期末总复习讲义 08 方程和一元一次方程2025-2026学年人教版七年级数学上册

七年级数学期末总复习讲义 第8课 方程和一元一次方程 知识点梳理 知识点01——方程、一元一次方程的概念 知识点02——方程的解 知识点03——等式的性质 知识点04——解一元一次方程 知识点05——含参数的方程和绝对值方程 知识点01 方程、一元一次方程的概念 1. 含有未知数的等式叫做方程. 2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的标准形式为ax+b=0(a≠0). 注意：在一元一次方程的标准形式中x代表未知数，a,b是常数且(a≠0). 例题讲解 例1（24-25七年级上·陕西延安·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，可求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 注：关于x的方程即方程的未知数是x,其他字母是参数视为常数。 变式训练1.（25-26七年级上·北京·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2：（25-26九年级上·四川成都·月考）关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 知识点02 方程的解 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解，方程的解以“x=m”的形式呈现. 例题讲解 例2（25-26七年级上·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【分析】方程是关于x的方程，就要把k视为一个常数，最后得到用含k的代数式来表示x的值。 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 变式训练1：（25-26七年级上·重庆·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 变式训练2：（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 知识点03 等式的性质 1.等式的性质是解方程的依据; 2.两个基本事实 对称性：如果a=b,那么b=a; 传递性：如果a=b,b=c,那么a=C 3.两个基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc， 例题讲解 例3（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：方程两边都减去8，得到． 第二步：方程两边都除以，得到． 故答案为：8；5；除以；． 变式训练1：（24-25七年级上·全国·课后作业）把方程变形为的根据是 ． 变式训练2：（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 ． 知识点04 解一元一次方程 1. 解一元一次方程的数学思想：化归——将方程化为“x=m”的形式.即1个x=( ___ ) 2. 解一元一次方程的主要步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1 ①把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 移项的目的：使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； 移项的依据：等式的性质； 移项的注意点：移项要变号. ②合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. 合并同类项的目的:使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; 合并同类项的依据:合并同类项法则（乘法分配律） ③系数化为1——方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. 系数化为1的目的：使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， 变形的依据：等式性质2； ④去括号（依据是去括号法则）——括号前面是减号要注意符号易错； ⑤去分母（依据是等式性质2）——去分母不要漏乘没有分母的项; 去括号和去分母体现的数学思想还是化归思想，把一个复杂的方程化为最简形式“ax=b”. 例题讲解 例4（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各题 (1) (2) 【分析】（）解方程就是为了得到“x=m”的结果，要把方程化为最简形式“ax=b”，方程必须要先移项； （）要把方程化为最简形式“ax=b”，方程必须先去分母、去括号、移项、合并同类项. 【详解】（1）解：移项，得，……使未知项与常数项分列于方程的两边 合并同类项，得，……使方程化为最简形式“ax=b” 系数化为，得；……使方程化为方程的解x=的形式 （2）解：去分母，得，前四个步骤都体现了化归思想，把一个复杂的一元一次方程化为一元一次方程的最简形式“ax=b”.为最终得到“x=”服务. 去分母时不要漏乘“-1” 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 变式训练1：（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点05 含参数的方程和绝对值方程 1.含参数k的方程，就是把k视为一个常数，（一般）只把x视为未知数，最后得到用含k的代数式来表示方程的解即用含k代数式表示x的值. 例题讲解 例5（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程与有相同的解，求的值． 【分析】解关于的方程与，都是把a当作常数，用含a的代数式来表示两个方程的解。再利用解相同得到关于的方程，解此方程 即可求出的值． 【详解】解： 由， 去括号，得 3x+a=4x 移项、合并同类项，得 由 ， 去分母、去括号，得 9x+3a-2-10x=6 移项、合并同类项，得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 变式训练1：（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）已知关于的方程的解不小于，且是一个非负整数，试确定的值． 变式训练2：（24-25七年级下·山西长治·期中）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 课后练习 一、单选题 1．（20-21七年级下·吉林长春·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x﹣2＝2x B．x2+（4﹣x）＝0 C．x+y＝1 D．+x＝0 2．（20-21七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，图①，图②，图③，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字，若第个“山”字中的棋子个数为117颗，则的值为（   ） A．21 B．23 C．25 D．27 4．（23-24七年级上·云南普洱·期末）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是（    ） A． B．4 C．6 D．3 5．（2022七年级上·全国·专题练习）小南在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意，去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并计算得解为．则原方程正确的解为（　　） A． B．x＝1 C． D． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 8．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 二、填空题 11．（20-21七年级上·广东韶关·期末）已知是关于的一元一次方程，则方程的解是 ． 12．（20-21七年级上·河南郑州·期末）若是关于的方程的解，则的值为 ． 13．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）给出下列方程的变形：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得．其中正确的有 个． 14．（22-23七年级上·河北承德·期末）若关于的方程的解是，则的值是 ． 15．（22-23七年级上·四川成都·期末）方程与 的解相同，则的值是 ． 16．（2022九年级·全国·专题练习）关于x的方程是一元一次方程．则m，n应满足的条件为：m ，n ． 17．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 18．（19-20七年级下·四川成都·期中）如图，长方形中，，，为的中点．动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当 时，的面积等于． 三、解答题 19．（22-23七年级上·山东济南·期末）解方程： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）解关于x的方程，小刚去分母时忘记了将右边乘以3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求得的结果仍然是原方程的解，即小刚将求得的结果代入原方程后，左边与右边竟然也相等！你能求出使这种巧合成立的a的值吗？ 22．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为． (1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）； (2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值． 23．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 24．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 25．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 26．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第8课 方程和一元一次方程 知识点梳理 知识点01——方程、一元一次方程的概念 知识点02——方程的解 知识点03——等式的性质 知识点04——解一元一次方程 知识点05——含参数的方程和绝对值方程 知识点01 方程、一元一次方程的概念 1. 含有未知数的等式叫做方程. 2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的标准形式为ax+b=0(a≠0). 注意：在一元一次方程的标准形式中x代表未知数，a,b是常数且(a≠0). 例题讲解 例1（24-25七年级上·陕西延安·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，可求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 注：关于x的方程即方程的未知数是x,其他字母是参数视为常数。 变式训练1.（25-26七年级上·北京·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 无等号，不是方程； B． 含不等号，不是方程； C． 有等号且含未知数，是方程； D． 无未知数，不是方程． 故选：C． 变式训练2：（25-26九年级上·四川成都·月考）关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到且，求解即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 知识点02 方程的解 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解，方程的解以“x=m”的形式呈现. 例题讲解 例2（25-26七年级上·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【分析】方程是关于x的方程，就要把k视为一个常数，最后得到用含k的代数式来表示x的值。 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 变式训练1：（25-26七年级上·重庆·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 变式训练2：（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 知识点03 等式的性质 1.等式的性质是解方程的依据; 2.两个基本事实 对称性：如果a=b,那么b=a; 传递性：如果a=b,b=c,那么a=C 3.两个基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc， 例题讲解 例3（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：方程两边都减去8，得到． 第二步：方程两边都除以，得到． 故答案为：8；5；除以；． 变式训练1：（24-25七年级上·全国·课后作业）把方程变形为的根据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题考查了解一元一次方程的移项， 根据等式的基本性质即可求得答案． 【详解】解：把方程变形为的根据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 变式训练2：（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 ． 【答案】 【分析】本题考查解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．通过等式性质，将方程两边同时乘以，求解即可． 【详解】解： ， ； 知识点04 解一元一次方程 1. 解一元一次方程的数学思想：化归——将方程化为“x=m”的形式.即1个x=( ___ ) 2. 解一元一次方程的主要步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1 ①把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 移项的目的：使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； 移项的依据：等式的性质； 移项的注意点：移项要变号. ②合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. 合并同类项的目的:使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; 合并同类项的依据:合并同类项法则（乘法分配律） ③系数化为1——方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. 系数化为1的目的：使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， 变形的依据：等式性质2； ④去括号（依据是去括号法则） ⑤去分母（依据是等式性质2） 去括号和去分母体现的数学思想还是化归思想，把一个复杂的方程化为最简形式“ax=b”. 例题讲解 例4（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各题 (1) (2) 【分析】（）解方程就是为了得到“x=m”的结果，要把方程化为最简形式“ax=b”，方程必须要先移项； （）要把方程化为最简形式“ax=b”，方程必须先去分母、去括号、移项、合并同类项. 【详解】（1）解：移项，得，……使未知项与常数项分列于方程的两边 合并同类项，得，……使方程化为最简形式“ax=b” 系数化为，得；……使方程化为方程的解x=的形式 （2）解：去分母，得，前四个步骤都体现了化归思想，把一个复杂的一元一次方程化为一元一次方程的最简形式“ax=b”.为最终得到“x=”服务. 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 变式训练1：（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 课后练习 一、单选题 1．（20-21七年级下·吉林长春·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x﹣2＝2x B．x2+（4﹣x）＝0 C．x+y＝1 D．+x＝0 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此定义解题． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，故本选项符合题意； B选项：未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C选项：含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D选项：分母含有未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程． 2．（20-21七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程，用m表示出两个方程的解，再根据题意列出关于m的方程，解之即可求得m的值． 【详解】解：解方程得：x=， 解方程得：x=m， 根据题意得：﹣m=2， 解得：m=， 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义、解一元一次方程，理解方程的解的定义，会解一元一次方程是解答的关键． 3．（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，图①，图②，图③，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字，若第个“山”字中的棋子个数为117颗，则的值为（   ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律，观察可知后面一个图形比前面一个图形多5颗棋子，据此规律求解即可． 【详解】解：解：图①中棋子个数为颗， 图②中棋子个数为颗， 图③中棋子个数为颗， 图④中棋子个数为颗， ……， 以此类推，第个“山”字中的棋子个数为颗， ∵第个“山”字中的棋子个数为117颗， ∴， 解得， 故选：B． 4．（23-24七年级上·云南普洱·期末）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是（    ） A． B．4 C．6 D．3 【答案】A 【分析】先求的解，再根据解是正整数，分类计算，本题考查了解方程，根据方程的解特殊性求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】∵， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1 得， ∵方程的解是正整数， ∴， 解得， 故， 故选A． 5．（2022七年级上·全国·专题练习）小南在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意，去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并计算得解为．则原方程正确的解为（　　） A． B．x＝1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出m的值，然后代入原方程即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：是方程的解， ∴， ∴， ∴原方程为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义，本题属于基础题型． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 8．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可. 【详解】解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， ， 去分母得：. 去括号得：. 移项并合并同类项得：. 系数化为得：. 故选：． 10．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 二、填空题 11．（20-21七年级上·广东韶关·期末）已知是关于的一元一次方程，则方程的解是 ． 【答案】x= 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），据此解答． 【详解】解：由题意，得 m-2=1，且m+3≠0， 解得m=3， ∴该方程为， 解得：x=， 故答案为：x=． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 12．（20-21七年级上·河南郑州·期末）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】将x=2代入方程，然后计算求解． 【详解】解：∵是关于的方程的解 ∴，解得：a=-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查方程的解和解一元一次方程，掌握相关概念正确代入计算是解题关键． 13．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）给出下列方程的变形：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得．其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 由，得，故①错误，不符合题意； 由，得故②错误，不符合题意； 由，得故③正确，符合题意； 由，得，故④正确，符合题意； ∴正确的有③④，共2个， 故答案为：2 【点睛】本题考查等式性质解一元一次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握移项及系数化为1的方法． 14．（22-23七年级上·河北承德·期末）若关于的方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】把代入方程即可得到关于的方程，从而求出的值． 【详解】解：由题可得：将代入方程中， 得：， ∴． 故填：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键在于熟练运用解含参的一元一次方程或由方程的解求参数的方法． 15．（22-23七年级上·四川成都·期末）方程与 的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】分别求出两个方程的解，再根据解相同建立方程，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵两个方程的解相同， ∴， ∴． 【点睛】本题考查求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 16．（2022九年级·全国·专题练习）关于x的方程是一元一次方程．则m，n应满足的条件为：m ，n ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义可得，，再解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程． ∴，， 解得：，， 故答案为：；； 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 17．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可． 先将的解求出，然后将的相反数求出后代入原方程求出的值． 【详解】解：，得， 是方程的解， 由，得， ， 解得：， 故答案为：． 18．（19-20七年级下·四川成都·期中）如图，长方形中，，，为的中点．动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当 时，的面积等于． 【答案】或5 【分析】分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可． 【详解】解：如图1所示，当点在上时， ∵，故时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ，， 如图2所示，当在上时， ∵即， ∵是的中点， ∴， ，， ， ， ， ， 如图3所示，当点在上时， 即时， ，， (舍去) 综上所述当或5时，的面积等于20. 故答案为：或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想． 三、解答题 19．（22-23七年级上·山东济南·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 系数化为，． （2）解： 去分母，方程两边同时乘以最小公倍数， 去括号， 移项，合并同类项， 系数化为，． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，理解并掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的方法解方程是解题的关键． 20．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）解关于x的方程，小刚去分母时忘记了将右边乘以3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求得的结果仍然是原方程的解，即小刚将求得的结果代入原方程后，左边与右边竟然也相等！你能求出使这种巧合成立的a的值吗？ 【答案】a的值为4 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键． 先根据忘记右边乘3解方程得，再根据题意，将所求解代入原方程中，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵去分母时忘了将右边乘以3， ∴化为，解得， ∵将求得的结果代入原方程，左边与右边竟然相等 ∴把代入， 得，整理得， 解得． 故a的值为4． 22．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为． (1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）； (2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)②③ (2)是 (3) 【分析】本题考查有理数的运算、一元一次方程的解，理解题意是解答的关键． （1）根据题中定义判断即可； （2）根据题中定义求解即可； （3）根据定义得到，再根据方程的解满足方程得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①，∵，， ∴，故数对不是“共生数对”； ②，∵，， ∴，故数对是“共生数对”； ③，∵，， ∴，故数对是“共生数对”； 故答案为：②③； （2）解：∵是“共生数对”， ∴，则， ∴数对是“共生数对”， 故答案为：是； （3）解：∵是“共生数对”， ∴， ∵关于x的方程的解为， ∴，即， ∴， ∴． 23．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 24．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，解出方程的解，再解出方程的解，根据题意，将两个解相减得5，即可解题． 【详解】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 25．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查方程的解． （1）把代入错误方程中计算即可求出c的值； （2）把c的值代入方程，求出解即可． 【详解】（1）解：把代入看错的方程中， 得， 解得； （2）解：把代入原方程，得． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 26．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． （2）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． （3）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $