积，系数是数字因数，次数是所有字母指数之和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、中含有加法运算，不是单项式，故A选项不符合题意； B、是单项式，其系数为 ，故B选项符合题意； C、的系数是3，次数是4，故C选项不符合题意； D、的次数是5，故D选项不符合题意； 故选：B． 12．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，利用数形结合的思想是解题关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，结合为定值可得出说法③正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①正确； ②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较短边为，阴影的较短边为， ∴阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③∵阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的周长为，阴影的周长为， ∴阴影和阴影的周长之和为， ∴若为定值，则阴影和阴影的周长之和为定值，说法③正确； 综上可知正确的为①③，共2个． 故选：B． 13．（24-25六年级下·山东淄博·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式变化规律，找到变化规律是解题的关键．分别从符号、指数两个方面找规律，再计算． 【详解】解：，，，，， 第n个单项式是 故选：C． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， 所以被墨汁遮住的一项应是， 故选：C． 15．（24-25七年级上·甘肃金昌·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出，，再代入式子求值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·全国·期末）如图是一个日历表，现在用长方形任意框出4个数．若右上角的数用a来表示，则这4个数的和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值．根据表格中的数据，可以用含的代数式表示出框内其他的三个数，然后将四个数相加，即可解答本题． 【详解】解：由图可知， 右上角的数为，则左上角的数为，右下角的数为，左下角的数为， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·全国·期末）若，则多项式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 先化简多项式，再根据已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式 故答案为：10． 18．（24-25七年级上·河南新乡·期末）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式加减中无关类型，根据“理想数”的定义，代入和的表达式，得到关于和的表达式，再根据的值与无关，即的表达式中的项系数必须为零，从而解出的值． 【详解】解：由，， 则 ， ∵的值与无关，故的系数为零， ∴， 解得． 故答案为：． 19．（24-25七年级上·四川凉山·期末）（1）化简：； （2）化简，并求当时化简结果的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了合并同类项，整式的加减中的化简求值等知识点，解题关键是熟练掌握去括号法则以及合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 当时， 原式． 20．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）先化简，后求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握运算法则是关键；先去括号、合并同类项，再代入求值即可． 【详解】 ， 当，时， 原式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)＜；＜；＞ (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义、有理数的加减运算及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义、有理数的加减运算及合并同类项是解题的关键； （1）由数轴可知，则有，然后问题可求解； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，则有， ∴； 故答案为＜；＜；＞； （2）解：由（1）可得： ． 22．（24-25七年级上·陕西西安·期末）三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可用含n的代数式表示出a，b，用含m的代数式表示出c，d，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：，，，， ∴． 故选：D． 23．（24-25七年级上·山西运城·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，如此下去，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．通过观察序列中系数和指数的变化规律，发现系数是符号交替的偶数，指数是项数加，从而得解． 【详解】解：观察可知，第个单项式的系数为，指数为， 第个单项式是 ， 第个单项式为． 故选：D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，长方形的边长，．在长方形内，将一张边长为a和两张边长为b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为L，若要知道L的值，只要测量图中哪条线段的长（   ） A．a B．b C．x D．y 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减应用，根据平移的知识和周长的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的周长， 图2中阴影部分的周长， ． 故若要知道L的值，只要测量图中线段的长． 故选：C． 25．多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了多项式的概念． 根据二次三项式的定义，多项式应具有三个项，且最高次项的次数为2，同时最高次项的系数不能为零． 【详解】解：由于多项式是关于的二次三项式，因此最高次项的次数必须为2，系数不为0， 即，， 解方程， 得或， 即或， 解得， ∴． 故答案为：． 26．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式规律探究，观察单项式的系数符号、分子、分母和x的指数变化规律，x的指数与项数相同；系数符号交替变化，分子为项数n，分母为． 【详解】解：由给定单项式可知，第n个单项式的x指数为n，系数符号由决定，分子为n，分母为， 因此第n个单项式为， 当时，符号为负，分子为5，分母为， 故第5个单项式为． 故答案为：，． 27．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先根据整式的加减法则求出，再根据整式的加减计算即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，这是2025年1月的月历，其中“”形，“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠，设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为，当时，用含的式子表示 ，此时的最大值为 ． 【答案】 / 203 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意并正确列式是解题关键．根据题意得出，，再结合日历表求解即可． 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为， 则， 设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为， 则， 当时，则， ， ， 、都是正整数， 由日历表可知，的最大值为，此时，满足“”形阴影图形， 最大值为， 故答案为：，203． 29．（24-25七年级上·湖南·期末）学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)； (2)第②种合算，计算见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值； （1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）将分别代入（1）中两个代数式，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；则方案①需付款； ②买一只文具盒送一本笔记本．则方案②需付款； 故答案为：；． （2）把分别代入（1）中两个代数式： 方案①：元；方案②：元； ， 故第②种合算． 30．（24-25六年级上·全国·期末）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【答案】（1）15（2）见详解（3）（4）15 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． （1）根据题意，先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）理解题意，进行作图即可． （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于，的等式，并把用含的式子表示即可； （4）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于的等式，求出，再列出含有和的等式，求出即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）依题意，如图所示： 6 7 2 1 5 9 8 3 4 （3）由题意得： ， ， ； （4）由题意得： ， ， ， ∵幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 知识点01 单项式 【概念】如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 【概念】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 【概念】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 知识点02 多项式 【概念】多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 【概念】多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 【概念】多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 知识点03 整式 【概念】单项式与多项式统称为整式. 【注意】 1、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 2、分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点04 合并同类项 【概念】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 【注意】 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点05 添括号、去括号 【概念】去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. 【概念】添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点06 整式的加减 【基本步骤】利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 【注意事项】整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 整式加减的应用 （1）整式的化简求值 （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 知识点07 整式的化简求值 【求值技巧】求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型一 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 【典例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）单项式的系数是x，多项式的次数是y，则的值是（    ） A． B．1 C．4 D． 【典例2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．25不是单项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．是三次三项式 【变式1】（24-25七年级上·湖北荆门·期末）是关于，的六次单项式，则的值是 ． 【变式2】（24-25七年级上·广东梅州·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，n是单项式的系数． (1)填空：_____，_____，______，______； (2)求的值． 【变式3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 题型二 单项式规律题 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 【典例1】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·全国·期末）以下式子：按照其中的排列规律，第n个式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 【变式2】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）下列单项式中，相同未知数的次数依次有规律变化：，  你认为第20个单项式为 ． 【变式3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 题型三 多项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 【典例1】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（  ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的系数是3 D．不是多项式 【典例2】下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【变式2】（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）下列式子①  ②  ③  ④  ⑤  ⑥（说明：填上式子的序号）其中单项式有： ，多项式有： ，整式有： ． 【变式3】（24-25六年级下·上海杨浦·期末）在代数式、1、、、、、、、、，单项式有 个，多项式有 个． 题型四 多项式系数、指数中字母求值 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如果是关于的二次三项式，那么应满足的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（23-24七年级上·江西宜春·期末）若是关于、的三次二项式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）如果多项式是关于的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）多项式是关于x的二次三项式，则a的取值范围为 ． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的二次项系数相同，求的值． 题型五 多项式升幂（降幂）排列 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 【典例1】（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）下列说法正确的是（  ） A．单项式的次数是6 B．多项式是二次三项式 C．多项式是按字母的降幂排列 D．的系数是 【典例2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）把多项式按的降幂排列： ． 【变式3】（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知为自然数，且多项式是严格按字母的升幂排列的． (1)求的值； (2)将多项式按字母的升幂排列． 题型六 整式的相关概念 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 【典例1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．单项式既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是，， D．是整式 【典例2】（24-25七年级上·江西吉安·期末）下列判断： ①单项式的次数是0；②单项式的系数是；③都是单项式； ④是二次三项式；⑤既不是单项式，又不是多项式的，一定也不是整式． 其中，不正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024七年级上·全国·期末）在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·期末）下列式子中：，，，，，整式有 个． 【变式3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有 ，多项式有 ，整式有 ．（填序号） 题型七 合并同类项 解｜题｜技｜巧 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项；合并同类项的时候要注意合并完全，不能出现遗漏； 【典例1】（23-24七年级上·广东广州·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列合并同类项，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若与的和是单项式，则 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）化简： ． 【变式3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）化简： (1)． (2)． 题型八 去括号与添括号 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例1】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）去括号填空： ． 【典例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在等式（    ）中，括号里应填（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·期末）化简： 题型九 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1) (2) 【典例2】（24-25七年级上·陕西商洛·期末）计算： 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，且． (1)求多项式C． (2)当时，求C的值． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）化简： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知， (1)求代数式； (2)若a，b满足，求的值． 题型十 整式的加减中的化简求值 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 【典例1】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值：，其中，． 【典例2】（24-25七年级上·广西梧州·期末）先化简，再求值：，其中， 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）化简求值：，其中． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（24-25七年级上·广东广州·期末）已知代数式，，，其中为常数，当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是，求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 题型十一 整式的加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 【典例1】（24-25七年级上·湖南·期末）若关于x，y的多项式中不含三次项，则代数式的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期末）已知多项式的值与的取值无关，代数式的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若多项式与的差的值与x无关，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 题型十二 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 【典例1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）在一个长方形中剪下两个大小相同的正方形，如图所示，留下一个“T”型阴影部分． (1)用含x，y的代数式表示的长度为________，阴影部分的周长为________． (2)“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏．若，，请计算整个施工所需的造价． 【典例2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）若表示一个三位数，其百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是． (1)试表示这个三位数为_____（用含字母、、的代数式表示）． (2)如果将三位数的个位上的数字与百位上的数字对换，十位上的数字不变，所得新数为，则的差能被11整除．试说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克10元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格（元） (1)这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期_____． (2)从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价10元； 方式二：每千克售价12元，若购买超过5千克，则超过部分打8折． 若买（）千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？（用含的代数式表示） 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为．    (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）为响应国家“乡村振兴”的号召，李峰回家乡承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示意图如图（图中长度单位：），请根据示意图回答下列问题： (1)用含，的式子表示出这片土地的总面积． (2)由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓，地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓，则李峰总共可种植多少株草莓?（用含，的式子表示） (3)在满足（2）问的条件下，当，时，李峰种植草莓的总数量为多少株? 题型十三 带有绝对值的字母化简问题 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 【典例1】（24-25七年级上·河南商丘·期末）若，则的值为（   ） A．或 B． C．或0 D． 【典例2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)填空：______0，______0，______0(填“>”或<”)． (2)化简：． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）若，化简结果是 ． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，有理数在数轴上对应的点分别为． (1)____________________________________0（用“”“”或“”填空） (2)化简：． 题型十四 整式加减中的新定义运算 【典例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义：在数轴上点所表示的数是，点所表示的数是，则称点是点的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点，…，以此类推，若点所表示的数为2，则点所表示的数为（   ） A．2 B． C． D．1 【典例2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）新定义运算“”如下：，例如，则 的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）定义一种新运算“△”，其规则为．当，，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”，比如，则与是关于的“平衡数”，，则与是关于的“平衡数”．若，，则与的是关于 的“平衡数”． 【变式3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河南开封·期末）下列各组中的两个项不属于同类项的是（） A．和 B．和 C．和14 D．和 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）单项式的系数和次数是（） A．系数是，次数是5 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是 3．（24-25七年级上·河南新乡·期末）对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 6．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）已知和是同类项，则 ． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是 ，多项式是 次 项式． 8．（24-25七年级上·福建南平·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25七年级上·全国·期末）小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知． (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，，求正确结果的代数式的值． 10．（24-25七年级上·河南漯河·期末）对联的一种装裱形式如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要以这种装裱形式装裱一副对联，对联的长为，宽为，若左、右边的宽均为，求： (1)装裱后对联的天头长与地头长； (2)装裱后对联的长与宽的差． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．的系数、次数都是3 D．是4次单项式 12．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 13．（24-25六年级下·山东淄博·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·甘肃金昌·期末）若单项式与是同类项，则 ． 16．（24-25七年级上·全国·期末）如图是一个日历表，现在用长方形任意框出4个数．若右上角的数用a来表示，则这4个数的和为 ． 17．（24-25七年级上·全国·期末）若，则多项式的值是 ． 18．（24-25七年级上·河南新乡·期末）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 19．（24-25七年级上·四川凉山·期末）（1）化简：； （2）化简，并求当时化简结果的值． 20．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）先化简，后求值：，其中， 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 22．（24-25七年级上·陕西西安·期末）三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D．0 23．（24-25七年级上·山西运城·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，如此下去，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，长方形的边长，．在长方形内，将一张边长为a和两张边长为b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为L，若要知道L的值，只要测量图中哪条线段的长（   ） A．a B．b C．x D．y 25．多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 26．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是 ，第个单项式是 ． 27．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是 ． 28．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，这是2025年1月的月历，其中“”形，“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠，设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为，当时，用含的式子表示 ，此时的最大值为 ． 29．（24-25七年级上·湖南·期末）学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 30．（24-25六年级上·全国·期末）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $